導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法

1、高中數(shù)學(xué)02級實驗班）第四輪復(fù)習(xí)講義 第8講 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法 一、考試內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo) 數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本導(dǎo)數(shù)公式，禾U用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最 大值和最小值 二、考試要求 了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌 握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念。 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式 c,x （m為有理數(shù),sin x, cos x, e , a ,lnx, log :l x的導(dǎo)數(shù)）。掌 握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

2、了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件 和充分條件 導(dǎo)數(shù)要極值點兩側(cè)異號），會求一些實際問題一般指單峰函數(shù)）的最大 值和最小值。 三、復(fù)習(xí)目標(biāo) 1了解導(dǎo)數(shù)的概念，能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義 和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念了解曲線的切線的概念在了解瞬 時速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念. 2. 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式 c,x （m為有理數(shù),sin x, cos x, e , a , Inx, log x的導(dǎo)數(shù)）。 掌握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)，利能夠用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求一個函數(shù)的最大（小 值的問題

3、，掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng) 用. 3. 了解函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，掌握兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法則。 能正確運用函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則及已有的導(dǎo)數(shù)公式求某些簡單函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。 4.了解復(fù)合函數(shù)的概念。會將一個函數(shù)的復(fù)合過程進行分解或?qū)讉€函數(shù)進行復(fù)合。 掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并會用法則解決一些簡單問題。 四、雙基透視 導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實際問題的有力工具。在高中階段對于導(dǎo) 數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個方面 ： 1. 導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題： 1 ）刻畫函數(shù) 比初等方法精確細微）； 2）同幾何中切線聯(lián)系 導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）； 3 ）應(yīng)用問題 初等方法往往技巧性要求較

4、高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項式 的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。 2. 關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法 快捷簡便。 3. 導(dǎo)數(shù)與解讀幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力 的一個方向，應(yīng)引起注意。 4. 曲線的切線 在初中學(xué)過圓的切線，直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線 叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點.圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切 線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點時，直線叫做曲線 過該點的切線，顯然這種推廣是不妥當(dāng)?shù)娜鐖D3 1中的曲線C是我們熟知的 正弦曲線y=sinx 直線 與曲

5、線C有惟一公共點M，但我們不能說直線 與曲線 C相切；而直線 盡管與曲線C有不止一個公共點，我們還是說直線是曲線C 在點N處的切線因此，對于一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義所以 課本利用割線的極限位置來定義了曲線的切線. 5 瞬時速度 在高一物理學(xué)習(xí)直線運動的速度時，涉及過瞬時速度的一些知識，物理教科書中 首先指出：運動物體經(jīng)過某一時刻(或某一位置的速度叫做瞬時速度，然后從實 際測量速度出發(fā)，結(jié)合汽車速度儀的使用，對瞬時速度作了說明物理課上對瞬 時速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時間 運動的平均速度的極限來定義瞬時速度. 6.導(dǎo)數(shù)的定義 導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的

6、方法是本節(jié)的重點，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時， 都是以此為依據(jù). 對導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點： ( x是自變量x在 處的增量(或改變量. (2導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果 x-0時，.有極限，那么函 數(shù)y=f(x在點耳處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x在點 處的導(dǎo)數(shù). (3如果函數(shù)y=f(x在點匚處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x在點 處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定 義可知 .反之不一定成立.例如函數(shù) y=|x|在點x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo). 由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個步驟進行： 函數(shù)y=f(x在點處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x在點 f處的切線的斜 率.由此，可以利用導(dǎo)

7、數(shù)求曲線的切線方程.具體求法分兩步： (1求出函數(shù)y=f(x在點耳處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x在點 )處的切線的 斜率； (2在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為 特別地，如果曲線y=f(x在點 LT處的切線平行于y軸，這時導(dǎo)數(shù)不 存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為臣T 8和 或差)的導(dǎo)數(shù) 上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，那么對于函數(shù)1 - - II的導(dǎo)數(shù)，又如何求 呢？我們不妨先利用導(dǎo)數(shù)的定義來求。 我們不難發(fā)現(xiàn)，即兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)的和。 由此我們猜測在一般情況下結(jié)論成立。事實上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個函 數(shù)的和 或差)的求導(dǎo)法則。 9 積的導(dǎo)數(shù) 兩個

8、函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的證明是本節(jié)的一個難點，證明過程中變形的關(guān)鍵是依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義 的結(jié)構(gòu)形式。 具體過程見課本 P120) 說明： 1) 2 )若c為常數(shù)，則(cu =cu。 10.商的導(dǎo)數(shù) 兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，課本中未加證明，只要求記住并能運用就可以。現(xiàn)補充證明如 下： 設(shè) | 因為v(x在點X處可導(dǎo)，所以它在點 X處連續(xù)，于是 xT 0時，v(x+ x T v(x，從而 說明：1）；2） 學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則后，由常函數(shù)、幕函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、 減、乘、除運算得到的簡單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù) 的定義去求。 11.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系

