2019-2020學年山西省太原市高二(上)期中數(shù)學試卷

1、2019-2020 學年山西省太原市高二（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12 小題，共 36.0分）1. 已知點 ?(1,2)， ?(2,-1) ，則直線 AB 的斜率為 ()11C. 3D. -3A. 3B.-32. 在空間直角坐標系中，點 ?(1,2，-1) 與 ?(0,1，1) 之間的距離為 ( )A. 2B. 6C. 5D. 3?=13.過點 (0, -1) 且垂直于直線?)2 的直線方程為 (A. ?= -2? - 1B. ?= 2?- 1C. ?= -2? + 2D. ?= 2?+ 14.用一個平面去截下圖的圓柱體，則所得的截面不可能是()A.B.C.D.5.與圓 (?- 1

2、) 2 + (?+ 2) 2 = 1 關于原點對稱的圓的方程為( )A. (?-1)2 + (?- 2) 2 =1B. (?+ 1) 2 + (?+ 2) 2=1C. (?+1)2 + (?- 2) 2 =1D. (?- 2) 2 + (?+ 1) 2=16.已知 m，n 是兩條不同直線， ?， ?是兩個不同的平面，則下列結論中正確的是( )A. 若 ?/?， ? ?，則 ?/?B. 若 ? ?， ?/?，則 ? ?C. 若 ?/?， ?，則 ?D. 若 ?/?，?/?，則 ?/?7.： ?+ ?- 3= 0 與直線 ?： ?- ?- ? =0 平行，則它們之間的距離是已知直線 ?12( )A

3、. 22B. 4C. 2D.28. 我國古代數(shù)學名著 九章算術 中有如下問題： “今有鱉臑下廣三尺，無袤，上袤三尺，無廣，高四尺問積幾何？”，鱉臑是一個四面體， 每個面都是三角形， 已知一個鱉臑的三視圖如圖粗線所示，其中小正方形網(wǎng)格的邊長為1，則該鱉臑的體積為 ( )A. 6B.9C. 18D. 27x y?+?- 2 0，則 ?=?- 3?的最小值為 ()9.滿足條件 ?-2?+ 2 0已知實數(shù)，? 3A. 6B.109D. -103C.-23?-?M NAB，?的中點， 則異面直線 ?10.已知正方體中， ， 分別為111 111 與BN 所成角的大小為 ( )A. 30B.45C. 60

4、D. 9011.已知 ?(- 3, 0)， ?(0,1)，點 C22上任意一點，則 ?面為圓?+?+ 4?+ 1= 0積的最大值為 ()A. 3B. 33C. 53D. 732222第1頁，共 13頁12.如圖，將邊長為2 的正 ?沿著高 AD 折起，使 ?= 120 ，若折起后A、 B、C、 D 四點都在球O 的表面上，則球O 的表面積為 ()A. 27?B.C. 132 ?D. 133 ?二、填空題（本大題共4 小題，共16.0 分）13.222?= 0 的半徑為_圓? + ? + 2?+14.一個圓錐的側面展開圖是半徑為3，圓心角為 120 的扇形，則該圓錐的體積為 _15.已知長為 2

5、?(?0) 的線段 AB 的兩個端點 A 和 B 分別在 x 軸和 y 軸上滑動，則線段AB 的中點的軌跡方程為 _16.如圖，在棱長為 1 的正方體 ?-? ?中，點 E，1111的中點， P 是側面 ? 內(nèi)一點，F(xiàn) 分別是棱 BC，?11?1若 ?/ 平面 AEF ，則線段 ?1?長度的取值范圍是1_三、解答題（本大題共7 小題，共72.0 分）17. 已知 ?的頂點 ?(-1,4) ，?(-2, -1) ， ?(0,1) 是 BC 的中點(1) 求直線 AC 的方程；(2) 求 AC 邊上的高所在直線的方程18.如圖，在正方體?-? ?中， E， F 分別是 AB，1111?1?1 的中

6、點(1) 求證： ?/平面 ? ；11(2) 求證： ?平面 ?11第2頁，共 13頁222219. 已知圓 ?1： ? + ? = 1與圓 ?2： ?+ ? - 6?+ ?= 0(1)若圓 ?與圓 ?外切，求實數(shù)m 的值；12(2)在(1) 的條件下，若直線 ?+ 2?+ ?=0與圓 ?的相交弦長為 23 ，求實數(shù) n 的值220. 如圖，在四棱錐 ?- ?中， ?，?/?，?= 2?= 2?= 4 ，?= 25 ，?是正三角形(1) 求證： ?；(2) 求 AC 與平面 PCD 所成角的正弦值21. 如圖，在四棱錐 ?- ?中，?，?/?，?= 2?= 2?= 4 ，?= 25，?是正三角

7、形(1) 求證： ?；(2) 求二面角 ?- ?- ?的大小第3頁，共 13頁222?- 8 = 0上的動點，過點P作圓 O22. 已知圓 O： ? + ? = 4，點 P 是直線 l： ?-的切線 PA， PB，切點分別為A， B(1) 當|?|= 23 時，求點 P 的坐標；(2) 當 ?取最大值時，求 ?的外接圓方程222?- 8 = 0上的動點，過點P作圓 O23. 已知圓 O： ? + ? = 4，點 P 是直線 l： ?-的切線 PA， PB，切點分別為A， B(1) 當|?|= 23 時，求點 P 的坐標；(2) 設?的外接圓為圓 M，當點 P 在直線 l 上運動時，圓 M 是否

8、過定點 ( 異于原點 ?)？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由第4頁，共 13頁答案和解析1.【答案】 D【解析】 解：點 ?(1,2)，?(2,-1) ，-1-2則直線 AB 的斜率為 ?=2-1= -3 故選： D根據(jù)兩點的坐標計算直線AB 的斜率本題考查了根據(jù)兩點的坐標求直線斜率的問題，是基礎題2.【答案】 B【解析】 解：在空間直角坐標系中，點2，-1)1，1)之間的距離為?(1,與 ?(0, (1- 0)2+(2- 1)2+ (-1- 1)2，6故選： B用兩點間的距離公式求出考查空間兩點間的距離公式，基礎題3.【答案】 A1【解析】 解：垂直于直線?= 2 ?的直線

9、斜率為?= -2 ，且直線過點 (0, -1) ，所以直線方程為：?- (-1)= -2(? - 0) ，即 ?= -2? - 1故選： A根據(jù)垂直關系求出直線的斜率，再利用點斜式寫出直線方程本題考查了直線方程的應用問題，是基礎題4.【答案】 D【解析】 解： 當平面與底面垂直時，截面為長方形；故A 正確； 當平面與底面平行時，截面為圓；故B 正確； 當平面只與側面相交時，截面為橢圓；故C 正確；故選： D用一個平面截幾何體，可以橫截，豎截，斜截，角度不同得到的截面形狀不同經(jīng)過嘗試可知：用平面截圓柱，截面可能是圓，橢圓，長方形，拱形本題考查了幾何體與平面的關系，屬于基礎題5.【答案】 C【解析

10、】 解：圓心坐標為(1, -2) ，半徑為 1，則圓關于原點對稱的圓，實質是圓心的對稱，則對應圓的圓心坐標為 (-1,2) ，半徑為1，即對應圓的方程為 (?+ 1) 2 + (?- 2) 2= 1，故選： C根據(jù)圓的對稱性，轉化為圓心的對稱，直接求出對稱圓心坐標進行求解即可本題主要考查圓的方程的求解， 結合圓的對稱性轉化圓心的對稱是解決本題的關鍵 比較基礎6.【答案】 B第5頁，共 13頁【解析】 解：對于 A， ?/?，? ?時，得出 ?/?或 m 與 n 是異面直線， A 錯誤；對于 B，當 ? ?， ?/?時， ? ?， B 正確；對于 C，當 ?/?，?時，有 ? ?或 m 與?相交

11、或 m 與 ?平行或 ? ? ?， C 錯誤；對于 D， ?/?，?/?時，則 ?/?或 m、 n 相交或 m、 n 異面， D 錯誤故選： B根據(jù)空間中的直線與直線、直線與平面以及平面與平面之間的位置關系，判斷即可本題考查了空間中的線、面關系應用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是基礎題7.【答案】 C【解析】 解：直線 ?： ?+ ?-3 = 0與直線 ?： ?- ?- ? = 0 平行，12則 ?(-1)- 11= 0，解得 ?= -1 ；所以直線 ?： ?-?+ 3 = 0與直線 ?：?- ?+ 1 = 0 的距離是12|3-1|2 =2?= 2= 21+(-1)2故選： C根據(jù)直線

