（全國(guó)通用）2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 12.3 幾何概型課件

1、12.3幾何概型 第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 課時(shí)作業(yè) 題型分類(lèi)深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1.幾何概型幾何概型 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 ( 或 )成比 例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為 . 2.在幾何概型中，事件在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式的概率的計(jì)算公式 P(A) . 知識(shí)梳理 長(zhǎng)度 面積體積 幾何概型 3.要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有 ； (2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有 . 4.隨機(jī)模擬方法隨機(jī)模擬方法 (1)使

2、用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，以便通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)求出 隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法. 無(wú)限多個(gè) 等可能性 (2)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法.這個(gè)方法的基本 步驟是用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨 機(jī)數(shù)一定的意義；統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù) 個(gè)數(shù)N；計(jì)算頻率fn(A) 作為所求概率的近似值. 題組一思考辨析題組一思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零.() (2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取 一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等

3、.() (3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.() (4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.() (5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).() (6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P .() 基礎(chǔ)自測(cè) 123456 題組二教材改編題組二教材改編 2.P137思考在線段0,3上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為 答案解析 124563 3.P140T1有四個(gè)游戲盤(pán)，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小 球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選 擇的游戲盤(pán)是 答案解析 124563 P(A)P(C)P(D)P(B). 解析答

4、案 124563 124563 題組三易錯(cuò)自糾題組三易錯(cuò)自糾 5.在區(qū)間2,4上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為 ，則m _. 解析答案 124563 解析解析由|x|m，得mxm. 3 6.在RtABC中，A30，過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線CM交線段AB于點(diǎn)M， 則|AM|AC|的概率為_(kāi). 解析答案 解析解析設(shè)事件D為“作射線CM，使|AM|AC|”. 在AB上取點(diǎn)C使|AC|AC|， 因?yàn)锳CC是等腰三角形， 事件D發(fā)生的區(qū)域D907515， 構(gòu)成事件總的區(qū)域90， 124563 題型分類(lèi)深度剖析 1.某公司的班車(chē)在7：00，8：00,8：30發(fā)車(chē)，小明在7：50至8：30之間到 達(dá)發(fā)

5、車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超 過(guò)10分鐘的概率是 解析答案 題型一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型自主演練自主演練 解析解析如圖所示，畫(huà)出時(shí)間軸. 小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線 段AC或DB上時(shí)，才能保證他等車(chē)的時(shí)間不超過(guò)10分鐘，根據(jù)幾何概型， 解析解析因?yàn)樵贒AB內(nèi)任作射線AP，所以它的所有等可能事件所在的 區(qū)域H是DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，射線AP落在CAB 內(nèi)，則區(qū)域H為CAB，所以射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為 解析答案 DE 3.在區(qū)間0,5上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個(gè) 負(fù)根的概率

6、為_(kāi). 解析解析方程x22px3p20有兩個(gè)負(fù)根， 解析答案 求解與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型的方法 求與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模 型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度(角度)，然后求解.要特別注意“長(zhǎng)度型”與“角度型” 的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長(zhǎng)度或角度). 思維升華思維升華 命題點(diǎn)命題點(diǎn)1與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題 典例典例 (2017全國(guó))如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖， 正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng).在 正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是_. 題型二與面積有關(guān)的幾何概型多維探究多維

7、探究 解析答案 解析解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可 得S正方形4. 命題點(diǎn)命題點(diǎn)2與線性規(guī)劃知識(shí)交匯命題的問(wèn)題與線性規(guī)劃知識(shí)交匯命題的問(wèn)題 解析答案 解析解析如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū) 域1的重疊部分就是區(qū)域OACD， 命題點(diǎn)命題點(diǎn)3與定積分交匯命題的問(wèn)題與定積分交匯命題的問(wèn)題 典例典例 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函 數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰 影部分的概率為_(kāi). 解析答案 32 1 1 (4)| 3 xx 求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn) 求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)

8、鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要 時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié) 果構(gòu)成的平面圖形，以便求解. 思維升華思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (1)(2016全國(guó))從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn， y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩 數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率 的近似值為 解析答案 解析解析由題意得(xi，yi)(i1,2，n)在如圖所示方格中，而平方和小 于1的點(diǎn)均在如圖所示的陰影中，由幾何概型概率計(jì)算公式知 解析答案 解析答案 (3)如圖，在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的

9、正方形中 隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_(kāi). 題型三與體積有關(guān)的幾何概型師生共研師生共研 解析答案 解析解析當(dāng)P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點(diǎn)所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱 臺(tái)內(nèi)時(shí)符合要求，由幾何概型知， (2)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方 體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐MABCD的體積小于 的概率為_(kāi). 解析答案 解析解析過(guò)點(diǎn)M作平面RS平面AC，則兩平面間的距離是四棱錐MABCD 的高，顯然點(diǎn)M在平面RS上任意位置時(shí)，四棱錐MABCD的體積都相等. 若此時(shí)四棱錐MABCD的體積等于 ， 求解與體積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn) 對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題

10、的總體積(總空間)以 及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求. 思維升華思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (2017湖南長(zhǎng)沙四縣聯(lián)考)如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為 2的正方體魚(yú)缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器，圓錐 的底面圓周與魚(yú)缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚(yú) 缸的缸底上，現(xiàn)在向魚(yú)缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚(yú)食，則 “魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)在圓錐外面的魚(yú)吃到”的概率是 解析答案 解析解析魚(yú)缸底面正方形的面積為224，圓錐底面圓的面積為.所以“魚(yú) 食能被魚(yú)缸內(nèi)在圓錐外面的魚(yú)吃到”的概率是1 ，故選A. 典例典例 (1)在等腰RtABC中，C90，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M， 則CAM30的概率是_.

