平面幾何的立體幾何類比講解

1、從三角形到三棱錐性質(zhì) 1：在平面上到ABC 三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三邊的垂直平分 線的交點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)也稱為三角形的外心（外接圓圓心） .如果把“在平面上”幾個(gè)字去掉，再來(lái)研究到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)會(huì) 是一種什么情形呢？首先這樣的點(diǎn)肯定存在（三角形外心就是一例） ，在平面 ABC 外是否還有這樣的點(diǎn)呢？我們先把研究的問(wèn)題具體化 .ABC 所在平面外滿足 PA=PB=PC的點(diǎn) P 是否存在？先考慮到 A、B距離相等的點(diǎn) .在平面中這樣的點(diǎn)的軌跡為線段 AB 的垂直平 分線，不難證明在空間滿足此條件的點(diǎn)的軌跡為線段 AB 的垂直平分面（即過(guò) AB 中點(diǎn)且與 AB 垂直的平面 .記為 ）.同

2、理，到 A 、C 兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡 為線段 AC 的垂直平分面（記為 ）.顯然這兩個(gè)平面不平行，記交線為 m,因?yàn)?直線 m 上的任意一點(diǎn) P都滿足 PA=PB，PA=PC，所以有 PB=PC，可知點(diǎn) P 也應(yīng) 在線段 BC 的垂直平分面上，即直線 m 是 AB 、AC、BC 三條線段的垂直平分面 的交線 .由此可得：在空間到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在其三邊的垂直平分面的交線上，易證， 這條直線垂直于三角形所在平面且通過(guò)三角形的外心， 這條 直線我們不妨稱之為三角形的外心線 .這個(gè)結(jié)論還可以如下的角度來(lái)表述：如圖 1，如果平面 ABC 外有一點(diǎn) P且 PA=PB=PC，那么點(diǎn) P在過(guò)

3、ABC 外心且與平面 ABC 垂直的直線上 .也可以說(shuō)，到 ABC 三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在平面 ABC 內(nèi)的射影 是ABC 的外心 .思考：三角形還有哪些類似的性質(zhì)可以推廣到空間去？不難想到三角形的內(nèi)心（三條角平分線的交點(diǎn)） 、垂心（三條高線的交點(diǎn)）都可以在空間找到對(duì)應(yīng)的圖形 .對(duì)這些性質(zhì)我們不妨先大膽寫出結(jié)論，再進(jìn)行嚴(yán)格證明 .在類比中，我們看到，平面中的點(diǎn)常對(duì)應(yīng)空間中的線，平面中的線則常圖1對(duì)應(yīng)空 間中的面 .在平面幾何中有這樣一個(gè)性質(zhì)：如圖 2，ABC 中，B和C分別在邊AB 、AC 上，則有S AB CAB ACS ABCAB AC1用公式 SABC = bcsin A 易證）圖2將這

4、一性質(zhì)類比到空間得到相應(yīng)結(jié)論：AD 上各有一點(diǎn) B、C、D，則有性質(zhì) 2：如圖 3，已知四面體 ABCD 中，棱 AB 、VA B CDAB AC ADSA BCDAB AC AD證明：作 DP平面ABC 于 P，連結(jié) A 、P并延長(zhǎng) AP交 BC于 E.則平面 APD平 面 ABC. 過(guò) D作D Q AP 于 Q，則 D Q 平面ABC ，于是有1VA B CDS ABC D Q,3V1SDP.VABCD3S ABC DP.又因?yàn)?S ABC AB AC ,DQADAB AC DPAD所以 VA BC D AB AC ADVA BCDAB AC AD練習(xí)：下面這些平面中的性質(zhì)類比到空間應(yīng)怎樣

5、敘述？它是正確的嗎？ 如果正確，你能證明它嗎？性質(zhì) 3：如圖 4，正ABC，過(guò)其內(nèi)任一點(diǎn) P 作三邊垂線，垂足分別為 D、E、F，則 PE+PF+PD為定值 .性質(zhì) 4：如圖 5，點(diǎn) O是ABC 內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié) AO、BO、CO 并延性質(zhì) 3、4 向空間類比所得命題都是正確的，它們分別可表述為性質(zhì) 3：如圖6，過(guò)正四面體內(nèi)一點(diǎn) P 向四個(gè)面作垂線，垂足分別為M1、M2、M3、M4，則 PM1+PM2+PM3+PM4 為定值.性質(zhì) 4：如圖 7，P為四面體 ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié) AP、BP、CP、DP并延長(zhǎng)分別交 A、B、C、D 所對(duì)的平面于 A1、B1、C1、D1，則圖 6 圖 7PA1

