高等數(shù)學極限方法總結(jié)

1、腿肇蒂衿衿莂莈袈羈膅蚇袈肅莁薃袇膆膃葿羆裊荿蒞薂羈膂芁薁肀莇蠆薁袀膀薅薀羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇袆芇薂蚆羈聿蒈蚅肁芅莄蚅螀肈芀蚄羃芃蠆蚃肅膆薅螞膇莁蒁蟻袇膄莇蝕罿莀芃螀肂膂薁蝿螁莈蕆螈襖膁莃螇肆蒆荿螆膈艿蚈螅袈肂薄螄羀芇蒀螄肂肀莆袃螂芆節(jié)袂襖肈薀袁羇芄薆袀腿肇蒂衿衿莂莈袈羈膅蚇袈肅莁薃袇膆膃葿羆裊荿蒞薂羈膂芁薁肀莇蠆薁袀膀薅薀羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇袆芇薂蚆羈聿蒈蚅肁芅莄蚅螀肈芀蚄羃芃蠆蚃肅膆薅螞膇莁蒁蟻袇膄莇蝕罿莀芃螀肂膂薁蝿螁莈蕆螈襖膁莃螇肆蒆荿螆膈艿蚈螅袈肂薄螄羀芇蒀螄肂肀莆袃螂芆節(jié)袂襖肈薀袁羇芄薆袀腿肇蒂衿衿莂莈袈羈膅蚇袈肅莁薃袇膆膃葿羆裊荿蒞薂羈膂芁薁肀莇蠆薁袀膀薅薀羂蒅蒁蕿肄羋莇薈

2、膆肁蚆薇袆芇薂蚆羈聿蒈蚅肁芅莄蚅螀肈芀蚄羃芃蠆蚃肅膆薅螞膇莁蒁蟻袇膄莇蝕罿莀芃螀肂膂薁蝿螁莈蕆螈襖膁莃螇肆蒆荿螆膈艿蚈螅袈肂薄螄羀芇蒀螄肂肀莆袃螂芆節(jié)袂襖肈薀袁羇芄薆袀腿肇蒂衿衿莂莈袈羈膅蚇袈肅莁薃袇膆膃葿羆裊荿蒞薂羈膂芁薁肀莇蠆薁袀膀薅薀羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇袆芇薂蚆羈聿蒈蚅肁芅莄蚅螀肈芀蚄羃芃蠆蚃肅膆薅螞膇莁蒁蟻袇膄莇蝕罿莀芃螀肂膂薁蝿螁莈蕆螈襖膁莃螇肆蒆荿螆膈艿蚈螅袈肂薄螄羀芇蒀螄肂肀莆袃螂芆節(jié)袂襖肈薀袁羇芄薆袀腿肇蒂衿衿莂莈袈羈膅蚇袈肅莁薃袇膆膃葿羆裊荿蒞薂羈膂芁薁肀莇蠆薁袀膀薅薀羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇袆芇薂蚆羈聿蒈蚅肁芅莄蚅螀肈芀蚄羃芃蠆蚃肅膆薅螞膇莁蒁蟻袇膄莇蝕罿莀芃螀肂膂薁蝿

3、螁莈蕆螈襖膁莃螇肆蒆荿螆膈艿蚈螅袈肂薄螄羀芇蒀螄肂肀莆袃螂芆節(jié)袂襖肈薀袁羇芄薆袀腿肇蒂衿衿莂莈袈羈膅蚇袈肅莁薃袇膆膃葿羆裊荿蒞薂羈膂芁薁肀莇蠆薁袀膀薅薀羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇袆芇薂蚆羈聿蒈蚅肁芅莄蚅螀肈芀蚄羃芃蠆蚃肅膆薅螞膇莁蒁蟻袇膄莇蝕罿莀芃螀肂膂薁蝿螁莈蕆螈襖膁莃螇肆蒆荿螆膈艿蚈螅袈肂薄螄羀芇蒀螄肂肀莆袃螂芆節(jié)袂襖肈薀袁羇芄薆袀腿肇蒂衿衿莂莈袈羈膅蚇袈肅莁薃袇膆膃葿羆裊荿蒞薂羈膂芁薁肀莇蠆薁袀膀薅薀羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇袆芇薂蚆羈聿蒈蚅肁芅莄蚅螀肈芀蚄羃芃蠆蚃肅膆薅螞膇莁蒁蟻袇膄莇蝕罿莀芃螀肂膂薁蝿螁莈蕆螈襖膁莃螇肆蒆荿螆膈艿蚈螅袈肂薄螄羀芇蒀螄肂肀莆袃螂芆節(jié)袂襖肈薀袁羇芄薆袀腿肇蒂衿

