兩角和差正余弦公式的證明

1、兩角和差正余弦公式的證明兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很重要的一組公式。下面我們就它們的推導(dǎo)證明方法進(jìn)行探討。仃+卩的正弦或余弦值,這正是兩角和差的正余弦公式的功能。 換言之，要推導(dǎo)兩角和差的正余弦公式，就是希望能得到一個等式或方程將I瞋a0）或血口土切與口, 0的三角函數(shù)聯(lián)系起來。根據(jù)誘導(dǎo)公式，由角0的三角函數(shù)可以得到的三角函數(shù)。因此，由和角公式容sin(-Z)=cosfl易得到對應(yīng)的差角公式，也可以由差角公式得到對應(yīng)的和角公式。 又因?yàn)椋丛堑挠嘞业扔谄溆嘟堑恼遥瑩?jù)此，可以實(shí)現(xiàn)正弦公式和余弦公式的相互推導(dǎo)。因此，只要解決這組公式中的一個，其余的公式將很容易得到。（一）在單位圓的框架下推

2、導(dǎo)和差角余弦公式注意到單位圓比較容易表示ff，和巴I”，而且角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)可以用三角函數(shù)值表示，因此，我們可以用單位圓來構(gòu)造聯(lián)系與，0的三角函數(shù)值的等式。1.和角余弦公式（方法1）如圖所示，在直角坐標(biāo)系M也中作單位圓，并作角d，E和，使 角的始邊為Or，交0于點(diǎn)a，終邊交L于點(diǎn)b；角0始邊為，終邊交 0于點(diǎn)C;角 始邊為，終邊交。于點(diǎn)。從而點(diǎn) A，B，C和D的坐標(biāo)分別為555由兩點(diǎn)間距離公式得Q 二（8s+Q-F+血 征+勸=2-2噸+0）；5i)2=(cos/?-cosff)2+(-sm/?-siiay = 2-2(cosacos/?-suiasui/J)。注意到必 8D,因此血

3、決E旳-a畑”/f。注記：這是教材上給出的經(jīng)典證法。它借助單位圓的框架，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)兩條相等線段，從而得到我們所要的等式。注意 ，公式中的 住和/為任意角。2.差角余弦公式仍然在單位圓的框架下 ，用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式和余弦定理表達(dá)同一線段，也可以得到我們希望的三角等式。這就是(方法2)如圖所示，在坐標(biāo)系M也中作單位圓，并作角優(yōu)和卩,使角優(yōu)和” 的始邊均為 Qv，交0于點(diǎn)C，角a終邊交LQ于點(diǎn)A，角0終邊交于點(diǎn)。從而 點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為 朮“皿血(7)”(匚區(qū)肉血捋。由兩點(diǎn)間距離公式得AB2 =(ojsa-cos/92 *(血 ff-sn/J)7 二 2-址os 伍 cos0+s

4、in asin /J)。由余弦定理得曲2 二 0/ * 6B2-20028 cnsZA7JJ=+0出-20APBcos(a-fi)= 2-2cos(a-/J)。從而有(工但Q仃9 T3G加口 nQa/(。注記：方法2中用到了余弦定理，它依賴于是三角形的內(nèi)角。 因此，還需要補(bǔ)充討論角 仕和的終邊共線，以及 ZAOS 大于更的情形。容易驗(yàn)證，公式在以上 情形中依然成立。在上邊的證明中，用余弦定理計算的過程也可以用勾股定理來進(jìn)行。也可以用向量法來證明。則(i r( u sin ).(川(mr 八 7口 ；打* 由向iitftfitra定九hf iA |OS| |(jS|costa= costa/?)

5、.由向Wft fit積的坐標(biāo)喪示級冇(* ( )/5 (e(i5 a siti u) (cos fit sin d、= eos ams 咅3) cos ocos /i+sin asin R（二）在三角形的框架下推導(dǎo)和差角正弦公式除了在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角的余弦公式，還可以在三角形中構(gòu)造和角或差角來證明和差角的正弦公式。1.和角正弦公式 （一）（方法3）如圖所示,M為兒椒：的M邊上的高,（衛(wèi)為血邊上的高。設(shè) c=i, LCAB-a, /au二0,則。從而有AE-busa CE=bsnaAC=CEcsc/?=ftsnacsc/?o因此 曲二廊+BE = 6(aisgsin acot/9 ,二朋

6、血征二 Kcosd ! sin fECot ZQ sind o 注意到 肋二8C+Q = 0siii(E00曲血+Q , 從而有：(ms a+sin acot/Qina=m tEcscy?an(a, 整理可得：勺/0 口na(:os“ I coszin/i。注記：在方法3中，用和與底角 a,卩相關(guān)的三角函數(shù),從兩個角度來表示 丿祀邊上高,從而得到所希望的等式關(guān)系。這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的，對基于直角或銳角三角形的情形，證明過程類似。利用方法3中的圖形，我們用類似于恒等變形的方式，可以得到下面的（方法4）如圖所示，RD為A-iSC的JC邊上的高，（乂為曲邊上的高。設(shè) /伽皿，則切m二

