高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí)（經(jīng)典實(shí)用）

1、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 1 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 第三章第三章 一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)(可導(dǎo)充要條件可導(dǎo)充要條件) 二、用求導(dǎo)法則求導(dǎo)二、用求導(dǎo)法則求導(dǎo) 四、函數(shù)的微分四、函數(shù)的微分 三、高階導(dǎo)數(shù)求法三、高階導(dǎo)數(shù)求法 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 2 一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo) 1.導(dǎo)數(shù)定義的等價(jià)形式導(dǎo)數(shù)定義的等價(jià)形式 x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 h xfhxf h )()( lim 00 0 0 0) ()( lim 0 xx xfxf xx 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) x xfxx

2、f xf x )()( lim)( 0 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) h xfhxf h )()( lim 0 xt xftf xt )()( lim )( 0 x f )(x f x y xx 0 lim 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 3 【例【例1】 ).0()1(),100()1()(ffxxxxf 和和求求設(shè)設(shè) 【解【解】用導(dǎo)數(shù)定義用導(dǎo)數(shù)定義 1 )1()( lim)1( 1 x fxf f x )100()2( lim 1 xxx x !99 【解【解】用求導(dǎo)法則用求導(dǎo)法則先求導(dǎo)函數(shù)先求導(dǎo)函數(shù) )100()1()( xxxxf )100()2()1()100()2()1

3、( xxxxxxxx )100()2()1()100()2( xxxxxxx 故故!99)99()2)(1(1)1( f 同理可求同理可求 f (0)(自己練習(xí)自己練習(xí)) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 4 【例【例2】已知可導(dǎo)函數(shù)已知可導(dǎo)函數(shù)f (x)表示的曲線在表示的曲線在 x xf x 1)( lim 2 0 【分析】【分析】切線斜率切線斜率點(diǎn)導(dǎo)數(shù)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義極限極限 【解】【解】1)( 1)( lim 1)( lim 0 2 0 xf x xf x xf xx 1)0( )0( ff 1)( 0 )0()( lim 0 xf x fxf x 1)1

4、1( 2 1 點(diǎn)點(diǎn)(0,1) 處的切線的斜率為處的切線的斜率為1/2 ，求，求 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 5二、用求導(dǎo)法則求導(dǎo)二、用求導(dǎo)法則求導(dǎo) 1.四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 2.反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則 3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 4.隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則 5 5. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（注意適用類型）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（注意適用類型） 6.參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)法參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)法 【復(fù)習(xí)】冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法【復(fù)習(xí)】冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 方法方法：化為：化為 )( )( xv xuy )(ln)(xuxv ey 復(fù)合函數(shù)鏈復(fù)合函

5、數(shù)鏈 式法則式法則 方法方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法. 16組求導(dǎo)公式組求導(dǎo)公式 )( )( xv xuy )(ln)(xuxv e 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 6【例【例7】求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)： 【解】【解】 )1(ln 2xx eey xu uyy則則 【分析】【分析】復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t )1( 2 xx ee ) 12 2 ( 2 2 x x x e e e 1 1 2 xx ee 【關(guān)鍵】【關(guān)鍵】搞清每一部分的復(fù)合結(jié)構(gòu)搞清每一部分的復(fù)合結(jié)構(gòu)用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式 ,1),( 2xx eeuufy 令令 1 1 2 xx ee 上頁上頁

6、 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 7 ., )0, 0()( 2 2 dx yd yxxyxfy y x 求求所所確確定定 由由方方程程設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 【例【例9】 【解】【解】 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),ln 1 ln 1 x y y x ,lnln xxyy 即即 , 1ln 1 ln xy y yyy, 1ln 1ln y x y即即 2 )1(ln 1 )1(ln)1(ln 1 y y y xy x y 3 22 )1(ln )1(ln)1(ln yxy xxyy 【分析】【分析】隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)(冪指函數(shù)冪指函數(shù))對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)

7、束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 8 .,)(sin cos yxxy x 求求設(shè)設(shè)【例【例10】 【解】【解】等等式式兩兩邊邊取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)有有 ) sin cos sinlnsin 1 ()(sin 2 cos x x xx x xxy x 即即 【分析】【分析】含有冪指函數(shù)含有冪指函數(shù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 有有取取導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩兩邊邊對(duì)對(duì)x xxxxxy x sinlncosln)(sinlnln cos x x xxx xy y cos sin 1 cossinlnsin 1 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 9 【例【例11】設(shè)設(shè) )( , )()( )( tf tft

8、fty tfx 存在且不為零，存在且不為零， 求求 2 2 ; dx yd dx dy 【分析】【分析】參數(shù)方程的求導(dǎo)，特別注意高階導(dǎo)數(shù)每次都參數(shù)方程的求導(dǎo)，特別注意高階導(dǎo)數(shù)每次都 要用要用參數(shù)方程求導(dǎo)公式參數(shù)方程求導(dǎo)公式. . 【解】【解】 t t x y dx dy )( )()( )( tf tftfttf t tf tft )( )( )( 2 2 dx dy dx d dx yd dx dt dx dy dt d )( dt dx t dt d1 )( )( 1 1 t f )( 1 t f t y )( 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí)

9、10三、高階導(dǎo)數(shù)求法三、高階導(dǎo)數(shù)求法 直接法；直接法；歸納法；歸納法；四則運(yùn)算法；四則運(yùn)算法；間接法；間接法； 【常用【常用 n 階導(dǎo)數(shù)公式】階導(dǎo)數(shù)公式】 nn xnx )1()1()()4( )( n nn x n x )!1( )1()(ln)5( 1)( ) 2 sin()(sin)2( )( nkxkkx nn ) 2 cos()(cos)3( )( nkxkkx nn )0(ln)()1( )( aaaa nxnxxnx ee )( )( )1( 1 )( ! )1() 1 ( )6( n nn x n x 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 11 ., 1

10、14 )( 2 2 n y x x y求求設(shè)設(shè) 【例【例12】 【解】【解】 1 344 1 14 2 2 2 2 x x x x y) 1 1 1 1 ( 2 3 4 xx , )1( !)1( ) 1 1 ( 1 )( n n n x n x , )1( !)1( ) 1 1 ( 1 )( n n n x n x . )1( 1 )1( 1 !)1( 2 3 11 )( nn nn xx ny 【分析】【分析】n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)間接法間接法. 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 12 【例【例13】)0( , 0, 22 0, )( 2 f xxe xxx xf x

11、求求設(shè)設(shè) 【分析】【分析】 分界點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)要用二階導(dǎo)數(shù)定義求分界點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)要用二階導(dǎo)數(shù)定義求 x fxf f x )0()( lim)0( 0 為此，須先求為此，須先求f (x)及及f () ，再用定義計(jì)算，再用定義計(jì)算f (). 【解】【解】 01 0, 12 0, 12 )( x xe xx xf x f ()=1 也用導(dǎo)數(shù)定義求得也用導(dǎo)數(shù)定義求得 x fxf f x )0()( lim)0( 0 x fxf f x )0()( lim)0( 0 2 1)12( lim 0 x x x 2 1)12( lim 0 x e x x 2)0( f 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高

12、數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 13 五、奇五、奇(偶偶)函數(shù)和周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù)和周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 1、可導(dǎo)可導(dǎo)奇奇(偶偶)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶偶(奇奇)函數(shù)函數(shù). 【練習(xí)】【練習(xí)】 1.判斷判斷:可導(dǎo)非奇非偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)可導(dǎo)非奇非偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)必為非奇非偶函數(shù) （ ） 2.非周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)必為非周期函數(shù)嗎？非周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)必為非周期函數(shù)嗎？ y= x xysin1 如如 2、可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù)可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù), , 且周期不變且周期不變. . 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 14 3.設(shè)設(shè)f (x)是偶函數(shù)且在點(diǎn)是偶函

13、數(shù)且在點(diǎn)x = 0可導(dǎo)可導(dǎo), 則則 f (0) = 0 【提示】【提示】本題只能用定義去證。僅知在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在本題只能用定義去證。僅知在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在 該點(diǎn)的某個(gè)小鄰域內(nèi)不一定可導(dǎo)該點(diǎn)的某個(gè)小鄰域內(nèi)不一定可導(dǎo). 若由若由f (x)為奇函數(shù)得為奇函數(shù)得 f (x) = f (x)，令，令 x = 0 得證得證. 【證】【證】 t ftf x fxf f t xt x )0()( lim )0()( lim) 0 ( 00 ),0( )0()( lim 0 f t ftf t ).0()0( ff . 0)0( ),0()0( ),0()0()0( ffffff 即即由于由于f (0) 存在存在

14、 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 15 四、微分公式與微分法則四、微分公式與微分法則 dxxfdy) ( 【求法】【求法】計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), ,再乘以自變量的微分再乘以自變量的微分. . 1. .【基本初等函數(shù)的微分公式】【基本初等函數(shù)的微分公式】 xdxxxdxdxxxd xdxxdxdxxd xdxxdxdxxd dxxxdCd cotcsc)(csctansec)(sec csc)(cotsec)(tan sin)(coscos)(sin )(0)( 22 1 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 16 dx x xddx x

15、 xd dx x xddx x xd dx x xddx ax xd dxeedadxaad a xxxx 22 22 1 1 )cot( 1 1 )(arctan 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin 1 )(ln ln 1 )(log )(ln)( 2. 【函數(shù)和、差、積、商的微分法則】【函數(shù)和、差、積、商的微分法則】 2 )()( )()( v udvvdu v u dudvvduuvd CduCuddvduvud arc 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 17 【教材教材例例2】 【解】【解】 .),ln( 2 dyexy x 求求設(shè)設(shè) , 21

16、 2 2 x x ex xe y . 21 2 2 dx ex xe dy x x 【例【例3】 【解】【解】 .,cos 31 dyxey x 求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos 3131 xdeedxdy xx .sin)(cos,3)( 3131 xxee xx dxxedxexdy xx )sin()3(cos 3131 .)sincos3( 31 dxxxe x 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 18 ;)(,)1(dxxfdyx 是是自自變變量量時(shí)時(shí)若若 則則微函數(shù)微函數(shù) 的可的可即為另一變量即為另一變量是中間變量時(shí)是中間變量時(shí)若若 ),( ,)2( tx t

17、x ),()(xfxfy 有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) )()(dttxfdy ,)(dxdtt .)(dxxfdy 【結(jié)論】【結(jié)論】 的的微微分分形形式式總總是是 函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量無無論論 )( , xfy x 微分形式的不變性微分形式的不變性 dxxfdy) ( 3. .【復(fù)合函數(shù)的微分法則】【復(fù)合函數(shù)的微分法則】（微分形式的不變性）（微分形式的不變性） 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 19 【例【例5】 【解】【解】 .,sindybxey ax 求求設(shè)設(shè) .)sincos(dxbxabxbe ax 【教材教材例例4】 【解】【解】 .),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) . 12,sin xuuy ududycos )12()12cos( xdx dxx2)12cos( .)12cos(2dxx )(cos)(sinbxbxdeaxdebxdy axax bdxbxedxaebx axax cos)(sin 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí) 20 ?,05. 0 ,10 問面積增大了多少問面積增大了多少厘米厘米 半徑伸長了半徑伸長了厘米的金屬圓片加熱后厘米的金屬圓片加熱后