2019年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學高考數(shù)學三模試卷

1、2019 年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學高考數(shù)學三模試卷副標題題號一二三總分得分一、選擇題（本大題共4 小題，共12.0 分）1.已知非零向量 、 ，“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的（）A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件2.若a、b表示兩條直線，）表示平面，下列命題中的真命題為（A. 若 a， ab，則 bB. 若 a， ab，則 bC. 若 a， b? ，則 abD. 若 a， b，則 ab3.拋物線 y2=4 x 的焦點為 F ，點 P（ x， y）為該拋物線上的動點，又點A（ -1， 0），則的最小值是（）A.B.C.D.2 24. 設 x1、x2 是關

2、于 x 的方程 x +mx+m -m=0 的兩個不相等的實數(shù)根， 那么過兩點 A（ x1，）， B（ x2，）的直線與圓（x-1） 2+y2=1 的位置關系是（）A. 相離B. 相切C. 相交D. 隨 m 的變化而變化二、填空題（本大題共12 小題，共 36.0 分）5. 若集合 A= x|3x+1 0 ， B=| x-1| 2 ，則 AB=_6.若復數(shù) z 滿足=-i，其中 i 為虛數(shù)單位，則=_7.若函數(shù) （f x）=1+ （ x 0）的反函數(shù)為-1-1f （ x），則不等式 f （ x） 2 的解集為 _8.試寫出（ x- ） 7 的展開式中系數(shù)最大的項 _9.若y=4-最小值為a，最大

3、值為b=_，則10.已知平面上三點A B C|=| |=| |=2，則、滿足，的值等于 _11.設P是曲線O為坐標原點，M為線段OP的（ 為參數(shù)）上的一動點，中點，則點 M 的軌跡的普通方程為_12.在等差數(shù)列 an10 項迸行求和， 中，首項 a1=3 ，公差 d=2，若某學生對其中連續(xù)在遺漏掉一項的情況下，求得余下9 項的和為 185，則此連續(xù) 10項的和為 _13. 從集合 A=1 ，2， 3，4，5， 6，7，8， 9， 10 中任取兩個數(shù)，欲使取到的一個數(shù)大于 k，另一個數(shù)小于 k（其中 kA）的概率為 ，則 k=_第1頁，共 18頁nnn n+2nn N*，則這個數(shù)列的前n項和S1

4、4.已知數(shù)列?， n=_ a 的通項公式為a =（ -1）15.已知函數(shù)f x）=x-，數(shù)列 an是公比大于0的等比數(shù)列，且滿足a6=1f a1） +f（， （ a2）+f（ a3）+ +f（ a9） +f（ a10） =-a1，則 a1=_16.定義在 R 上的奇函數(shù)f（ x），當 x0時， f（ x） =，則函數(shù) F（ x） =f（ x） -a（ 0 a 1）的所有零點之和為_三、解答題（本大題共5 小題，共60.0 分）17. 如圖，長方體 ABCD -A1B1C1D1 中， AB =BC=2，AA 1=3；（ 1）求四棱錐 A1-ABCD 的體積；（ 2）求異面直線 A1C 與 DD

5、1 所成角的大小18. 已知函數(shù) f（ x） =|2x-a|+a（ 1）若不等式 f （x） 6 的解集為（ -1， 3），求 a 的值；（ 2）在（ 1）的條件下，若存在 x0 R，使 f（ x0） t-f（ -x0），求 t 的取值范圍，M （寬度忽略不計） ，如圖所示， 已知 ABAC，19. 某景區(qū)欲建兩條圓形觀景步道M12AB=AC=AD=60 （單位：米），要求圓M 與 AB， AD 分別相切于點 B， D ，圓 M2與 AC，AD 分別相切于點 C， D（ 1）若，求圓 M1， M2 的半徑（結果精確到 0.1 米）（ 2）若觀景步道M1， M2 的造價分別為每米 0.8 千元與

6、每米0.9 千元，則當 BAD多大時，總造價最低？最低總造價是多少？（結果分別精確到0.1 和 0.1 千元）第2頁，共 18頁20. 已知橢圓 C：的右焦點為 F（1，0），且點 P（ 1， ）在橢圓 C上；（ 1）求橢圓 C 的標準方程；（ 2）過橢圓 C1：=1 上異于其頂點的任意一點Q 作圓 O： x2+y2= 的兩條切線，切點分別為 M、N（ M、N 不在坐標軸上），若直線MN 在 x 軸， y 軸上的截距分別為 m、 n，證明：為定值；（3）若 P 、P 是橢圓 C ：上不同兩點， PxE過P、P ，且122121P2 軸，圓橢圓 C2 上任意一點都不在圓E 內，則稱圓 E 為該橢