7、時#。AE AD注意到MCL WD，則有處肋，即。沁個旦=業(yè)盟從 而 有.ABCE RBRERRC二 OKCEsill 卡鈕口噠氏利用正弦定理和射影定理，將得到下面這個非常簡潔的證法。注意證明利用的圖形框架與方法3,4所用的圖形框架是相同的。（方法5）如圖所示,CD為人的旳J邊上的高。設(shè)08-a,ZCRA 二 0則有ZACB= ff-(a+/J),由正弦定理可得JC BC ASan fl sna an(D-BC(a I/。-月趙/他in(n/。從而(tana I t3n/f)ctK7 set/fsin(a f 拚整理可得 血位I切血a匚0501匚oscran/fo(方法8)如圖所示，作/JD-

8、LOC于D,過D作 DFL0A于f, DG丄胚于go 設(shè)乙40C住,/恥(；-卩,則兒伽 仕*,設(shè)(M t ,從而SD = rsmfi OD =rnos/J BG= HDma=riLfivnsa5J5GE=DF=OI)Aia=rajs/isiiia o所以M 骯W炳10匚血a t cos/jm a) o注意到也-rn(T I小，則有an(a-l-/9=sniacos/?-l-ciisasiii/7o注記：我們用兩種不同的方法計算8E,得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方法來計算0E,則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得OF 二仞 cosa 二 Fcos/kosaJEF=(iD =BDsuKZ

9、=rsnfliiiLfi從而有 Er(coszcos/f antfsn/f)。注意到 0i rcos(a I 対,從而可得 厲減處F旳“用mm Gnf上品“。方法6,7和8都是用角 d, 0的三角函數(shù)從兩個角度表示圖形中的同一線段,從而構(gòu)造出我們所希望的等式關(guān)系。(方法9)如圖所示，設(shè)CD為止優(yōu)的曲邊上的高。設(shè)ZCiB a,EC二也,從而有方法9利用面積關(guān)系構(gòu)造三角恒等式。下面這兩個證法的思路則有所不同。(方法10)如圖所示，設(shè)盤為的外接圓直徑d,長度為d。設(shè)上匕也G ,/ HAC - /f,則 /DAB - a f Jf,從而注記：這一證明用到了托勒密定理：若/C和$0是圓內(nèi)接四邊形的對角線

10、，則有設(shè)乙燦d ,（方法12）如圖所示zc=-2。設(shè)巫c二a, mRC二p,記肋二乍（方法ii）如圖所示,CD為人的也邊上的高。Z5CA p,則廿C& “汕。設(shè)月，則方法10和11將某一線段作為基本量，利用與角 ff,相關(guān)的三角函數(shù)表示其它線段，再通過聯(lián)系這些線段的幾何定理（托勒密定理或正弦定理）,構(gòu)造出我們希望的等式關(guān)系。3.差角正弦公式仍然還是在三角形中 ，我們可以在三角形的內(nèi)角里構(gòu)造出差角來。方法12和13便是用這種想法來證明的。DELAB于 e,則 /伽”，ZADE a ,從而有（方法13）如圖所示，朋為A-lflC的外接圓直徑，長度為d。設(shè)1 a, 二扈,則 CBD=p二伍-#。從而

11、方法12和13的基本思路仍然是用兩種不同方法計算同一線段，借此來構(gòu)造等式關(guān)系。很顯然，在這十二種證法中，方法1和2更具普遍性。換言之，這兩種方法中出現(xiàn)的角任，0是任意角。而其余方法中,角&和0則有一定的限制,它們都是三角形 的內(nèi)角（甚至都是銳角）。因此，對于方法313,我們需要將我們的結(jié)果推廣到角出和R心處Q是任意角的情形。具體而言，我們要證明：如果公式對任意成立，則對任意角也成立。容易驗(yàn)證，角必和中至少有一個是軸上角（即終邊在坐標(biāo)軸上的角），我們的公式是成立的。下面證明，角住和 0都是象限角（即終邊在坐標(biāo)系的某一象限中的角）時，我們的公式也成立。不妨設(shè)a為第二象限角，為第三象限角，從而有同理

12、可證，公式對于象限角其它組合方式都成立。因此從而我們可以將方法313推導(dǎo)的公式推廣到角a，是任意角的情形。兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很基本的一組公式。其推導(dǎo)證明對指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)很有幫助。從上文中可以看到，這一探究過程可分為四個步驟:（i）明確推導(dǎo)證明的目標(biāo)：構(gòu)造聯(lián)系和三角函數(shù)與“呦1同或噸I列的等式或方程（2）簡化課題：四個公式只要解決一個，其余的都可由它推出（3）解決問題：利用單位圓或三角形作為聯(lián)系必和三角函數(shù)與Gn位1小的工具，尋找我們希望的等式關(guān)系如果普遍性有欠缺，可考慮將其（4）完善解決問題的方法：考察方法是否有普遍性。 化歸為已解決的情形，必要時還要進(jìn)行分類討論。僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwen