2019-2020學年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 1.2.2 集合與函數(shù)概念（第2課時）分段函數(shù)與映射課件 新人教A版必修1

1、第2課時分段函數(shù)與映射 1.了解分段函數(shù)的概念,會求分段函數(shù)的函數(shù)值,能畫出分段函數(shù) 的圖象. 2.了解映射的概念,會判斷給出的對應是不是映射. 3.能在實際問題中列出分段函數(shù),并能解決有關問題. 1.分段函數(shù) 所謂分段函數(shù),是指在定義域的不同部分,有不同的對應關系的 函數(shù). 名師點撥名師點撥分段函數(shù)是一個函數(shù),不要把它誤認為是幾個函數(shù).分段 函數(shù)的定義域是各段自變量取值的并集,值域是各段函數(shù)值的并集. 答案:B 2.映射 (1)定義:一般地,設A,B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對 應關系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確 定的元素y與之對應,那么就稱對應f:AB

2、為從集合 A到集合B的一 個映射. 歸納總結歸納總結滿足下列條件的對應f:AB為映射: (1)A,B為非空集合; (2)有對應關系f; (3)集合A中的每一個元素在集合B中均有唯一確定的元素與之對 應. (2)映射與函數(shù)的聯(lián)系 歸納總結歸納總結函數(shù)新概念,記準三要素;定義域值域,關系式相連;函數(shù) 表示法,記住也不難;圖象和列表,解析最常見;函數(shù)變映射,只是數(shù)集 變;不再是數(shù)集,任何集不限. 【做一做2】 下列從集合M到集合N的對應中,不是映射的是( ) 解析:選項A,B,C均符合映射的定義,都是映射;選項D中,集合M中 的元素1在集合N中有兩個元素a和b與之對應,不符合映射的定義, 則選項D不

3、是映射. 答案:D 畫分段函數(shù)的圖象 剖析畫分段函數(shù)的圖象時,要分析分段函數(shù)的定義域,遵循定義 域優(yōu)先的原則. 數(shù)y=(x+1)2的圖象,取其在區(qū)間(-,0上的圖象,其他部分刪去不 要;畫一次函數(shù)y=-x的圖象,取其在區(qū)間(0,+)內的圖象,其他部 分刪去不要;這兩部分圖象合起來就是所要畫的分段函數(shù)的圖象 (如圖所示). 由此可得,畫分段函數(shù) 畫整個函數(shù)y=f1(x)的圖象,取其在區(qū)間D1上的圖象,其他部分刪 去不要; 畫整個函數(shù)y=f2(x)的圖象,取其在區(qū)間D2上的圖象,其他部分刪 去不要; 將各個部分的圖象合起來就是所要畫的分段函數(shù)的圖象. 題型一題型二題型三題型四 判斷映射 【例1】

4、下列對應是從集合M到集合N的映射的是() M=N=R,f:xy=x3,xM,yN. A.B.C.D. 解析:對于,集合M中的元素0在N中無元素與之對應,所以不 是映射;對于,M中的元素0及負實數(shù)在N中沒有元素與之對應,所 以不是映射;對于,M中的元素在N中都有唯一的元素與之對 應,所以是映射.故選D. 答案:D 題型一題型二題型三題型四 反思判斷一個對應是不是映射,依據(jù)是映射的定義.判斷方法為: 先看集合A中每一個元素在集合B中是否均有對應元素.若不是,則 不是映射;若是,再看對應元素是否唯一,若唯一,則是映射;若不唯一, 則不是映射. 題型一題型二題型三題型四 【變式訓練1】 判斷下列對應是

5、不是從集合A到集合B的映射: (1)A=N*,B=N*,對應關系f:xy=|x-3|,xA,yB; (2)A=平面內的圓,B=平面內的矩形,對應關系f:作圓的內接 矩形; (3)A=高一(1)班的男生,B=R,對應關系f:每個男生對應自己的 身高; 題型一題型二題型三題型四 解:(1)A中元素3在對應關系f的作用下與3的差的絕對值為0,而 0B,故不是映射. (2)因為一個圓有無數(shù)個內接矩形,即集合A中任何一個元素在集 合B中有無數(shù)個元素與之對應,故不是映射. (3)對A中任何一個元素,按照對應關系f,在B中都有唯一的元素與 之對應,符合映射定義,是映射. 題型一題型二題型三題型四 分析:先求

6、f(-3),設f(-3)=m,再求f(m),設f(m)=n,再求f(n)即可. 解:-30,f(f(f(-3)=f()=+1, 即f(f(f(-3)=+1. 反思反思1.求分段函數(shù)的函數(shù)值,一定要注意所給自變量的值所在的 范圍,再代入相應的解析式求得. 2.像本題中含有多層“f”的問題,要按照“由里到外”的順序,層層處 理. 求分段函數(shù)的函數(shù)值 題型一題型二題型三題型四 (2)若f(a)=2,求a的值. (2)當a-1時,由f(a)=2,得a+2=2,解得a=0,舍去;當-1a2時,由 f(a)=2,得2a=2,解得a=1;當a2時, 綜上所述,a的值為1或2. 題型一題型二題型三題型四 分段

7、函數(shù)的圖象及應用 【例3】如圖,已知底角為45的等腰梯形ABCD,底邊BC長為7 cm, 題型一題型二題型三題型四 解:過點A,D分別作AGBC,DHBC,垂足分別是G,H. 所以BG=AG=DH=HC=2 cm. 又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm. (3)當點F在線段HC上,即x(5,7時, y=S五邊形ABFED=S梯形ABCD-SRtCEF 題型一題型二題型三題型四 函數(shù)圖象如圖所示. 題型一題型二題型三題型四 反思求實際問題中函數(shù)的解析式,其關鍵是要充分利用條件建立 關于變量的等式.確定函數(shù)的定義域時,除了考慮函數(shù)解析式自身 的限制條件外,還要考慮問題的實際意義. 題型一題型二題型三題型四 【變式訓練3】 根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象(如圖)寫出其解析式. 解:當0 x1時,f(x)=2x; 當1x2時,f(x)=2; 當x2時,f(x)=3. 題型一題型二題型三題型四 易混易錯題 易錯點錯誤理解分段函數(shù) 錯解由x2-1=3,得x=2;由2x+1=3,得x=1. 故x的值為2,-2或1. 錯因分析:本題是一個分段函數(shù)問題,在解決此類問題時,要緊扣 “分段”的特征,即函數(shù)在定義域的不同部分,有不同的對應關系,它 不是幾個函數(shù),而是一個函數(shù).求值時不能忽視x的取值范圍,錯解中 x=-2和