阿基米德螺線講解[教學(xué)材料]

1、淺談阿基米德螺線摘要：本文從生活中有趣的自然現(xiàn)象出發(fā)，介紹了阿基米德螺線的發(fā)現(xiàn)、定義、方程、作圖以及自然界和實(shí)際生活中的應(yīng)用，淺談了對(duì)于阿基米德螺線定義的不同觀點(diǎn)，并以蚊香為例，建模，證明了阿基米德螺線應(yīng)用的廣泛性。關(guān)鍵詞：阿基米德螺線、極坐標(biāo)、自然界實(shí)例，生活中應(yīng)用引言很多人都知道飛蛾撲火這個(gè)故事。但是，為什么飛蛾會(huì)這么執(zhí)著地?fù)湎蚧鸸饽?這要從它的祖先談起。飛蛾的歷史遠(yuǎn)比人類悠久。在億萬(wàn)年前，沒(méi)有人造火光，飛蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飛行。由于太陽(yáng)、月亮、星星距離地球都很遠(yuǎn)，它們發(fā)出的光線照到地球上可以認(rèn)為是平行直線。當(dāng)飛蛾直線飛行時(shí)，它在任何位置的前進(jìn)方向與光線的夾角都是一個(gè)

2、固定值(如圖1)。可是，如果光源離得很近，不能將它們發(fā)出的光線看作平行光時(shí)，飛蛾再按照固有的習(xí)慣飛行，飛出的路線就不是直線，而是一條不斷折向燈光光源的螺旋形路線(如圖2)。這在數(shù)學(xué)上稱為阿基米德螺線。通俗的說(shuō)，阿基米德螺線就是既作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)又作勻速直線運(yùn)動(dòng)而形成的軌跡。舉一個(gè)形象一點(diǎn)的例子：時(shí)鐘上的指針在作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，假如有一只小蟲(chóng)子從時(shí)鐘的中心，沿指針作勻速爬動(dòng)，那么蟲(chóng)子最終走出的軌跡就是阿基米德螺線（如圖3）。1.阿基米德螺線簡(jiǎn)介1.1阿基米德簡(jiǎn)介及螺線的發(fā)現(xiàn)阿基米德 Archimedes（約公元前287前212），古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。他公元前287年生于希臘敘拉古附近的一個(gè)小村莊11

3、歲時(shí)去埃及，到當(dāng)時(shí)世界著名學(xué)術(shù)中心、被譽(yù)為“智慧之都” 的亞歷山大城跟隨歐幾里得的學(xué)生柯農(nóng)學(xué)習(xí)，以后和亞歷山大的學(xué)者保持緊密聯(lián)系，因此他算是亞歷山大學(xué)派的成員。公元前240年，阿基米德由埃及回到故鄉(xiāng)敘拉古，并擔(dān)任了國(guó)王的顧問(wèn)從此開(kāi)始了對(duì)科學(xué)的全面探索，在物理學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域取得了舉世矚目的成果，成為古希臘最偉大的科學(xué)家之一后人對(duì)阿基米德給以極高的評(píng)價(jià)，常把他和牛頓、高斯并列為有史以來(lái)三個(gè)貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家。 據(jù)說(shuō)，阿基米德螺線最初是由阿基米德的老師柯農(nóng)(歐幾里德的弟子)發(fā)現(xiàn)的柯農(nóng)死后，阿基米德繼續(xù)研究，又發(fā)現(xiàn)許多重要性質(zhì)，因而這種螺線就以阿基米德的名字命名了1.2阿基米德螺線的定義及方程1.2.1

4、論螺線中阿基米德螺線的定義阿基米德螺線，亦稱“等速螺線”。螺線是指一些圍著某些定點(diǎn)或軸旋轉(zhuǎn)且不斷收縮或擴(kuò)展的曲線，阿基米德螺線是一種二維螺線。在論螺線中，阿基米德給出了如下定義：當(dāng)一點(diǎn)P沿動(dòng)射線OP以等速率運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，這射線又以等角速度繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的軌跡稱為“阿基米德螺線”。它的極坐標(biāo)方程為:r=a。這種螺線的每條臂的距離永遠(yuǎn)相等于2a。1.2.2阿基米德螺線定義的不合理之處當(dāng)我們?cè)诩埳嫌霉P沿著一盤(pán)阿基米德螺線形狀的蚊香進(jìn)行描繪時(shí)，可以或快或慢或暫停又繼續(xù)地去畫(huà)完這條螺旋線，是不會(huì)有“等速率” “等角速度”感覺(jué)的。實(shí)際上阿基米德螺線是動(dòng)點(diǎn)“旋轉(zhuǎn)”與“直線”兩種運(yùn)動(dòng)同步、按比例合成的軌跡線。