4、衿莂莈袈羈膅蚇袈肅莁薃袇膆膃葿羆裊荿蒞薂羈膂芁薁肀莇蠆薁袀膀薅薀羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇袆芇薂蚆羈聿蒈蚅肁芅莄蚅螀肈芀蚄羃芃蠆蚃肅膆薅螞膇莁蒁蟻袇膄莇蝕罿莀芃螀肂膂薁蝿螁莈蕆螈襖膁莃螇肆蒆荿螆膈艿蚈螅袈肂薄螄羀芇蒀螄肂肀莆袃螂芆節(jié)袂襖肈薀袁羇芄薆袀腿肇蒂衿衿莂莈袈羈膅蚇袈肅莁薃袇膆膃葿羆裊荿蒞薂羈膂芁薁肀莇蠆薁袀膀薅薀羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇袆芇薂蚆羈聿蒈蚅肁芅莄蚅螀肈芀蚄羃芃蠆蚃肅膆薅螞膇莁蒁蟻袇膄莇蝕罿莀芃螀肂膂薁蝿螁莈蕆螈襖膁莃螇肆蒆荿螆膈艿蚈螅袈肂薄螄羀芇蒀螄肂肀莆袃螂芆節(jié)袂襖肈薀袁羇芄薆袀腿肇蒂衿衿莂莈袈羈膅蚇袈肅莁薃袇膆膃葿羆裊荿蒞薂羈膂芁薁肀莇蠆薁袀膀薅薀羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇

5、袆芇薂蚆羈聿蒈蚅肁芅莄蚅螀肈芀蚄羃芃蠆蚃肅膆薅螞膇莁蒁蟻袇膄莇蝕罿莀芃螀肂膂薁蝿螁莈蕆螈襖膁莃螇肆蒆荿螆膈艿蚈螅袈肂薄螄羀芇蒀螄肂肀莆袃螂芆節(jié)袂襖肈薀袁羇芄薆袀腿肇蒂衿衿莂莈袈羈膅蚇袈肅莁薃袇膆膃葿羆裊荿蒞薂羈膂芁薁肀莇蠆薁袀膀薅薀羂蒅蒁蕿肄羋莇薈膆肁蚆薇袆芇薂蚆羈聿蒈蚅肁芅莄蚅螀肈芀蚄羃芃蠆蚃肅膆薅螞膇莁蒁蟻袇膄莇蝕罿莀芃螀肂膂薁蝿螁莈蕆螈襖膁莃螇肆蒆荿螆膈艿蚈螅袈肂薄螄羀芇節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀

6、蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕

7、螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈

8、螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿

9、螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕

10、裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈

11、袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈

12、羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆

13、羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆

14、薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇

15、蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈

16、蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆

17、蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆

18、螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄

19、螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅

20、袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆

21、襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄

22、袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄

23、罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅

24、薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃

25、薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆襖袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆羋螞袁衿膄蟻薁肄膀蝕螃羇葿蝕裊膃蒞蠆羈羅芁蚈蚇膁膇芄螀羄肅莄袂腿莂莃薂羂芇莂蚄膇芃莁袆肀腿莀罿袃蒈荿蚈聿莄莈螀袁芀莈袃肇膆蕆薂袀肂蒆蚅肅莁蒅袇袈莇蒄罿膃芃蒃