6、 PB1 PC1 PD1 1.A1A B1B C1C D1D 這些性質(zhì)的證明方法與性質(zhì)本身的證明類似可以從相應(yīng)平面性質(zhì)的證 明中類比得到 .如性質(zhì) 3、4 的證明用到了面積割補(bǔ)思想，類比到空間就是體 積割補(bǔ)思想，性質(zhì) 3、4的證明問(wèn)題就迎刃而解了.一、轉(zhuǎn)化的思想方法研究問(wèn)題時(shí)， 將研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡(jiǎn)單的、基本的研究 對(duì)象的思維方法稱為轉(zhuǎn)化的思想方法。 這種思想方法是立體幾何中最重要的思想 方法，貫穿在立體幾何教學(xué)的始終。 立體幾何中轉(zhuǎn)化的思想方法主要體現(xiàn)在如下 幾個(gè)方面：1、空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化 將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的平面問(wèn)題是研究立體幾何問(wèn)題最重要的數(shù)學(xué)方法之 一。如線面

7、垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為三角形全等的平面幾何問(wèn)題； 教材中的幾種多 面體和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式的推導(dǎo)（除球面和球冠外） 、側(cè)面上最短線問(wèn)題都是 通過(guò)側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題； 旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問(wèn)題不也是轉(zhuǎn)化為關(guān)于軸截面 的平面幾何問(wèn)題嗎？其實(shí)，立體幾何中的三種角（線線角、線面角、二面角）和四種距離（線線距、點(diǎn)面距、線面距、面面距）從定義到具體的計(jì)算以及三垂線 定理都體現(xiàn)了空間到平面的轉(zhuǎn)化。例 1. 正三棱錐 A-BCD ，底面邊長(zhǎng)為 a，側(cè)棱為 2a，過(guò)點(diǎn) B 作與側(cè)棱 AC 、AD 相交的截面，在這樣的截面三角形中，求周長(zhǎng)的最小值。DB AB a 2a 2解析：沿側(cè)棱 AB把正三棱錐的側(cè)面剪開展成平

8、面圖 .如圖 1，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)， EF 在直線 BB上，ABEBAF，AEAF， ACAD，BBCD，123，BE BCa，同理 BFBDa.FDBADB，DF DB ， DF a 1,DF 1 a,AF 3 a.又AEFACD，BBa+ 3 a+a 11a, 截面三角形的周長(zhǎng)的最2 2 4 4 11小值為 11a.評(píng)析 把曲面上的最短路線問(wèn)題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題， 從而使問(wèn)題得到解決，這是求曲面上最短路線的一種常用方法 .又如異面直線所成的角、 線面角、 面面角的計(jì)算， 最終都是轉(zhuǎn)化為平面上兩 相交直線成的角來(lái)進(jìn)行的。實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化的方法很多，常用的就有：平移法

9、、射影法、 展開法和輔助面法等等。2、位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線、 線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系既互相依存， 又在一定條件下不僅 能縱向轉(zhuǎn)化：線線平行（或垂直） 線面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直） ， 而且還可以橫向轉(zhuǎn)化：線線、線面、面面的平行 ; 線線、線面、面面的垂直。這些轉(zhuǎn)化關(guān)系在平行或垂直的判定和性質(zhì)定理中得到充分體現(xiàn)。 平行或垂直關(guān)系 的證明（除少數(shù)命題外） ，大都可以利用上述相互轉(zhuǎn)化關(guān)系去證明。例 2. 如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1中， E在 AB1上， F 在 BD上，且 B1EBF.求證： EF平面BB1C1C.證法一：連 AF延長(zhǎng)交 BC于 M，連結(jié) B1M.A

10、DBCAFDMFB AF DFFM BF又BDB1A，B1EBFDFAE AF AEFM B1EEFB1M， B1M 平面 BB1C1CEF平面BB1C1C.證法二：作 FHAD交 AB于 H，連結(jié) HEADBCFHBC，BC BB1C1CFH平面BB1C1C由 FHAD可得BFBDBHBA又 BF B1E， BDAB1B1E BHAB1 BA EHB1B， B1B 平面 BB1C1CEH平面BB1C1C，EHFHH平面FHE平面BB1C1CEF 平面 FHEEF平面BB1C1C 說(shuō)明：證法一用了證線面平行，先證線線平行 .證法二則是證線面平行，先證面 面平行，然后說(shuō)明直線在其中一個(gè)平面內(nèi) .

11、3、位置關(guān)系中的定性與定量的轉(zhuǎn)化立體幾何中對(duì)點(diǎn)、 線、面在空間中特定位置關(guān)系的研究是從定性和定量?jī)蓚€(gè)方向進(jìn)行的。這兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別， 在一定條件下還可以互相轉(zhuǎn)化。 線線、線面、面面平行 ,這些定性描述 ,表示線線、線面、面面的成角是 0,反之則不然；線線、線面、面面的成角是 90，這些量的結(jié)果，則反映了它們的垂直關(guān)系，反 之亦然?？梢娊滩闹猩羁痰靥N(yùn)含著位置關(guān)系中的定性與定量的轉(zhuǎn)化關(guān)系。例 3. 空間四邊形 PABC中， PA、PB、PC兩兩相互垂直， PBA 45，PBC 60M為 AB的中點(diǎn).(1) 求 BC與平面 PAB所成的角； (2) 求證： AB平面PMC.解析：此題數(shù)據(jù)特殊，先

12、考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計(jì)算、發(fā)現(xiàn)解題思路 .解 PA AB，APB90在 RtAPB中，ABP 45，設(shè)PAa，則 PBa,AB 2 a, PBPC，在 RtPBC中，PBC60,PBa.BC2a,PC 3 a.APPC 在RtAPC中， AC PA2 PC2 a2 ( 3a)2 2a(1) PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面 PBC上的射影是 BP.CBP是 CB與平面 PAB所成的角PBC60，BC與平面 PBA的角為 60.（2） 由上知， PAPB a,ACBC2a.M為 AB的中點(diǎn)，則 ABPM， ABCM.AB平面PCM.說(shuō)明 要清楚線面的垂直關(guān)系，線面角的定義，通過(guò)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，

13、發(fā)現(xiàn)解題捷徑例 4.如圖 919，在棱長(zhǎng)為 a的正方體 ABCDAB1C1D1中，O是AC、BD 的 交點(diǎn)， E、F分別是 AB 與AD 的中點(diǎn)圖 9 19（1）求異面直線 OD1 與 A1C1所成角的大??；（2）求異面直線 EF與 A1C1所成角的大??；解析：（1） A1C1AC， OD1 與 AC 所成的銳角或直角就是 OD1與 A1C1所成 的角，連結(jié) AD1、CD1，在AA1D1和CC1D1， AA1 CC1， A1D1 C1D1，AA1D1CC1D1 90 ，AA1D1CC1D1，AD1 CD1AD1C 是等腰三角形 O 是底邊 AC 的中點(diǎn)， OD1 AC ，故OD1與 A1C1所

14、成的角是 902） E、F 分別是 AB、AD 中點(diǎn)， EFBD，又 A1C1AC， AC與 BD 所成的銳角或直角就是 EF 與 A1C1所成的角 四邊形 ABCD 是正方形，ACBD， EF與 A1C1所成的角為 904、體積問(wèn)題中的轉(zhuǎn)化研究簡(jiǎn)單幾何體體積問(wèn)題的過(guò)程中， 利用祖暅定理， 將一般柱體體積問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為長(zhǎng)方體體積問(wèn)題， 一般錐體體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三棱錐體積問(wèn)題， 從而推導(dǎo)出柱 體和錐體體積公式等。三棱錐體積公式推導(dǎo)過(guò)程中， “補(bǔ)法”和“割法”的先后運(yùn)用， 臺(tái)體的體積，即補(bǔ)臺(tái)成錐。所展示的割補(bǔ)轉(zhuǎn)化；利用四面體、平面六面體等幾何 體體積的自等性， 以體積為媒介溝通有關(guān)元素間的聯(lián)系， 從而