9、 L- 與飛為增函數(shù)的關(guān)系。 I 能推出171為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)丨在 上單 調(diào)遞增，但 ，是 為增函數(shù)的充分不必要條件。 時，與I二JI為增函數(shù)的關(guān)系。 若將 I的根作為分界點，因為規(guī)定 ，即摳去了分界點，此時-I為 增函數(shù)，就一定有 I 。當(dāng) 時，是 =1為增函數(shù)的充分必要 條件。 I與一為增函數(shù)的關(guān)系。 T 為增函數(shù)，一定可以推出I，但反之不一定，因為I ，即為 I或。當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則1_1|為常數(shù)，函數(shù)不具 有單調(diào)性。I是 一 為增函數(shù)的必要不充分條件。 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上 三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性

10、。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用 開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到端點的 討論問題，要謹慎處理。 單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知I 1）分析一I的定義域；2）求導(dǎo)數(shù)I 3 ）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間 4 ）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間 我們在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時一定要搞清以下三個關(guān)系，才能準(zhǔn)確無誤地判斷函數(shù)的 單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可 導(dǎo)。 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)III在 一1單調(diào)遞增，在 一1單調(diào)遞增，又 知函數(shù)在一處連續(xù)，因此 在 一1單

11、調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即 相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個區(qū)間。 12.II I k | 1) 1- 1 恒成立 L_J 為 冋 上 對任意 亠1不等式 一 恒成立 2) 1 恒成立 4 在 上 對任意 - 不等式 E 1 恒成立 五、注意事項 1導(dǎo)數(shù)概念的理解. 2 利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點與難點內(nèi)容。課本中先通過實例，引出復(fù)合函數(shù) 的求導(dǎo)法則，接下來對法則進行了證明。 對于復(fù)合函數(shù)，以前我們只是見過，沒有專門定義和介紹過它，課本中以描述性的方式 對復(fù)合函數(shù)加以直觀定

12、義，使我們對復(fù)合函數(shù)的的概念有一個初步的認識，再結(jié)合以后的例 題、習(xí)題就可以逐步了解復(fù)合函數(shù)的概念。 3. 要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點： 1 ）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的 求導(dǎo)法則。 2）對于一個復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對哪個變量 求導(dǎo)。 4. 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個步驟進行： 1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系； 2 ）分步求導(dǎo) 弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)）； 3）把中間變量代回原自變量 ,卩=f（x ;然 后將已知函數(shù)對中間變量求導(dǎo)，中間變量對自變量求導(dǎo)IS ;最后求 LT ，并將 中

13、間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解一一求導(dǎo)一一回代。熟練以后，可以 省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。 六、范例分析 例1 .|在二處可導(dǎo)，則 Q 例2.已知f（x在x=a處可導(dǎo)，且f （a=b，求下列極限： 1）_= J|； 2）-二弋 U 例3.觀察 f ,I ,I，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函 數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。 例4. 1）求曲線在點1,1 ）處的切線方程； 2）運動曲線方程為 ，求t=3時的速度。 例5.求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間 1) 2)兩 3）仝町 例6.求證下列不等式 1) 2)J2-| 3)一 IH 例7.利用導(dǎo)數(shù)求和： 1

14、）匚； 2）十嚴(yán)【。 例 n）設(shè)函數(shù) 內(nèi)有極值點，求c的取值范圍 解： I）依題意，令 n） x xo EZJ + 0 + 于是不是函數(shù)的極值點. 綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng) x m 1 X1 Z 1 EEZI El + 0 一 0 + 的變化如下: 由此，1的極小值點 說明：本題考查導(dǎo)數(shù)、切線、極值等知識及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力 例182004年高考福建卷文科 = 在區(qū)間1 , 1上 是增函數(shù) I）求實數(shù)a的值組成的集合 A ; = 敦的兩個非零實根為XI、X2.試問：是否存在實數(shù) 2 m,使得不等式 m+tm+1 |xi x2對任意a A及t 1, 1恒成立？若存在，求 m的取值 范圍；若

15、不存在，請說明理由 解： =4+2 / f（x 在1 , 1上是增函數(shù)， f/ （x 0 對 x 1 , 1恒成立， 即x2 ax 2=x2 ax 2, 方法一： i(1=1 a 2 w 0 1, j ( 1=1+ a 2 w 0. 對 x 1, 1，只有當(dāng) a=1 時，f/ (-1 =0 以及當(dāng) a= 1 時，F(xiàn) (1=0 -A= a | 1 w a w 1. 方法二： j ( 1=1+ a 2 w 0 j (1=1 a 2 w 0 上 0w aw 1 或1 w a=0 以及當(dāng) a= 1 時，f/ (1=0 二 A= a | 1 w a w 1. 0 x1, x2是方程x2 ax 2=0的兩