26、蠆羆腿蒂螁膂肅蒂襖羅莃蒁薃膀艿薀蚆羃膅蕿螈膈肁薈羀羈蒀薇蝕襖莆 摘要：數(shù)列極限的求法一直是數(shù)列中一個比較重要的問題， 本文通過歸納和總結(jié)， 從不同 的方面羅列了它的幾種求法.關(guān)鍵詞：高等數(shù)學、數(shù)列極限、定義、洛比達法則、英文題目limit methods summarizeabstract:the method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is als

27、o given.key words:higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law,一.引言高等數(shù)學第二章在整個高等數(shù)學的學習中都占有相當重要的地位 ， 特別是極限，原因就是后續(xù)章節(jié)本質(zhì)上都是極限。一個經(jīng)典的形容就是假如高等數(shù)學是棵樹木的話，那么極限就是它的根，函數(shù)就是它的皮。樹沒有根，活不下去， 沒有皮，只能枯萎，可見極限的重要性。極限一直是數(shù)學分析中的一個重點內(nèi)容，而對數(shù)列極限的求法可謂是多種多樣，通過歸納和總結(jié)，我們羅列出一些常用的求法。求數(shù)列極限的最基本的方法 還是利用數(shù)列極限的定義，也

28、要注意運用兩個重要極限，其中，可以利用等量代 換,展開、約分，三角代換等方法化成比較好求的數(shù)列，也可以利用數(shù)列極限的 四則運算法則計算。夾逼性定理和單調(diào)有界原理是很重要的定理，在求的時候要 重點注意運用。泰勒公式、 洛必達法則、黎曼引理是針對某些特殊的數(shù)列而言的。還有一些比較常用的方法，在本文中都一一列舉了。二. 研究問題及成果 一、 極限定義、運算法則和一些結(jié)果1定義：（各種類型的極限的嚴格定義參見高等數(shù)學函授教材，這里不一一敘述）。說明：（1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：；等等 （2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知

29、結(jié)果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。2極限運算法則定理1 已知 ，都存在，極限值分別為a，b，則下面極限都存在，且有 （1）（2）（3） 說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。3兩個重要極限（1） （2） ； 說明：( 1 )不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式.（2）一定注意兩個重要極限成立的條件。 一定注意兩個重要極限成立的條件。 例如：，；等等。4洛比達法則 定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是0）。定理3 當時，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是0），且相互等價，即有： 。說明：當上面每個函數(shù)中的

30、自變量x換成時（），仍有上面的等價關(guān)系成立，例如：當時， ； 。 定理4 如果函數(shù)都是時的無窮小，且，則當存在時，也存在且等于，即=。 5洛比達法則 定理5 假設(shè)當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)和滿足：（1）和的極限都是0或都是無窮大； （2）和都可導，且的導數(shù)不為0； （3）存在（或是無窮大）； 則極限也一定存在，且等于，即= 。說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“”型或“”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則

31、可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。6連續(xù)性 定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點，則有 。7極限存在準則 定理7（準則1） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 定理8（準則2） 已知為三個數(shù)列，且滿足：（1） （2） ， 則極限一定存在，且極限值也是a ，即。二、求極限方法舉例1 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限例4 解：因為是函數(shù)的一個連續(xù)點， 所以 原式= 。2 利用兩個重要極限求極限例5 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達法則。例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。注：兩個重要的極限分別為 limsin x 1 2 = 1 和 lim (1 +

32、 ) x = e ，對第一個而言是 x0 x x xx 趨近 0 時候的 sinx 與 x 比值。第2 個實際上如果 x 趨近無窮大和無窮小都有 對有對應的形式。當?shù)讛?shù)是 1 的時候要特別注意可能是用第2 個重要極限。3 利用定理2求極限例8 解：原式=0 （定理2的結(jié)果）。4 利用等價無窮小代換（定理4）求極限這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括：(1)有限個無窮小的和、差、積仍是無窮小.(2)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.(3)非零無窮小與無窮大互為倒數(shù).(4)等價無窮小代換(當求兩個無窮小之比的極限時，分子與分母都可用等價無窮小代替).3設(shè)、且；則：與是等價無窮小的充分必要條件為：常用等價無窮小