5、“同步”意味著“旋轉(zhuǎn)”與“直線”兩種運(yùn)動(dòng)步調(diào)一致。即：你動(dòng)我動(dòng)，你快我快，你慢我慢，你停我停?！巴健笨梢园靶D(zhuǎn)”與“直線”兩種運(yùn)動(dòng)的“等速度”，而“等速度”決不能等同“同步”！因?yàn)椤巴健比菰S速度的同步變化，而“等速度”則不允許速度變化。在螺旋線中，螺距（通常用S表示）是一重要參數(shù)，它表示動(dòng)點(diǎn)繞中心回轉(zhuǎn)一周時(shí)，沿直線方向移動(dòng)的距離?！奥菪取保ê?jiǎn)稱“旋比”用ix表示 ）即：螺距與一周（360度或2）的比, ix=S/360度(角度制)或 ix=S/2(弧度制)；任意回轉(zhuǎn)角度下，動(dòng)點(diǎn)相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的直線距離（L）等于該回轉(zhuǎn)角度與“旋比”的乘積。L=ix(角度制),或 L=ix（弧度制）。阿基米德

6、螺線極坐標(biāo)方程式 r = a 中的“a”既是螺線比“ix”；”r” 既是“L”。因?yàn)榘⒒椎侣菥€的螺線比為常數(shù)，一周永遠(yuǎn)等于360度或2，所以螺距永遠(yuǎn)相等，即螺線的每條臂的距離永遠(yuǎn)相等于 2a。根據(jù)螺距永遠(yuǎn)相等的特性，我們可將這類螺線稱為“等距螺線”或“等旋比螺線”。而不能稱之為“等速螺線”。1.3阿基米德螺線的方程極坐標(biāo)系：在數(shù)學(xué)中，極坐標(biāo)系是一個(gè)二維坐標(biāo)系統(tǒng)。該坐標(biāo)系統(tǒng)中的點(diǎn)由一個(gè)夾角和一段相對(duì)中心點(diǎn)極點(diǎn)（相當(dāng)于我們較為熟知的直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)）的距離來(lái)表示阿基米德螺旋線的標(biāo)準(zhǔn)極坐標(biāo)方程： r（）= a+ b（）式中：b阿基米德螺旋線系數(shù)，mm/，表示每旋轉(zhuǎn)1度時(shí)極徑的增加（或減?。┝浚粯O

7、角，單位為度，表示阿基米德螺旋線轉(zhuǎn)過(guò)的總度數(shù)；a當(dāng)=0時(shí)的極徑，mm。改變參數(shù)a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條0，另一條0。兩條螺線在極點(diǎn)處平滑地連接。把其中一條翻轉(zhuǎn) 90/270得到其鏡像，就是另一條螺線。在極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系（笛卡爾坐標(biāo)系）間轉(zhuǎn)換：極坐標(biāo)系中的兩個(gè)坐標(biāo) r 和 可以由下面的公式轉(zhuǎn)換為 直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值由上述二公式，可得到從直角坐標(biāo)系中x 和 y 兩坐標(biāo)如何計(jì)算出極坐標(biāo)下的坐標(biāo)在x=0的情況下：若y為正數(shù)，則=90(/2radians)；若y為負(fù)，則=270(3/2radians).1.4阿基米德螺線的畫(huà)法1.4.1阿基

8、米德螺線的幾何畫(huà)法 以適當(dāng)長(zhǎng)度(OA)為半徑，畫(huà)一圓O；作一射線OA；作一點(diǎn)P于射線OA上；模擬點(diǎn)A沿圓O移動(dòng)，點(diǎn)P沿射線OA移動(dòng)；畫(huà)出點(diǎn)P的軌跡；隱藏圓O、射線OA&點(diǎn)P；即可得到螺線（如圖4）1.4.2阿基米德螺線的簡(jiǎn)單畫(huà)法有一種最簡(jiǎn)單的方法畫(huà)出阿基米德螺線，如圖4，用一根線纏在一個(gè)線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫(huà)出由線軸松開(kāi)的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。 2自然界中的阿基米德螺線21自然界中的多種多樣的螺線在浩瀚的自然界中，在千姿百態(tài)的生命體上發(fā)現(xiàn)了不少螺旋。如原生動(dòng)物門(mén)中的砂盤(pán)蟲(chóng)；軟體動(dòng)物門(mén)中梯螺

