2020版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.2.2 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則（二）課件 新人教A版選修2-2

1、-1- 1.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則(二) 目標導航 1.能利用導數(shù)的四則運算法則求導數(shù). 2.能運用復合函數(shù)的求導法則進行復合函數(shù)的求導. 知識梳理 1.導數(shù)的運算法則 設(shè)兩個函數(shù)分別為f(x)和g(x),則 名師點撥1.兩個函數(shù)和與差的導數(shù)運算法則可以推廣到若干個 函數(shù)和與差的情形: f1(x)f2(x)fn(x)=f1(x)f2(x)fn(x). 2.注意兩個函數(shù)的積與商的求導公式中,符號的異同,積的導數(shù)中 是“+”號,而商的導數(shù)中分子上是“-”號. 知識梳理 【做一做1-1】 函數(shù)y=x3cos x的導數(shù)是() A.3x2cos x+x3sin x B.3x2cos

2、 x-x3sin x C.3x2cos x D.-x3sin x 解析:y=(x3cos x)=3x2cos x+x3(-sin x)=3x2cos x-x3sin x,故選B. 答案:B 【做一做1-2】 若函數(shù)f(x)=ax4+bx2+c滿足f(1)=2,則f(-1)等于( ) A.-1B.-2C.2D.0 解析:f(x)=4ax3+2bx為奇函數(shù), f(-1)=-f(1)=-2. 答案:B 知識梳理 2.復合函數(shù) 【做一做2】 求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=ln(-x); (2)y=e3x. 解:(1)函數(shù)y=ln(-x)可以看作函數(shù)y=ln u和u=-x的復合函數(shù),根據(jù) 復合函數(shù)的求導

3、法則有yx=yuux=(ln u)(-x) (2)函數(shù)y=e3x可以看作函數(shù)y=eu和u=3x的復合函數(shù),根據(jù)復合函 數(shù)的求導法則有yx=yuux=(eu)(3x)=eu3=3e3x. 重難聚焦 1.如何認識積和商的導數(shù)運算法則? (2)若c為常數(shù),則cf(x)=cf(x). (3)類比f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) 重難聚焦 2.如何利用復合函數(shù)的求導法則求復合函數(shù)的導數(shù)? 剖析求復合函數(shù)的導數(shù),一般按以下三個步驟進行: (1)適當選定中間變量,正確分解復合關(guān)系,即說明函數(shù)關(guān)系 y=f(u),u=g(x); (2)分步求導(弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導),要特

4、 別注意中間變量對自變量求導,即先求yu,再求ux; (3)計算yuux,并把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù). 整個過程可簡記為分解求導回代.熟練以后,可以省略中間 過程. 典例透析 題型一題型二題型三題型四 導數(shù)公式及法則的應用 【例1】 求下列函數(shù)的導數(shù): (6)y=xtan x. 分析:所給函數(shù)解析式較復雜時,不能直接套用導數(shù)公式和法則, 可先對函數(shù)解析式進行適當?shù)淖冃闻c化簡,然后再求導. 典例透析 題型一題型二題型三題型四 (2)y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, y=(x+1)(x+2)(x+3) =(x3+6x2+

5、11x+6) =3x2+12x+11. 典例透析 題型一題型二題型三題型四 典例透析 題型一題型二題型三題型四 反思應用基本初等函數(shù)的求導公式和導數(shù)的運算法則解決函數(shù) 的求導問題時注意以下幾點: 典例透析 題型一題型二題型三題型四 【變式訓練1】 求下列函數(shù)的導數(shù): 典例透析 題型一題型二題型三題型四 y=(cos x-sin x)=-sin x-cos x. 典例透析 題型一題型二題型三題型四 復合函數(shù)求導 【例2】 求下列函數(shù)的導數(shù): 分析:解答本題可先分析復合函數(shù)的復合層次,再利用復合函數(shù) 的求導法則求解. 典例透析 題型一題型二題型三題型四 典例透析 題型一題型二題型三題型四 反思求復

6、合函數(shù)的導數(shù)需處理好以下環(huán)節(jié): (1)中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu); (2)關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復合層次; (3)一般是從最外層開始,由外及里,一層層地求導; (4)善于把一部分表達式作為一個整體; (5)最后要把中間變量換成原自變量的函數(shù). 典例透析 題型一題型二題型三題型四 【變式訓練2】 求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=ln(2x-7); (2)y=x2sin 2x. 解:(1)設(shè)y=ln u,u=2x-7, (2)令y1=sin 2x. 設(shè)y1=sin u,u=2x, 則y1=(sin u)u=2cos u=2cos 2x. 故y=(x2)sin 2x+x2(sin 2x) =2xs

7、in 2x+2x2cos 2x. 典例透析 題型一題型二題型三題型四 求曲線的切線方程 【例3】 求過點(1,-1)且與曲線y=x3-2x相切的直線方程. 分析:解答本題可先設(shè)出切點坐標,對函數(shù)求導,寫出切線方程,再 利用切點在曲線上,切線過點(1,-1)代入求解. 解:設(shè)P(x0,y0)為切點, 典例透析 題型一題型二題型三題型四 即x-y-2=0或5x+4y-1=0. 典例透析 題型一題型二題型三題型四 反思1. 2.求過點P與曲線相切的直線方程的步驟: 3.經(jīng)過曲線上某點的切線不一定只有一條,即該點有可能是切點, 也可能是切線與曲線的交點,解題時注意不要漏解. 典例透析 題型一題型二題型

8、三題型四 【變式訓練3】 (1)求曲線y=xex+2x+1在點(0,1)處的切線方程; (2)在平面直角坐標系xOy中,點P在曲線C:y=x3-10 x+3上,且在第 二象限內(nèi),已知曲線C在點P處的切線斜率為2,求點P的坐標. 解:(1)因為y=ex+xex+2, 所以曲線在點(0,1)處的切線斜率為k=e0+0+2=3, 所以所求切線方程為y-1=3x,即y=3x+1. (2)設(shè)點P的坐標為(x0,y0), 因為點P在第二象限內(nèi),所以x0=-2. 因為點P在曲線C上,所以y0=(-2)3-10(-2)+3=15, 故點P的坐標為(-2,15). 典例透析 題型一題型二題型三題型四 易錯辨析 易錯點:對復合函數(shù)認識不清而致錯 【例4】 已知y=(1+cos 2x),則y=. 錯解-cos 2x 錯因分析對復合函數(shù)求導計算不熟