15、使問(wèn)題獲解的等積 轉(zhuǎn)化等，均是轉(zhuǎn)化的思想方法在體積問(wèn)題中的體現(xiàn)。所有上述這些都充分展現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法在立體幾何中的“用武之地” 。教 學(xué)中的適時(shí)揭示與恰當(dāng)運(yùn)用， 確能強(qiáng)化學(xué)生思維的目標(biāo)意識(shí)， 增強(qiáng)思維的敏捷性 和靈活性，提高學(xué)習(xí)效率。例 5. 如圖，平行六面體 ABCDA1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為 1 的正方形，側(cè)棱 AA1 長(zhǎng)為 2，且A1ABA1AD60則此平行六面體的體積為解析：一 求平行六面體 ABCDA1B1C1D的體積，應(yīng)用公式 . 由于底面是正方形， 所以關(guān)鍵是求高，即 A1 到底面 ABCD的距離解法一：過(guò)點(diǎn) A1做A1O平面ABCD，垂足為 O，過(guò) O做OEAB，OFAD

16、，垂足分別 為 E、F，連結(jié) A1E， A1F，可知 O在BAD的平分線 AC上.OA AF AFcosA1AOcosOAF OA AF AF cosA1AFAA1 AO AA1即 cos A1AOcos45 cos60 cosA1AO 2 sin A1AO2A1O A1Asin A1AO 2 V SABCDA1O 2分析二 如圖，平行六面體的對(duì)角面 B1D1DB把平行六面體分割成兩個(gè)斜三棱柱， 它們等底面積、等高、體積相等，考察其中之一三棱柱 A1B1D1ABD.解法二：過(guò) B 作 BEA1A，連結(jié) DE，可知面 BDE是其直截面，把斜三棱柱分割成 上下兩部分，若把兩部分重新組合， 讓面 A

17、1D1B1與面 ADB重合，則得到一直棱柱， BDE是其底面， DD1 是其側(cè)棱，并且和斜三棱柱 A1B1D1ABD的體積相等 .取 BD中點(diǎn) O，連結(jié) OE，易知SBED 1 BDOE 1 BD DE2 OD 222V 直棱柱 SDEBDD1 VA1B1D1 ABDVA1B1C1D1 ABCD 2VA1B1D1 ABD點(diǎn)評(píng) 在解決體積問(wèn)題時(shí)，“割“補(bǔ)”是常用的手段，另外本題分析二給出了求斜棱 柱體積的另一方法：斜棱柱的體積直截面面積側(cè)棱長(zhǎng) .例 6. 求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的 2 倍 .證明： 設(shè)球的半徑為 R，正四面體的高為 h，側(cè)面積為 S，則有 VA BCD VO ABC

18、+VO11ABD+VOBCD+VO ACD如圖，即 Sh4 SR,h 4R.33二、分類的思想方法分類的思想方法在數(shù)學(xué)中較為普遍。 如立體幾何中的一些知識(shí)和問(wèn)題： 空間 兩直線的位置關(guān)系分為相交、平行、異面三種；線面、面面的位置關(guān)系以它們公 共點(diǎn)的多少為標(biāo)準(zhǔn)分別分為相交、平行、線在面內(nèi)的三種和平行、相交兩種，而 對(duì)于相交的情形， 根據(jù)其交角是否為直角又分為斜交和直交兩種； 簡(jiǎn)單幾何體可 劃分為柱體、錐體、臺(tái)體和球四類，每一類（除球外）又可分為若干個(gè)子類；教 學(xué)直線和平面所成的角時(shí)，要分直線和平面斜交、直線和平面垂直、 直線和平面 平行或直線在平面內(nèi)三種情況加以說(shuō)明。 教學(xué)中， 不失時(shí)機(jī)地揭示并

19、幫助學(xué)生運(yùn) 用分類的思想方法，有助于學(xué)生全面系統(tǒng)地歸納整理，消化知識(shí)， 亦有益于訓(xùn)練 思維的條理性和嚴(yán)密性，發(fā)展思維能力。另外，根據(jù)幾何圖形及位置存在的不同情況也需分類討論例 7 若四面體各棱長(zhǎng)是 1 或 2 ，且該四面體不是正四面體，則其體積的值 是 .（ 只須寫出一個(gè)可能的值 ）解析： 該題的顯著特點(diǎn)是結(jié)論發(fā)散而不惟一 . 本題表面上是考查錐體求積公式這 個(gè)知識(shí)點(diǎn)， 實(shí)際上主要考查由所給條件構(gòu)造一個(gè)四面體的能力， 首先得考慮每個(gè) 面的三條棱是如何構(gòu)成的 .排除 1，1，2，可得 1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個(gè)四面體，再求其體積 . 由平時(shí)所見的題