9、科中的尖高旋螺，鳳螺科中的溝紋笛螺，明螺科中的明螺，又如塔螺科的爪哇擬塔螺、奇異寬肩螺、筍螺科的擬筍螺等大多數(shù)螺類，它們的外殼曲線都呈現(xiàn)出各種螺旋狀；在植物中，則有紫藤、蔦蘿、牽?；ǖ壤p繞的莖形成的曲線，煙草螺旋狀排列的葉片，絲瓜、葫蘆的觸須，向日葵籽在盤(pán)中排列形成的曲線；甚至構(gòu)成生命的主要物質(zhì)蛋白質(zhì)、核酸及多糖等生物大分子也都存在螺旋結(jié)構(gòu)，如人類遺傳基因(DNA)中的雙螺旋結(jié)構(gòu)。其中，自然界中的砂盤(pán)蟲(chóng)化石，蛇盤(pán)繞起來(lái)形成的曲線等都可以構(gòu)成阿基米德螺線。2.2自然界中螺線廣泛存在的原因 擬螺線之所以在生命體中廣泛存在，是由于螺線的若干優(yōu)良性質(zhì)所確定。而這些優(yōu)良性質(zhì)直接或間接地使生命體在生存斗爭(zhēng)

10、中獲得最佳效果。由于在柱面內(nèi)過(guò)柱面上兩點(diǎn)的各種曲線中螺線長(zhǎng)度最短，對(duì)于蔦蘿、紫藤、牽牛花等攀緣植物而言，如何用最少的材料、最低的能耗，使其莖或藤延伸到光照充足的地方是至關(guān)重要的。而在各種曲線中，螺線就起到省材、節(jié)約能量消耗的作用，在相同的空間中使其葉子獲取較多的陽(yáng)光，這對(duì)植物光合作用尤為重要，像煙草等植物輪狀葉序就是利用形成的螺旋面能在狹小的空間中(其他植物的夾縫中)獲得最大的光照面積，以利于光合作用。形成螺線狀的某些物體還有一種物理性質(zhì)，即像彈簧一樣具有彈性(或伸縮性)。在植物中絲瓜、葫蘆等莖上的擬圓柱螺線狀的觸須利用這個(gè)性質(zhì)，能使其牢固地附著其他植物或物體上。即使有外力或風(fēng)的作用，由于螺線

11、狀觸須的伸縮性，使得纖細(xì)的觸須不易被拉斷，并且當(dāng)外力(或風(fēng))消失后，保證其莖葉又能恢復(fù)到原來(lái)的位置。螺旋線對(duì)于生活在水中的大多數(shù)螺類軟體動(dòng)物也是十分有意義的。觀察螺類在水中的運(yùn)動(dòng)方式，通常是背負(fù)著外殼前進(jìn)，殼體直徑粗大的部分在前，螺尖在后。當(dāng)水流方向與運(yùn)動(dòng)方向相反時(shí)，水流沿著殼體螺線由直徑大的部分旋轉(zhuǎn)到直徑小的部分直到螺尖。水速將大大減小，這樣位于殼體后水的靜壓力將大于殼體前端的靜壓力。在前后壓力差的作用下，殼體將會(huì)自動(dòng)向前運(yùn)動(dòng)。這樣一來(lái)，來(lái)自水流的阻力經(jīng)錐狀螺線的轉(zhuǎn)化變?yōu)榍斑M(jìn)的動(dòng)力。除此而外，分布在螺類外殼上的螺線像一條肋筋，大大增加了殼體的強(qiáng)度，也分散了作用在殼體上的水壓。3.阿基米德螺線