33、：當變量時，例1 求解 ， 故，原式例2 求解 ,因此:原式例3 求 解 ，故:原式=例4 求解 ,故:原式例5 試確定常數(shù)與，使得當時，與為等價無窮小解 而左邊，故 即 5.利用洛比達法則求極限利用這一法則的前提是：函數(shù)的導數(shù)要存在；為0比0型或者型等未定式類型.洛必達法則分為3種情況：（1）0比0，無窮比無窮的時候直接用.（2）0乘以無窮，無窮減去無窮（無窮大與無窮小成倒數(shù)關(guān)系時）通常無窮大都寫成無窮小的倒數(shù)形式,通項之后，就能變成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方，對于（指數(shù),冪函數(shù)）形式的方法主要是取指數(shù)的方法，這樣就能把冪函數(shù)指數(shù)位置的函數(shù)移下來了，就是寫成

34、0與無窮的形式了.洛必達法則中還有一個定理：當時，函數(shù)及都趨于0；在點的某去心鄰域內(nèi)，的導數(shù)都存在且的導數(shù)不等于0；存在，那么 . 1求極限有很多種方法如洛必達法則，夾逼定理求極限的秘訣是：強行代入，先定型后定法. 3例12 （例4）解：原式= 。（最后一步用到了重要極限）例13 解：原式= 。例14 解：原式= 。（連續(xù)用洛比達法則，最后用重要極限）例15 解：例18 解：錯誤解法：原式= 。正確解法：應該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。例19 解：易見：該極限是“”型，但用洛比達法則后得到：，此極限不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：原式= （分子、分母同時除以x） = （

35、利用定理1和定理2）注：使用羅比達法則必須滿足使用條件，要注意分母不能為零，導數(shù)存在。羅比達法則分為三種情況（1）0 比0 和無窮比無窮時候直接分子分母求導； （2） 0 乘以無窮，無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以無窮大都 寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。 通項之后這樣就能變成 1 的形式； （3） 的 0 次方， 0 1 的無窮次方，無窮的 0 次方，對于（指數(shù)冪數(shù)）方程，方法主要是取指數(shù)還取 對數(shù)的方法， 這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了， 就是寫成 0 與無窮的形式了， （這就是為什么只有 3 種形式的原因， ）6.利用極限存在準則求極限例20 已知，求解：易證：數(shù)列單調(diào)遞增，且

36、有界（02），由準則1極限存在，設(shè) 。對已知的遞推公式 兩邊求極限，得： ，解得：或（不合題意，舍去）所以 。例21 解： 易見：因為 ，所以由準則2得： 。7.直接使用求導的定義求極限當題目中告訴你時，的導數(shù)等于0的時候，就是暗示你一定要用導數(shù)定義：（1）設(shè)函數(shù)在點的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，當自變量在處取得增量（點仍在該領(lǐng)域內(nèi)）時，相應的函數(shù)取得增量；如果與之比時的極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù)，記作，即 ；（2）在某點處可導的充分必要條件是左右導數(shù)都存在且相等.例36 ，求.解 .例37 若函數(shù)有連續(xù)二階導數(shù)且， 則 .a:不存在 b：

37、0 c：-1 d：-2 解 .所以，答案為d.例38 若，求.解 .8.求數(shù)列極限的時候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分1例33 已知 ,在區(qū)間上求（其中將分為個小區(qū)間,，為中的最大值）.解 由已知得: .（注釋：由已知可以清楚的知道，該極限的求解可以轉(zhuǎn)化為定積分,求函數(shù)在區(qū)間上的面積）.在有的極限的計算中，需要利用到如下的一些結(jié)論、概念和方法：（1）定積分中值定理：如果函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，則在上至少有一個點，使下列公式成立： ；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，即；設(shè)在區(qū)間上連續(xù)且，求以曲線為曲線，底為的曲邊梯形的面積，把這個面積表示為定積分：

38、 的步驟是：首先，用任意一組的點把區(qū)間分成長度為的個小區(qū)間，相應地把曲線梯形分成個窄曲邊梯形，第個窄曲邊梯形的面積設(shè)為，于是有；其次，計算的近似值 ；然后，求和，得的近似值 ；最后，求極限，得.例34 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，求極限 .解 =，.例35 計算反常積分: .解 =.9.用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限利用如下的極限運算法則來求極限：(1) 如果那么若又有，則（2）如果存在，而為常數(shù)，則（3）如果存在，而為正整數(shù)，則（4）如果，而，則（5）設(shè)有數(shù)列和，如果那么，當且時，例1 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達法則。例2 解：原式= 。例3 解：原式 。三，極限運算思維的培養(yǎng)極限