20、目，至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體，五條邊為2，另一邊為 1 ，對(duì)棱相等的四面體 .對(duì)于五條邊為 2，另一邊為 1的四面體，參看圖 1所示，設(shè) AD=1，取 AD的中點(diǎn) 為 M，平面 BCM把三棱錐分成兩個(gè)三棱錐，由對(duì)稱性可知 AD面BCM，且 VA BCM=VDBCM，所以1VABCD= SBCMAD.3CM= CD2 DM2= 22 (1)2 = 15.設(shè) N是BC的中點(diǎn)，則 MNBC，22MN= CM 2 CN2= 145 1= 211 ，從而 SBCM=212 211= 211， 故VABCD=1 111= 11.3 2 6對(duì)于對(duì)棱相等的四面體，可參見圖 2. 其體積的計(jì)算可先將其置

21、于一個(gè)長(zhǎng)方體之中，再用長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)小三棱錐的體積來(lái)進(jìn)行. 亦可套公式(a2 b2 c2)(b2 c2 a2)(c2 a2 b2) ，V=2V= 212 (4 4 1)(4 1 4)(1 4 4)2=127= 14 .12212不妨令 a=b=2，c=1，則例 8 四面體的四個(gè)頂點(diǎn)到平面 M 的距離之比為 1 113 ，則平面 M 的個(gè)數(shù)應(yīng)有 多少個(gè) 解 這樣的平面應(yīng)分 4 種情況討論：(1) 4 個(gè)頂點(diǎn)都在平面 M的同側(cè)，則有 C4114 個(gè)(平面)；(2) 距離比為 3 的頂點(diǎn)與其他 3個(gè)頂點(diǎn)不同側(cè)，則有 C4114 個(gè)(平面) ；(3) 距離比為 3的頂點(diǎn)與其他 3個(gè)頂點(diǎn)中的 1個(gè)

22、同側(cè)，則有 C31C411 12個(gè)(平面)(4) 距離比為 3的頂點(diǎn)與其他 3個(gè)頂點(diǎn)中的 2個(gè)同側(cè)，則有 C32C41112個(gè)(平面) ； 一共應(yīng)有 4+4+12+1232個(gè)( 平面)例 9 直線 l 上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，這條直線和平面的位置如何？解析： (1)若直線 l 上的兩點(diǎn)到平面的距離都等于 0，這時(shí)直線 l 在平面內(nèi)(如圖 ) (2)若直線 l上的兩點(diǎn)在平面的兩側(cè),且到平面的距離相等,這時(shí)直線 l與平面相交（如圖）（3）若直線 l 上的兩點(diǎn)在平面的同一側(cè)，且到平面的距離相等 （如圖 ）AA1于點(diǎn)A1，BB1于點(diǎn)B1又 A、B均在l 上，且在的同側(cè)AA 1 BB1AA1BB1為一

23、平行四邊形ABA1B1 這時(shí)直線l 與平面平行想一想：若直線 l 上各點(diǎn)到平面的距離都相等，那么直線 l 和平面的位置關(guān)系又怎樣？三 、運(yùn)動(dòng)變化的思想方法運(yùn)動(dòng)變化的思想方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法。運(yùn)用它易于提示概念的本 質(zhì)，便于認(rèn)識(shí)事物的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。立體幾何中，不少的知識(shí)和問(wèn)題蘊(yùn)含著這 一思想方法。如圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球面和旋轉(zhuǎn)面的含義；二面角可看作是一個(gè) 半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成的；圓柱 （或圓錐） 亦可看作是當(dāng)圓臺(tái)上底面半徑和 下底面半徑相等（或縮小到其半徑等于零）時(shí)，轉(zhuǎn)化而成的。教學(xué)線面平行的性 質(zhì)時(shí)，在定義的條件下， 讓該直線和平面運(yùn)動(dòng)起來(lái)， 在運(yùn)動(dòng)中保持不變的性質(zhì)就 是線面平行的