12、?與直線 ?平行求出m 的值，再求兩直線間的距離12本題考查了兩條平行線之間的距離計算問題，是基礎題8.【答案】 A【解析】 解：由題意，可知原圖為一個底邊為直角等腰三角形的直三棱錐，具體圖形如下：則有： ?= 1?=11334= 63底32故選： A本題主要是根據(jù)三視圖想出對應的空間立體圖形，然后根據(jù)三棱錐的體積公式進行計算本題主要考查空間想象能力以及計算能力本題屬基礎題9.【答案】 C第6頁，共 13頁?+ ?-2 0【解析】 解：不等式組?-2?+ 2 0表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示：? 3?=1?1的一族平行直線， 直線在y軸上的截距為-?由 ?= ?- 3?得，3 ?-3，這是斜

13、率為 33，截距最大時， z 最小，1?根據(jù)圖形看出，當直線?= 3 ?-3經(jīng)過點B 時，截距最多， z 取最小值，解 ?- 2?+2= 0得，?= 35 ，?= 3?= 2159?= ?-3?= 3 -2=-2故選： C可畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，而由?= ?- 3?可得出 ?=1?-?13，表示斜率為的33一族平行直線，當直線在y 軸上的截距取最大值時， z取得最小值，從而結合圖形即可求出最大截距，即得出z 的最小值本題考查了線性規(guī)劃求最值的方法，能找出不等式組所表示的平面區(qū)域，數(shù)形結合的思想方法，考查了推理和計算能力，屬于基礎題10.【答案】 D【解析】 解：正方體 ?-? ?中，M

14、，N 分別為 AB ，1111?的中點，1以 D 為原點， DA 為 x 軸， DC為 y 軸， ?為 z 軸，建立空間1直角坐標系，設正方體 ?-? ?中1111棱長為 2，?1 (0,2，2) ，?(2,1，0) ，?(2,2，0) ，?(2,0， 1) ，?= (2, -1, -2)1(0, -2,1) ， ?=第7頁，共 13頁設異面直線 ?與 BN 所成角的大小為?，1?則 ?=|?1?|?|?1|?|?= 0，?= 90 異面直線 ?與 BN 所成角的大小為90 1故選： D以 D 為原點， DA 為 x 軸， DC 為 y 軸， ?為 z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法1能求

15、出異面直線?與 BN 所成角的大小1本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題11.【答案】 C222【解析】 解：化圓 ? + ? + 4?+ 1 =0為 ? + (?+2)2= 3，則圓心坐標為 ?(0, -2)，半徑 ?= 3，?過 ?(- 3, 0) ，?(0,1)的直線方程為 - 3 + ?= 1，即?- 3?+ 3 = 0M 到直線 ?- 3?+ 3 = 0 的距離 ?=|23+ 3|=2332圓上點 C 到直線的最短距離為33532 +3=2又 |?|= (- 3) 2 + 12 = 2，則 ?面積的最大值為?=15

16、353222 =2故選： C求出圓上動點C 到直線 AB 的最大距離，代入三角形面積公式，可得答案本題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，三角形面積公式，是基礎的計算題12.【答案】 B【解析】 【分析】本題考查球的表面積的求法， 是中檔題，解題時要認真審題， 注意空間思維能力的培養(yǎng)由題意，將邊長為 2 的正 ?沿著高 AD 折起，使 ?= 120，可得三棱錐 ?- ?，且 AD 垂直于底面 ?，求解底面 ?外接圓，利用球心與圓心垂直構造直角三角形即可求解球 O 的半徑平方，從而得球 O 的表面積【解答】解：由題意， 將邊長為 2 的正 ?沿著高 AD 折起，使 ?= 120，可得三棱