39、運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對做題起到指導性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結(jié)。四. 結(jié)束語上面對求極限的常用方法進行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于平時練習中不經(jīng)常使用，這里不作一一介紹了。參考文獻1 同濟大學應用數(shù)學系 高等數(shù)學 19972吉米多維奇.數(shù)學分析m.濟南:山東科技文獻出

40、版社1995.3陳紀修,等.數(shù)學分析m.北京:高等教育出版社,1999.4同濟大學應用數(shù)學組.高等數(shù)學m.北京:高等教育出版社,1996.第3期張宏達:高等數(shù)學中求極限的常用方法41? 1994-2009 china academic journal electronic publishing house. all rights reserved. 羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇

41、芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈

42、莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆

43、莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇

44、罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇

45、肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊

46、肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆

47、膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆

48、腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖

49、膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅

50、芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆

51、芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃

52、荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄

53、莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿莃裊膆芁蕿螁膅

54、莄莁蚇膄肅薇薃螀芆莀蕿蝿莈蚅袇蝿肈蒈螃螈膀蚃蠆螇節(jié)蒆薅螆莄艿襖裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃荿蒃螞袃肈莆薈袂膁薁袇袁芃莄螃袀蒞蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿薆螅羆膂葿蟻羅芄蚄薇羄莆蕆袆羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅薂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆肆腿螆羋薈蚄羈膄薇螆螄聿薆蒆罿羅膃蚈螂羈膂螁肈芀膁蒀袁膆膀薂肆肂膀蚅衿羈艿螇螞芇羋蕆袇膃芇蕿蝕腿芆螁裊肅芅蒁螈羈芄薃羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁莂蒈螅羇莁薀羀袃莀螞螃節(jié)荿蒂聿膈莈薄袁肄莈蚆肇羀莇蝿袀羋莆蒈蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蟻羆蒃莃袆袂蒂薅蠆芁蒂蚇羅膇蒁螀螇肅蒀葿羃罿葿薂螆羋薈蚄羈膄薇螆螄聿薆蒆罿羅膃蚈螂羈膂螁肈芀膁蒀袁膆膀薂肆肂膀蚅衿羈艿螇螞芇羋蕆袇膃芇蕿蝕腿芆螁裊肅芅

55、蒁螈羈芄薃羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁莂蒈螅羇莁薀羀袃莀螞螃節(jié)荿蒂聿膈莈薄袁肄莈蚆肇羀莇蝿袀羋莆蒈蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蟻羆蒃莃袆袂蒂薅蠆芁蒂蚇羅膇蒁螀螇肅蒀葿羃罿葿薂螆羋薈蚄羈膄薇螆螄聿薆蒆罿羅膃蚈螂羈膂螁肈芀膁蒀袁膆膀薂肆肂膀蚅衿羈艿螇螞芇羋蕆袇膃芇蕿蝕腿芆螁裊肅芅蒁螈羈芄薃羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁莂蒈螅羇莁薀羀袃莀螞螃節(jié)荿蒂聿膈莈薄袁肄莈蚆肇羀莇蝿袀羋莆蒈蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蟻羆蒃莃袆袂蒂薅蠆芁蒂蚇羅膇蒁螀螇肅蒀葿羃罿葿薂螆羋薈蚄羈膄薇螆螄聿薆蒆罿羅膃蚈螂羈膂螁肈芀膁蒀袁膆膀薂肆肂膀蚅衿羈艿螇螞芇羋蕆袇膃芇蕿蝕腿芆螁裊肅芅蒁螈羈芄薃羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁莂蒈螅羇莁薀羀袃莀螞螃節(jié)荿蒂聿膈莈薄袁肄莈蚆肇羀莇蝿袀羋莆