11、 (2)在長(zhǎng)為1的線段上任取兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間的距離小于 的概率為 幾何概型中的“測(cè)度” 現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò) 糾錯(cuò)心得現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)錯(cuò)解展示 錯(cuò)解展示：錯(cuò)解展示： (1)C90，CAM30，所求概率為 現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò) 解析解析(1)點(diǎn)M在直角邊BC上是等可能出現(xiàn)的， “測(cè)度”是長(zhǎng)度.設(shè)直角邊長(zhǎng)為a， (2)設(shè)任取兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為x，y， 則0 x1，且0y1. 糾錯(cuò)心得糾錯(cuò)心得(1)在線段上取點(diǎn)，則點(diǎn)在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線， 則射線在角內(nèi)的分布等可能. (2)兩個(gè)變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值，對(duì)應(yīng)的“測(cè)度”是面積. 課時(shí)作業(yè) 1.如圖所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機(jī)

12、扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 ，則陰影部分的面積是 基礎(chǔ)保分練 解析答案 12345678910111213141516 2.設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為 解析答案 12345678910111213141516 解析解析由|z|1可得(x1)2y21，表示以(1,0)為圓心，1為半徑的圓及 其內(nèi)部，滿足yx的部分為如圖陰影部分所示，由幾何概型概率公式可 得所求概率為 解析答案 12345678910111213141516 解析解析以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PBDC， 12345678910111213141516 4.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如

13、圖所示，向圖中的矩形區(qū)域內(nèi)隨 機(jī)投出100粒豆子，記下落入陰影區(qū)域的豆子數(shù).通過(guò)10次這 樣的試驗(yàn)，算得落入陰影區(qū)域的豆子的平均數(shù)約為39，由此 可估計(jì) 的值約為 解析答案 12345678910111213141516 解析答案 12345678910111213141516 由幾何概型的概率計(jì)算公式，得所求概率 1 2 1 log () 2 x 1 2 1 log () 2 x 解析答案 12345678910111213141516 6.(2017武昌質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為A(0，1)，B(，1)，C(，1)， D(0，1)，正弦曲線f(x)sin x和余弦曲線

14、g(x) cos x在矩形ABCD內(nèi)交于點(diǎn)F，向矩形ABCD區(qū) 域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 12345678910111213141516 解析解析根據(jù)題意，可得曲線ysin x與ycos x圍成的區(qū)域的面積為 4 (sincos )dxxx 4 (cossin )|xx 解析答案 解析解析設(shè)事件“在區(qū)間4,5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則xD”為事件A， 由6xx20，解得2x3， D2,3. 如圖，區(qū)間4,5的長(zhǎng)度為9，定義域D的長(zhǎng)度為5， 12345678910111213141516 8.如圖，在面積為S的矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，則PBC的面積小于 的 概率為_(kāi). 解析答案

15、 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 9.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在 此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐AA1BD內(nèi) 的概率為_(kāi). 解析答案 12345678910111213141516 1 AA BD V 1 AABD V 解析答案 12345678910111213141516 10.正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)， D(1,1)分別在拋物線yx2和yx2上，如圖所示. 若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入到正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在 圖中陰

16、影區(qū)域的概率是_. 11.在區(qū)間，內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，求函數(shù)f(x)x22ax b22有零點(diǎn)的概率. 12345678910111213141516 解解由函數(shù)f(x)x22axb22有零點(diǎn)，可得(2a)24(b22)0，整 理得a2b22，如圖所示，(a，b)可看成坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，試驗(yàn)的全部結(jié) 果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a，b)|a，b，其面積S(2)242. 事件A表示函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸(a，b)|a2b22，即 圖中陰影部分，其面積為SM423， 解答 12.已知向量a(2,1)，b(x，y). (1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為 1

17、,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足ab1 的概率； 解答 12345678910111213141516 解解將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總 數(shù)為6636， 由ab1，得2xy1， 所以滿足ab1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè). 故滿足ab1的概率為 (2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab0的概率. 解答 12345678910111213141516 解解若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，則全部基本事件的結(jié)果為 (x，y)|1x6,1y6. 滿足ab0的基本事件的結(jié)果為A(x，y)|1x6,1y6且

18、2xy0. 畫(huà)出圖象如圖所示，矩形的面積為S矩形25， 13.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB 為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自 陰影部分的概率是 技能提升練 解析答案 12345678910111213141516 解析解析設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，OA 的中點(diǎn)為D，如圖，連接OC，DC. 不妨令OAOB2， 則ODDADC1. 所以整體圖形中空白部分面積S22. 所以陰影部分面積為S32. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解答 12345678910111213141516 要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)， 即2ba. 12345678910111213141516 拓展沖刺練 答案解析 12345678910111213141516 A.p1p2p3 B.p2p3p1 C.p3p1p2 D.p3p2p1 12345678910111213141516 16.甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到 達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的.如果甲船停泊時(shí)間為1