12、在實(shí)際生活中的應(yīng)用31最初的應(yīng)用：螺旋揚(yáng)水器為解決用尼羅河水灌溉土地的難題，阿基米德發(fā)明了圓筒狀的螺旋揚(yáng)水器，后人稱它為“阿基米德螺旋”。 阿基米德螺旋是一個(gè)裝在木制圓筒里的巨大螺旋狀物（在一個(gè)圓柱體上螺旋狀地繞上中空的管子），把它傾斜放置，下端浸入水中，隨著圓柱體的旋轉(zhuǎn)，水便沿螺旋管被提升上來(lái)，從上端流出。這樣，就可以把水從一個(gè)水平面提升到另一個(gè)水平面，對(duì)田地進(jìn)行灌溉?！鞍⒒椎侣菪睋P(yáng)水機(jī)至今仍在埃及等地使用。3.2工程上應(yīng)用：阿基米德螺旋泵阿基米德螺旋泵的工作原理是當(dāng)電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)泵軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),螺桿一方面繞本身的軸線旋轉(zhuǎn),另一方面它又沿襯套內(nèi)表面滾動(dòng),于是形成泵的密封腔室。螺桿每轉(zhuǎn)一周,密封腔

13、內(nèi)的液體向前推進(jìn)一個(gè)螺距,隨著螺桿的連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng),液體螺旋形方式從一個(gè)密封腔壓向另一個(gè)密封腔,最后擠出泵體。螺桿泵是一種新型的輸送液體的機(jī)械,具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作安全可靠、使用維修方便、出液連續(xù)均勻、壓力穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)。 3.3日常生活的應(yīng)用：蚊香的幾何特征將一單盤(pán)蚊香光滑面朝上，放置一水平面上，自上俯視，會(huì)觀察到的蚊香平面圖。將這條曲線單獨(dú)繪制出來(lái)，并加上一定的標(biāo)志，得到了蚊香香條曲線圖（如圖6示）。點(diǎn)O為直線AB與曲線AB若干交點(diǎn)中位于最中間的一個(gè)交點(diǎn)。曲線OA實(shí)際上是單盤(pán)蚊香的香條外側(cè)邊線。觀察不同廠牌蚊香的實(shí)物，會(huì)發(fā)現(xiàn)其對(duì)應(yīng)的OA曲線上，接近點(diǎn)的一段(圖中以O(shè)P表示)，也就是所謂“太極頭”部位的

14、曲線，在形狀上各有不同，但對(duì)于剩下的一大段曲線PA，則具有這樣的特征：曲線PA E任取一點(diǎn)Q，假使點(diǎn)Q可在曲線PA上移動(dòng)，則點(diǎn)Q越接近點(diǎn)A，點(diǎn)Q與點(diǎn)O的直線距離(以r表示)越大；而且，每移動(dòng)一定角度(以0表示)，增加的值與該角度成正比。用學(xué)語(yǔ)言描述曲線QA的上述特征，可表示為：=k，或=k+C-(1)式(1)中，k和C均為恒定常數(shù)，若以點(diǎn)O為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)，則選擇適當(dāng)方位的極軸，可以將式(1)轉(zhuǎn)移為：=k，0,-(2)式(2)中a為點(diǎn)A，即香條末端對(duì)應(yīng)的極角。式(2)所描述的曲線一單擻蚊香香條外側(cè)邊線實(shí)際上正是“阿基米德螺線”。需要說(shuō)明的是，式(2)所描述的只是蚊香“太極頭”之外的香條曲線方程，由于不同廠牌蚊香的“太極頭”沒(méi)有統(tǒng)一固定的形狀，所以無(wú)法對(duì)其作出確切的描述。同時(shí)，由于“太極頭”一段香條的長(zhǎng)度極短，因而其形狀對(duì)蚊香香條長(zhǎng)度的影響事實(shí)上也可以忽略不計(jì)。結(jié)論：通過(guò)對(duì)阿基米德螺線這種特殊的螺線的研究，我們對(duì)螺線，極坐標(biāo)等概念的理解更加深入。阿基米德應(yīng)用理論解決實(shí)踐問(wèn)題的思想讓我們明白學(xué)以致用的重要性。啟示：自然界中各種看似平常的現(xiàn)象都隱藏著不尋常的道理，只有不斷發(fā)掘，我們才能獲得新知。參考文獻(xiàn)：1 石磊，生命中的螺旋，世界環(huán)境 , 2005,(2) : 24 25. 2.陳文喻 代數(shù)三角混合曲線理論及應(yīng)用. 浙江