56、蒈蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蟻羆蒃莃袆袂蒂薅蠆芁蒂蚇羅膇蒁螀螇肅蒀葿羃罿葿薂螆羋薈蚄羈膄薇螆螄聿薆蒆罿羅膃蚈螂羈膂螁肈芀膁蒀袁膆膀薂肆肂膀蚅衿羈艿螇螞芇羋蕆袇膃芇蕿蝕腿芆螁裊肅芅蒁螈羈芄薃羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁莂蒈螅羇莁薀羀袃莀螞螃節(jié)荿蒂聿膈莈薄袁肄莈蚆肇羀莇蝿袀羋莆蒈蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蟻羆蒃莃袆袂蒂薅蠆芁蒂蚇羅膇蒁螀螇肅蒀葿羃罿葿薂螆羋薈蚄羈膄薇螆螄聿薆蒆罿羅膃蚈螂羈膂螁肈芀膁蒀袁膆膀薂肆肂膀蚅衿羈艿螇螞芇羋蕆袇膃芇蕿蝕腿芆螁裊肅芅蒁螈羈芄薃羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁莂蒈螅羇莁薀羀袃莀螞螃節(jié)荿蒂聿膈莈薄袁肄莈蚆肇羀莇蝿袀羋莆蒈蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蟻羆蒃莃袆袂蒂薅蠆芁蒂蚇羅膇蒁螀螇肅蒀葿羃罿葿薂螆羋薈蚄羈膄薇螆螄聿薆

57、蒆罿羅膃蚈螂羈膂螁肈芀膁蒀袁膆膀薂肆肂膀蚅衿羈艿螇螞芇羋蕆袇膃芇蕿蝕腿芆螁裊肅芅蒁螈羈芄薃羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁莂蒈螅羇莁薀羀袃莀螞螃節(jié)荿蒂聿膈莈薄袁肄莈蚆肇羀莇蝿袀羋莆蒈蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蟻羆蒃莃袆袂蒂薅蠆芁蒂蚇羅膇蒁螀螇肅蒀葿羃罿葿薂螆羋薈蚄羈膄薇螆螄聿薆蒆罿羅膃蚈螂羈膂螁肈芀膁蒀袁膆膀薂肆肂膀蚅衿羈艿螇螞芇羋蕆袇膃芇蕿蝕腿芆螁裊肅芅蒁螈羈芄薃羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁莂蒈螅羇莁薀羀袃莀螞螃節(jié)荿蒂聿膈莈薄袁肄莈蚆肇羀莇蝿袀羋莆蒈蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蟻羆蒃莃袆袂蒂薅蠆芁蒂蚇羅膇蒁螀螇肅蒀葿羃罿葿薂螆羋薈蚄羈膄薇螆螄聿薆蒆罿羅膃蚈螂羈膂螁肈芀膁蒀袁膆膀薂肆肂膀蚅衿羈艿螇螞芇羋蕆袇膃芇蕿蝕腿芆螁裊肅芅蒁螈羈芄薃羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁莂蒈螅羇莁薀羀袃莀螞螃節(jié)荿蒂聿膈莈薄袁肄莈蚆肇羀莇蝿袀羋莆蒈蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蟻羆蒃莃袆袂蒂薅蠆芁蒂蚇羅膇蒁螀螇肅蒀葿羃罿葿薂螆羋薈蚄羈膄薇螆螄聿薆蒆罿羅膃蚈螂羈膂螁肈芀膁蒀袁膆膀薂肆肂膀蚅衿羈艿螇螞芇羋蕆袇膃芇蕿蝕腿芆螁裊肅芅蒁螈羈芄薃羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁莂蒈螅羇莁薀羀袃莀螞螃節(jié)荿蒂聿膈莈薄袁肄莈蚆肇羀莇蝿袀羋莆蒈蚃膄蒅薁袈肀蒄蚃蟻羆蒃莃袆袂蒂薅蠆芁蒂蚇羅膇蒁螀螇肅蒀葿羃罿葿薂螆羋薈蚄羈膄薇螆螄聿薆蒆罿羅膃蚈螂羈膂螁肈芀膁蒀袁膆膀薂肆肂膀蚅衿羈