16、非零實根， X1+X2=a, X1 x2= 從而 x1 x2| = 1 w a w 1 , |X1-X2|= Iw 3. 要使不等式 m2+tm+1 X1 X2|對任意a A及t 1, 1恒成立, 當(dāng)且僅當(dāng) m2+tm+1 3對任意t 1, 1恒成立， 即m2+tm 2 0對任意t 1, 1恒成立. 2 2 設(shè) g(t =m +tm 2=mt+(m 2, 方法一： g( 1=m2 m 2 0, - g(1=m 2+m 2 0, 所以，存在實數(shù) m,使不等式 m2+tm+1 兇x?|對任意a A及t 1,1恒成立，其 取值范圍是m|m 2，或mW 2. 方法二： 當(dāng)m=0時，顯然不成立； 當(dāng)m豐

17、0時， m0, m=m2 m 2 0g(1=m2+m 2 0 m 2 或 mW 2. 2 所以，存在實數(shù) m，使不等式 m+tm+1 |xi X2對任意a A及t -1,1恒成立，其 取值范圍是m|m 2，或mW 2. 說明：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類 討論思想和靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力 例佃.2004年高考天津卷文科求一的單調(diào)區(qū)間和極大值； (11證明對任意一不等式 恒成立. (I解：由奇函數(shù)定義，應(yīng)有1. 即I 因此，I 由條件 為的極值，必有 1 故 |解得 因此, 當(dāng) 時， 1 ，故 I在單調(diào)區(qū)間 上是增函數(shù) 時， ，故1

18、_11在單調(diào)區(qū)間 一I上是減函數(shù) 當(dāng) .II 時，：-:I ，故 T 在單調(diào)區(qū)間1.1上是增函數(shù) 所以， 在亠 處取得極大值，極大值為 (|解：由(I知， 1是減函數(shù)，且 I在_I上的最大值I 在I上的最小值 I 所以，對任意I 恒有 說明：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值等基礎(chǔ)知 識，考查綜合分析和解決問題的能力 例20. 2004年高考全國卷n理科 =ln(1+x x, g(x=xlnx. 的最大值； n)設(shè) 0ab,證明 0+g(b-2g(| ln2. I)解：函數(shù)一的定義域為 一I =H 令.亠_ 當(dāng)1當(dāng)1又丨| 故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取得最大值，最大值

19、為 0. n)證法 由 I)結(jié)論知 由題設(shè) 因此 所以 綜上 證法 設(shè) 當(dāng)-.11在此二_內(nèi)為減函數(shù) 當(dāng)一=I上為增函數(shù) 從而，當(dāng).1有極小值 r 因此 當(dāng)I因此 因為I 上為減函數(shù) 說明：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式等知識以及綜合 推理論證的能力。 七、強化訓(xùn)練 1 設(shè)函數(shù)f（x在匚處可導(dǎo)，則等于） A. _.B C :D 2.若|，則凹等于 ） A. 3 .曲線 上切線平行于x軸的點的坐標(biāo)是) A. -1 , 2)B . 1, -2 ) C . 1, 2) D . -1 , 2 )或 的導(dǎo)數(shù)為f (x=-sinx ，則函數(shù)圖像在點4, f4 )處的切線的傾斜

20、角為 ) A. 90 B . 0 C .銳角 D .鈍角 5 .函數(shù)J在0 , 3上的最大值、最小值分別是) A. 5, 15 B. 5, 4 C. 4, 15D. 5, 16 6 .一直線運動的物體，從時間 t到t+ t時，物體的位移 s，那么： 為) A.從時間t到t+ t時，物體的平均速度B.時間t時該物體的瞬時速度 C.當(dāng)時間t時該物體的速度D.從時間t到t+ t時位移的平均變化率 7.關(guān)于函數(shù) A.在區(qū)間 C. 在區(qū)間 D. 在區(qū)間 2, -1 I ,0)內(nèi)， | )內(nèi)， ,0)- 回 LrJ ，下列說法不正確的是 為增函數(shù)B.在區(qū)間=-1，則此函數(shù)為 A.I B .C .ID . 9 .函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是在處可導(dǎo)，下列式子中與1工，相等的是 ) 1)三；2) 3)丨一 4) 11. A. 1) 2)B . 1) 3)C 2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 2) 3) D . 1) 上海卷理工農(nóng)醫(yī)類 2) 3) 4) 16) g) =af是定義在區(qū)間c,c上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令 列關(guān)于函數(shù)g )的敘述正確的是) A. 若a0,則函數(shù)gvr )的圖象關(guān)于原點對稱. B. 若a= 1, 2b0,則方程g ) =0有大于2的實根. C. 若0,b=2,貝U方程g 1,b2,則方程g在點 處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對應(yīng)的曲