7、圓的一個內切圓，試問：橢圓C2 是否存在過焦點F 的內切圓？若存在，求出圓心E 的坐標；若不存在，請說明理由21.若 cn 是遞增數(shù)列，數(shù)列 an 滿足：對任意nN* ，存在 mN* ，使得，則稱 an 是 cn 的“分隔數(shù)列”（ 1）設 cn=2n， an=n+1，證明：數(shù)列 an 是 cn 的分隔數(shù)列；（ 2）設 cn=n-4，Sn 是 cn 的前 n 項和， dn=c3n-2 ，判斷數(shù)列 Sn 是否是數(shù)列 dn 的分隔數(shù)列，并說明理由；（ 3）設，Tn 是 cn 的前 n 項和，若數(shù)列 Tn 是 cn 的分隔數(shù)列， 求實數(shù) a，第3頁，共 18頁q 的取值范圍第4頁，共 18頁答案和解析

8、1.【答案】 C【解析】解：函數(shù)=（22，x）+2 ? x+又 f（x）為偶函數(shù)，f （-x ）=f（x ），22-2 ? x，f（-x ）=（- x）+f（-x ）=f（x），2?x=0， ? =0， ，若，則?=0，f（-x）=f（x），f（x ）為偶函數(shù)，故選：C已知非零向量、，根據(jù) f（-x ）=f（x），求出向量 、的關系，再利用必要條件和充分條件的定 義進行判斷本題主要考查向量的內 積計算，還考查了必要條件和充分條件的定義及其判斷，是一道基礎題2.【答案】 C【解析】解：選項 A 中，由 a，ab，則 b 可能在平面 內，故該命題為假命題；選項 B 中，由 a，ab，則 b或 b，

9、故該命題為假命題；選項 C 中，由線面垂直的判定定理可知， 該命題為真命題；選項 D 中，由 a，b可得到 a，b 相交或平行，故該命題是假命題，故選：C對 4 個選項分別進行判斷，即可得出結論 本題考查的是線面平行的判定與性 質，考查學生分析解決 問題的能力，掌握線面平行的判定與性 質是關鍵3.【答案】 B【解析】第5頁，共 18頁解：由題意可知，拋物線的準線方程為 x=-1，A （-1，0），過 P 作 PN 垂直直線 x=-1 于 N，由拋物線的定義可知 PF=PN，連結 PA，當PA是拋物線的切線時，有最小值，則APN 最大，即PAF 最大，就是直線 PA 的斜率最大，設在 PA 的方

10、程為：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2-4）x+k2=0，=（2k22-4k4所以 -4）=0，解得 k= 1，所以 NPA=45，=cos NPA=故選：B通過拋物線的定義 轉有最小值，只需APN 最大即可， 化 PF=PN，要使作出切線方程即可求出比 值的最小值本題考查拋物線的基本性質線與拋物線的位置關系，轉化思想的應用，直題目新穎4.【答案】 D【解析】解：x1、x2 是關于 x 的方程 x 2+mx+m2-m=0 的兩個不相等的 實數(shù)根，m2-4（m2-m）0，即0m，x1+x2=-m，由 A （x， ），B（x，），得到A 和 B 為拋物線 y=x2 上的兩點，12且

11、直線AB 的斜率 k=x1+x2=-m，又圓心坐標為（，），半徑 ，1 0r=1在同一個坐 標系中作出相 應的圖形，如圖所示：第6頁，共 18頁2 2則直線 AB 與圓（x-1）+y =1 的位置關系可能相交、相切或相離，由 m 的值變化而變化故選：D由已知的一元二次方程有兩個不相等的 實數(shù)根，得到根的判別式大于 0，列出關于 m 的不等式，求出不等式的解集得到 m 的范圍，再利用根與系數(shù)的關系表示出兩根之和，由 A 和 B 坐標的特點得到 這兩點在拋物 線 y=x2 上，且根據(jù)兩點的坐 標求出直線 AB 的斜率，化簡后將表示出的兩根之和代入得到關于m 的式子，在同一個坐 標系中畫出 圓與拋物