17、錐 ?-?，且 AD 垂直于底面 ?，底面 ?中， ?= 120， ?= ?= 1 ，那么，設底面 ?外接圓半徑為r ，則 2?=3 ，即 ?= 1?120 第8頁，共 13頁因為 AD 垂直于底面 ?，所以 ?= 3 ，所以球心與圓心的距離為3，2且球心與圓心垂直構造直角三角形，設球 O 的半徑為R，223)2=7所以?= ?+ (24即球 O 的表面積2?= 4?= 7?故選： B13.【答案】 2【解析】 解：圓的標準型為(?+ 1) 2 + (?+ 1) 2 = 2，所以半徑為 2，故答案為： 2換成標準型，求出半徑本題考查圓的方程和性質，為基礎題14.【答案】 232 ?【解析】 【

18、解答】解：如圖，設圓錐的底面半徑為r，則 2?= 3 2?，得 ?= 1 3則圓錐的高 ? = 32-12 = 22圓錐的體積1?1222 =22?= 33?故答案為： 2 2 ?3【分析】由題意畫出圖形，設圓錐的底面半徑為 r ，由展開后所得扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長求得底面半徑，進一步求出圓錐的高，代入圓錐體積公式求解本題考查圓錐體積的求法，考查剪展問題的求解方法，是中檔題22215.【答案】 ? + ? = ?(? 0)【解析】 解：設線段AB 的中點 ?(?,?)，若 AB 不是原點時，則?是直角三角形，1且 ?為直角，則 ?= 2 ?，而 ?= 2?，第9頁，共 13頁所以 ?=

19、 ?，即 (?- 0) 2 + (?-0) 2222；= ? ? + ? = ?(? 0)222；若 AB 有一個是原點，同樣滿足 ?+ ? = ? (? 0)222故答案為： ? + ? = ?(? 0) 求哪個點的軌跡方程就設那個點的坐標為(?,?)，然后由題意寫等式， 進而整理出關于x，y 的表達式就是它的軌跡方程，注意有時會有取值限制考查求點的軌跡方程，這個題用直接法求出，屬于簡單題32516.【答案】 4 , 2 .【解析】 【分析】本題考查點、線、面間的距離問題，考查學生的運算能力及推理轉化能力，屬難題，解決本題的關鍵是通過構造平行平面尋找P 點位置分別取棱 ?、?的中點M、N，連

20、接MN，易證平面 ?/ 平面 AEF ，由題意知點11?11P 必在線段 MN 上，由此可判斷 P 在 M 或 N 處時 ?1?MN中點處時最短，最長，位于線段通過解直角三角形即可求得【解答】解：如下圖所示：分別取棱 ?、 ?的中點M、N，連接MN，連接 ?，11?11NEF， ?/?，?、為所在棱的中點， ?/?11、 、?/?，又 ? 平面 AEF ，? 平面 AEF ，?/平面 AEF ；?1/?， ?1=為平行四邊形，?， 四邊形 ?1?1 ?/?，又 ?1 ? 平面 AEF ， ? 平面 AEF ，?1 ?/ 平面 AEF ，又 ?= ?， 平面 ?/ 平面 AEF ，11?是側面

21、?11內(nèi)一點，且 ?1?/ 平面 AEF ，則 P 必在線段 MN 上，在 ? ?中，221 2=5，11? = ? + ?=1+()211112同理，在 ?中，求得?1 ?=5 ，112?1?為等腰三角形，當 P在MN中點O 時?，此時 ?1 ?最短， P 位于 M、 N 處時 ?1?最長，1? ?=22(5)2-2)2=32，?-? =(1 ?12445?1 ? = ?1? = 2 ，325所以線段 ?長度的取值范圍是,.142第10 頁，共 13頁故答案為 32 ,5 .4217.【答案】 解： (1) 設 ?(?,?)，由題意得-2+?=0?=2 -1+ ?= 2，解得 ?=3，點 C

22、 的坐標為 (2,3) ；?-4?+1直線 AC 的方程為 3-4=2+1，化為一般式為 ?+ 3?-11 =0；(2) ?(-1,4) ，?(2,3)，?= 3-4=-1，2+13?邊上的高所在直線的斜率?=3，?邊上的高所在直線方程為?-4 = 3(?+ 1)，化為一般式為 3?- ?+ 5 = 0 【解析】 (1) 設 ?(?,?)，利用中點坐標求出點C，再寫出直線AC 的方程；(2) 求出 AC 的斜率，得出 AC 邊上的高所在直線的斜率，利用點斜式求出AC 邊上的高所在直線方程本題考查了直線方程的求法應用問題，是基礎題18.， ?-?是正方體，連接 ?11 ?1 ?11【答案】 證明

23、： (1)?/?11， ?= ?1 ?1，?， F 分別是 AB， ?的中點， ?/?， ?= ?1111是平行四邊形， ?/?11? 平面?11，?平面 ?11 ，1 ?/平面?11， ?-?是正方體(2) 由 (1) 得?/?11 ?111?1 ?1 平面 ?11， ?，?，1?1 ?11 ?1?-?11?11是正方體， ?是正方形，1?1， ?，?1 ?11?1 ? 平面 ?11?，?1?1? 平面 ?1?1?， ?1?1?1 ?= ?1，?平面 ?1?1 ?【解析】 (1) 連接 ?，推導出 ?是平行四邊形， ?/?111.由此能證明 ?/平面?11，? 平面 ?，?，?，?(2) 推

24、導出 ?/?11? ?1? ?，?1111111111?，由此能證明?平面 ?1 ?1 ?本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題19.【答案】 解： (1) 圓 ?1：(0,0) ，1 = 1，?220的標準方程為(?-3)22? + ? - 6?+ ? =+ ?= 9- ?，?： (3,0) ，?=9 -，? 9，22?與圓 ?外切， |?，圓 ?21?| = ?+ ?1212即3 = 1 + 9 - ?，?= 5；(2) 由 (1) 得? =5 ，圓 ?2的方程為 (?- 3)22，?2： (3,0) ， ?2 = 2

25、，+?=4由題意可得圓心 ?到直線 ?+ 2?+ ?= 0的距離 ?=|3+?|2=?- 3=1，252得 |?+ 3| = 5，第11 頁，共 13頁即 ?= -3 + 5或 ?= -3 - 5【解析】 (1) 求出圓心坐標和半徑，結合圓與圓外切的等價條件建立方程進行求解即可(2) 根據(jù)相交弦的弦長公式建立方程進行求解即可本題主要考查圓與圓的位置關系的應用， 結合圓外切以及直線和圓相交時的弦長公式建立方程是解決本題的關鍵考查學生的計算能力，難度中等20【.(1)?= 2?= 4，答案】解：證明：是正三角形，?= 2 ， ?=22220， ?，2， ?= ? + ? =?， ?平面 PAD ，

26、 ?(2) 解：設點 E 是 PD 的中點，連接 AE， CE，?是正三角形，?， ?= 23 ，由 (1) 得 ?平面 PAD ， 平面 ?平面 PAD ，?平面 PCD ，?與平面 PCD 所成角為 ?，?，?=225，+ ?= 2 ?與平面 PCD 所成角的正弦值為?15sin ?=5?【解析】 (1) 推導出 ?， ? ?，從而 ?平面 PAD ，由此能證明 ?(2) 設點 E 是 PD 的中點，連接 AE，CE，推導出 ?，?平面 PCD ，從而 AC 與平面 PCD 所成角為 ?，由此能求出 AC 與平面 PCD 所成角的正弦值本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查

27、空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題21.【答案】 解： (1) 證明： 在四棱錐 ?- ?中， ? ?， ?/?，?= 2?= 2?= 4，?= 2 5， ?是正三角形222， ?，? + ? = ?= ?， ?平面 PAD ，? 平面 PAD ， ?(2) 解：設點 E 是 AD 的中點，連接 PE， BE，?是正三角形， ?， ?= 23，?/?， ? ?， ?= 2?= 2?= 4， ?= ?= 2 ，?， ?/?， ?是正方形，?， ?平面 PBE，?， ?是二面角 ?- ?- ?的平面角，由 (1) 得 ?平面 PAD ， ?，?，?tan ?= ?= 3， ?= 60 【解析】 (1) 推導出 ?， ? ?，從而 ?平面 PAD ，由此能證明 ?(2) 設點 E 是 AD 的中點， 連接 PE，BE，推導出 ?，?= 2 3，?，BCDE是正方形， 從而 ?，進而 ?平面 PBE，?，?是二面角 ?- ?- ?的平面角，由此能求出二面角 ?- ?- ?的大小本題考查線線垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題22.【答案】 解： (1) 由題可知，圓O 的半徑 ?= 2，設