24、性質(zhì)。研究平面圖形折疊問(wèn)題時(shí)， 需要從運(yùn)動(dòng)變化的角度出發(fā)， 弄 清圖形中涉及的元素在折疊前后的數(shù)量及位置關(guān)系的變化等。 教學(xué)實(shí)踐表明， 有 意識(shí)而及時(shí)地對(duì)這一思想方法的揭示與滲透， 可使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更深刻， 運(yùn) 用更得心應(yīng)手，思維能力得到發(fā)展，同時(shí)使學(xué)生受到辯證唯物主義教育。例 10。求正三棱錐相鄰的兩個(gè)側(cè)面所成的二面角大小的取值范圍。分析：因?yàn)檫@個(gè)正三棱錐是動(dòng)態(tài)的， 無(wú)法作出相鄰的兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的平面角，故不能通過(guò)正常的途徑算出其范圍， 既然是動(dòng)態(tài)的圖形， 我們則可以從圖 形的極限思想出發(fā)思考這個(gè)問(wèn)題。 當(dāng)正三棱錐的高接近于零時(shí)， 相鄰的兩個(gè)側(cè)面 趨向于在底面內(nèi)，故二面角大小趨向于

25、 ，但不能等于 ；當(dāng)正三棱錐的高趨向 于 時(shí)，正三棱錐趨向于正三棱柱，故二面角大小趨向于 ，但不能等于 。33故相鄰的兩個(gè)側(cè)面所成的二面角大小的取值范圍為 , 。3例 11 如圖 3，在棱長(zhǎng)為 a 的正方體 ABCD A1B1C1D1 中，EF是棱 AB 上的一條線段， 且 EFba，若 Q是 A1D1上的定點(diǎn)， P在 C1D1上滑動(dòng)，則四面體 PQEF的體積（ ）（ A）是變量且有最大值值（ D）是常量B）是變量且有最小值C）是變量無(wú)最大最小分析：此題的解決需要我們仔細(xì)分析圖形的特點(diǎn)這個(gè)圖形有很多不確定因素，線段EF 的位置不定，點(diǎn) P 在滑動(dòng)，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素

26、？求四面體的體積要具備哪些條件？仔細(xì)觀察圖形，應(yīng)該以哪個(gè)面為底面？觀察 PEF ，我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化 的，但是底邊 EF是定值，且 P到 EF的距離也是定值，故它的面積是定值再發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q到面PEF 的距離也是定值因此，四面體PQEF的體積是定值我們沒(méi)有一點(diǎn)計(jì)算，對(duì)圖形的分 析幫助我們解決了問(wèn)題四、數(shù)與方程的思想方法函數(shù)與方程的思想方法滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的全過(guò)程， 具有廣泛應(yīng)用性。 它們是 根據(jù)問(wèn)題的數(shù)量特征及其相互關(guān)系設(shè)定變量， 建立函數(shù)關(guān)系或方程， 通過(guò)對(duì)函數(shù) 性態(tài)或方程的研究而求得原問(wèn)題的解的一種思維方法。函數(shù)與方程的思想方法在立體幾何中亦大有“用武之地”。如立體幾何中求某 些量的最值

27、問(wèn)題大都需要用函數(shù)的思想方法去處理， 多面體和旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積的計(jì)算中， 也經(jīng)常要用方程的思想方法去解決有關(guān)問(wèn)題。 教學(xué)中適時(shí)啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)與方程的思想方法去思考和解決問(wèn)題，有利于學(xué)生將某些研究對(duì)象或?qū)嶋H問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣的形成，同時(shí)學(xué)生分析、 解決問(wèn)題的E能力也必將得到提高 例 12.如圖，正方形 ABCD 、 ABEF 的邊長(zhǎng)都是 1,而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直。點(diǎn) M 在 AC 上移動(dòng)，點(diǎn) N 在 BF 上移動(dòng)，若 CM=BN= a （0 a 2）. （1）求 MN 的長(zhǎng)；（2）當(dāng)a為何值時(shí)， MN 的長(zhǎng)最??； （3）當(dāng)MN 長(zhǎng)最小時(shí)，求面 MNA 與面 MNB 所成的二面角 的大小。DMB解析：（1）作 MPAB 交BC于點(diǎn) P，NQAB 交BE于 點(diǎn) Q，連接 PQ，依題意可得 MPNQ，且 MP=NQ ， 即 MNQP 是平行四邊形。MN=PQ, 由已知， CM=BN=a,CB=AB=BE=1