12、線，由圖象可知直 線 AB 與圓的位置關系不確定，隨 m 的變化而變化此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知 識有：韋達定理，直線斜率的求法，以及圓的標準方程，利用了數(shù)形 結合的思想，數(shù)形結合思想是數(shù)學中重要的思想方法，做題時 要靈活運用5.【答案】 （ - ， 3）【解析】解：A=x|3x+1 0=x|x - ，B=|x-1| 2=x|-2 x-12=x|-1 x 3 ，則 AB=x| -x3 ，故答案 為 ：（- ，3）求出集合的等價條件，根據(jù)集合的基本運算進行求解即可本題主要考查集合的基本運算，求出集合的等價條件是解決本題的關鍵6.【答案】 1-i【解析】第7頁，共 18頁解：由=-i，

13、得，故答案為：1-i 利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求得 z，則可求本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考 查共軛復數(shù)的概念，是基礎題7.【答案】【解析】解：，有，則，必有x-1 0，2（x-1）1，解得 1 x故答案為：由，可得，因此，解出即可本題考查了反函數(shù)的求法、不等式的解法，考 查了推理能力與 計算能力，屬于中檔題8.【答案】【解析】解：Tr+1= x7-rr7-2r=（-1） x，r 必須為偶數(shù)，分別令 r=0，2，4，6，其系數(shù)分 別為：1， ， ， 經過比較可得：r=4 時滿足條件，T5=x-1=，故答案為：T= -1 rx7-2r，r 必須為偶數(shù)，分別令 r=0，2，4，6，經過比

14、較即可得出r+1（ ）本題考查了二項式定理的 應用，考查了推理能力與 計算能力，屬于基礎題第8頁，共 18頁9.【答案】【解析】解：y=4-，定義域為-1 ，3當 x=1 時，y 取最小值為 2，當x=3 或-1 時，y 取最大值為 4，故 a=2，b=4；=故答案為： 先求函數(shù)的定 義，求出函數(shù)的最大值 a 和最小值 b，代入求極限本題考查求函數(shù)的定 義域，根據(jù)定義域求函數(shù)的最 值及求極限，屬于中檔題10.【答案】 -8【解析】解：由|=，|=，|=2，可得：|2+|2=|2，即有 ABC 為直角三角形，由+= ，兩邊平方可得，|2+|2+|2+2（）=0，即有=- |2+|22）（| +|

15、=- （3+5+8）=-8故答案為：-8由三邊的平方和的關系，可得 ABC 為直角三角形，由+=，兩邊平方結合向量的平方即 為模的平方，計算即可得到所求 值本題考查 向量的數(shù)量 積的性質：向量的平方即為模的平方，注意平方法的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔 題11.【答案】 8x2-4y2=1【解析】第9頁，共 18頁解：曲線（為參數(shù)），即有，由 sec2-tan2 =1，可得曲線的方程為 2x2-y2=1，設 P（x0，y0），M （x，y），可得，代入曲線方程，可得2x22=1，即為 2（2x220-y0）-（2y）=1，即為 8x2-4y2=1故答案為：8x2-4y2=1由 sec

16、2-tan2 =1，可得曲線的方程為 2x2-y2=1，設 P（x0，y0），M （x，y），運用中點坐標公式，代入曲線方程，化簡整理即可得到所求 軌跡方程本題考查中點的軌跡方程的求法，注意運用代入法和中點坐 標公式，考查參數(shù)方程和普通方程的互化，注意運用同角的平方關系，考 查運算能力，屬于中檔題12.【答案】 200【解析】解：若遺漏的是 10 項中的第一 項或最后一 項，則 185=9?a中，故a 中 =20 （舍去）；故設 9 項為 an，an+1，an+2， ，an+m-1，an+m+1 ，an+m+2， ，an+9，其中（0 m9，mN* ）故10an+2-am+n=185，即 10

17、（2n+1）+90-2（m+n）-1=185，故 m=9n-43，故 n=5，m=2；故10a5+2=110+90=200；故答案為：200第10 頁，共 18頁先排除不是 遺漏掉首項與末項，從而設 9 項為 an，an+1，an+2，an+m-1 ，an+m+1 ，an+m+2，an+9，從而可得 10（2n+1）+90-2（m+n）-1=185，從而求得本題考查了等差數(shù)列的前n 項和公式與通 項公式的應用13.【答案】 4或 7【解析】解：從集合 A=1 ，2，3，4，5，6，7，8，9，10 中任取兩個數(shù)，欲使取到的一個數(shù)大于為，k，另一個數(shù)小于 k（其中kA ）的概率= ，解得 k=4

18、 或 k=7故答案為：4 或 7由題意=，由此能求出結果本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用14.【答案】【解析】解：當n 為偶數(shù)時，Sn=（-1+2）+（-3+4）+ +（-n+1+n）+（2+22+2n）= +=2n+1+-2；當 n 為奇數(shù)時，Sn=（-1+2）+（-3+4）+ +（-n+2+n-1）-n+（2+22+ +2n）= -n+=2n+1- - ；綜上所述，Sn=分 n 為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況 討論，利用分組求和法計算即得結論 本題考查數(shù)列的通 項及前 n 項和，考查運算求解能力，考查分組求和法，考查分類討論的思想，注意解題方法的積

19、累，屬于中檔題第11 頁，共 18頁15.【答案】【解析】解：函數(shù) f（x）=x-，f（x ）+=x-+-x=0，f（1）=0數(shù)列 a n 是公比大于 0 的等比數(shù)列，且滿足 a6=1，a2a10=a3a9=a4a8=a5a7=1，f （a1）+f（a2）+f （a3）+f （a9）+f（a10）=f （a1）+f（a6）= =-a1，a1 0則 a1=故答案為：函數(shù) f （x）=x-，可得 f（x）+=0，f（1）=0根據(jù)數(shù)列a n 是公比大于 0 的等比數(shù)列，且滿足 a6=1，可得 a2a10=a3a9=a4a8=a5a7=1，代入化簡即可得出本題考查了等比數(shù)列的通 項公式及其性 質、函數(shù)

20、性質，考查了推理能力與 計算能力，屬于中檔題16.【答案】 1-2a【解析】解：當 x0時，f （x）=，即 x0 ，1）時，f（x）=（x+1）（-1，0；x1，3時，f（x ）=x-2-1，1；x（3，+）時，f（x）=4-x（-，-1）；畫出 x0時 f （x）的圖象，再利用奇函數(shù)的 對稱性，畫出 x0 時 f（x）的圖象，如圖所示；第12 頁，共 18頁則直線 y=a，與y=f（x）的圖象有 5 個交點，則方程 f （x）-a=0 共有五個 實根，最左邊兩根之和 為-6，最右邊兩根之和 為 6，x（-1，0）時，-x（0，1），f（-x ）=（-x+1），又 f（-x）=-f（x），f

21、（x ）=-（-x+1）=-1=log2（1-x），（1-x）中間的一個根 滿足 log2（1-x）=a，即 1-x=2a，解得 x=1-2a，所有根的和 為 1-2a故答案為：1-2a函數(shù) F（x）=f（x）-a（0 a 1）的零點轉化為：在同一坐標系內 y=f（x ），y=a 的圖象交點的橫坐 標；作出兩函數(shù)圖象，考查交點個數(shù)，結合方程思想，及零點的對稱性，根據(jù)奇函數(shù) f（x）在x0時的解析式，作出函數(shù)的 圖象，結合圖象及其對稱性，求出答案本題考查分段函數(shù)的 圖象與性質的應用問題，也考查了利用函數(shù)零點與方程的應用問題，是綜合性題目17.【答案】 解：（ 1） 長方體 ABCD - A1 B

22、1C1D 1 中， AB=BC=2 ，AA 1=3，四棱錐 A1 -ABCD 的體積：=4第13 頁，共 18頁（ 2） DD 1CC1， A1CC1 是異面直線A1C 與 DD 1 所成角（或所成角的補角），tanA1CC1=，=異面直線A1C 與 DD 1 所成角的大小為；【解析】錐A 1-ABCD 的體積=，由此能求出結果（1）四棱（2）由DD 1CC1，知A 1CC1 是異面直 線 A 1C 與 DD 1所成角（或所成角的補角），由此能求出異面直 線 A1C 與 DD 1 所成角的大小本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的求法，是中檔 題，解題時要認真審題，注空間思維能力的培

23、養(yǎng)18.【答案】 解：（1） 函數(shù)fx）=|2x-a|+a（，不等式 f（ x） 6 的解集為（-1，3），|2x-a| 6-a 的解集為（ -1，3），由 |2x-a| 6-a，可得 a-6 2x+a 6-a，求得 a-3x3，故有 a-3=-1 ， a=2（ 2）在（ 1）的條件下， f（ x） =|2x-2|+2，令 g（ x）=f（ x）+f（-x） =|2x-2|+|2x+2|+4=，故 g（ x）的最小值為8，故使 f（ x） t-f（ -x）有解的實數(shù)t 的范圍為 8 ，+）【解析】（1）求得不等式 f （x）6 的解集為 a-3x3，再根據(jù)不等式 f（x）6 的解集為（-1，3

24、），可得a-3=-1，由此求得 a 的范圍；（2）令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4，求出 g（x ）的最小值，可得 t 的范圍本題主要考查絕對值 不等式的解法，分段函數(shù)的 應用，求函數(shù)的最小值，函數(shù)的能成立 問題 ，屬于中檔題19.【答案】 解：（ 1）連結 M1M 2， AM 1，AM 2，圓 M1與 AB，AD 相切于B， D，圓 M2 與 AC，AD 分別相切于點C， D ，M1，M 2AD， M 1AD = BAD = ， M2AD =，第14 頁，共 18頁M1B=ABtanM1 AB=60 =20 34.6（米），tan =， tan=2-，同理可得

25、： M2D =60 tan=60 （2-） 16.1（米）（ 2）設 BAD =2（0 ），由（1）可知圓 M1 的半徑為 60tan ，圓 M 2 的半徑為 60tan（ 45-），設觀景步道總造價為y 千元，則 y=0.8?2?60tan +0.?29?60tan（ 45-）=96tan +108?，設 1+tan =x，則 tan =x-1，且 1 x 2y=96 （ x-1） +108 （） =12 ?（ 8x+-17） 84 263，.8當且僅當 8x= 即 x= 時取等號，當 x= 時， tan =， 26.6，2 53.2當 BAD 為 53.2 時，觀景步道造價最低，最低造價為

26、263.8 千元【解析】（1）利用切線的性質即可得出 圓的半徑；（2）設 BAD=2 ，則總造價 y=0.8?2 ?60tan +0.9?2?60tan（45-），化簡，令1+tan =x換元，利用基本不等式得出最 值 本題考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，屬于中檔 題20.的右焦點為 F（ 1，0），且點 P（ 1，【答案】 解：（ 1）橢圓 C：）在橢圓C 上；，解得 a=2， b=，橢圓 C 的標準方程為（ 2）由題意： C1：+=1，設點 P（ x1， y1）， M（ x2， y2）， N（ x3， y3），M， N 不在坐標軸上，kPM=-=-，直線 PM 的方程為 y-

27、y2=-（ x-x2），第15 頁，共 18頁化簡得： x2 x+y2y= ，同理可得直線PN 的方程為x3x+y3y= ，把 P 點的坐標代入、得，直線 MN 的方程為 x1x+y1y= ，令 y=0 ，得 m=，令 x=0 得 n=，x1=， y1=，又點 P 在橢圓C1 上，（ ） 2+3（） 2=4，則+ = 為定值（ 3）由橢圓的對稱性，可以設P1（m，n）， P2（ m，-n），點 E 在 x 軸上，設點 E（ t，0），2222則圓 E 的方程為：（ x-t） +y =（m-t） +n，由內切圓定義知道，橢圓上的點到點E 距離的最小值是 |P1E|，設點 M（ x，y）是橢圓 C

28、 上任意一點，則 |ME |2=（ x-t ） 2+y2=，當 x=m 時， |ME|2 最小， m=-，又圓 E 過點 F，（-） 2=（ m-t） 2+n2，點 P1 在橢圓上， ，由，解得：t=-或 t=- ，又 t=- 時， m=- -2，不合題意，綜上：橢圓 C 存在符合條件的內切圓，點E 的坐標是（ - ，0）【解析】（1）由焦點坐標確定出 c 的值，根據(jù)橢圓的性質列出 a與 b 的方程，再將 P 點坐標代入橢圓方程列出關于 a 與 b 的方程，聯(lián)立求出 a 與 b 的值，確定出橢圓方程即可（2）由題意：確定出C1 的方程，設點 P（x1，y1），M （x2，y2），N（x3，y3），根據(jù)M ，N 不在坐標軸上，得到直線 PM 與直線 OM 斜率乘積為 -1，確定出直線 PM 的方程，同理可得直線 PN 的方程，進而確定出直 線 MN 方程，求出直線 MN 與第16 頁，共 18頁x 軸，y 軸截距 m 與 n，即可確定出所求式子的 值為定值（3）依題意可得符合要求的 圓 E，即為過點 F，P1，P2 的三角形的外接 圓所以圓心在 x 軸上根據(jù)題意寫出圓 E 的方程由于圓的存在必 須要符合，橢圓上的點到圓 E 距離的最小 值是|P1E|，結合圖形可得圓心 E 在線段 P1P2上，半徑最小