基本不等式教學(xué)設(shè)計

1、 3.4.1 基本不等式的教學(xué)設(shè)計教材：人教版高中數(shù)學(xué)必修 5 第三章一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)選自人教版必修五的第三章第四節(jié)的第一課時，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)完“不等式的性質(zhì)” 元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題”的基礎(chǔ)上對不等式的 進一步研究。在探究基本不等式內(nèi)涵和證明的過程中，能夠培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問 題的能力；培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想意識；在應(yīng)用的過程中，通過對條件的轉(zhuǎn)換和變式，有助 于培養(yǎng)學(xué)生形成類比歸納的思想和習(xí)慣，進而形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置 1通過探究 “數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)” 及感受會標(biāo)的變形， 引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式

2、， 了解基本不等式的幾何背景培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié) 合的思想意識； 2進一步讓學(xué)生探究不等式的代數(shù)證明，加深對基本不等式的理解和認(rèn)識，提高學(xué)生邏輯推理的能 力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。3通過例題讓學(xué)生學(xué)會用基本不等式求最大值和最小值。三、學(xué)生學(xué)情分析 對于高一的學(xué)生，不等式并不陌生，前面學(xué)習(xí)了不等式及不等式的性質(zhì)，能夠進行簡單的數(shù)與式的 比較，本節(jié)所學(xué)內(nèi)容就用到了不等式的性質(zhì)，所以學(xué)生可以在鞏固不等式性質(zhì)的前提下學(xué)習(xí)基本不 等式，接受上是容易的，爭取讓學(xué)生真正意義上理解基本不等式。因此本節(jié)課的 重點內(nèi)容是對基本四、教學(xué)策略分析理解基本在教學(xué)過程中學(xué)生往往會直接應(yīng)

3、用不等式而忽略成立的條件， 不等式的理解和運用 。在運用過程中生成的規(guī)律，在學(xué)生做題時能靈活運用是難點，因此 不等式和靈活應(yīng)用基本不等式十本節(jié)課難點 五、教學(xué)過程：一）情景引入圖是 在北京召開的第 24 屆國際數(shù)學(xué)家大會會議現(xiàn)場。通過情境引發(fā)聯(lián)想，學(xué)生深切感受到我國數(shù)學(xué)科學(xué)的悠久歷史和深厚的文化底蘊，以及我國的BA數(shù)學(xué)成就對世界數(shù)學(xué)文明的影響和發(fā)展做出的卓越貢獻，激發(fā)學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情。/lM 2002BeijingAiiguiit 2卜謂* 2002探究一：觀察上面的會標(biāo)。會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、數(shù)形

4、結(jié)合的思想。將代數(shù)與幾何緊密的結(jié)合在了一起。【設(shè)計意圖】1.培養(yǎng)學(xué)生識圖和分析數(shù)據(jù)的能力，并通過對數(shù)量關(guān)系的分析得出基本不等式的雛形，進而逐 步發(fā)現(xiàn)基本不等式的本質(zhì)和成立條件。2 .鼓勵學(xué)生獨立思考，充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新和想象能力，進而發(fā)現(xiàn)并理解基本不等式的實質(zhì)。師：從圖形上你能觀察到了什么?生：邊、角、三角形、正方形師：我們根據(jù)弦圖可知勾股定理，那么我們對三角形、正方形可以研究哪些數(shù)量關(guān)系呢?生：正方形和三角形的面積、周長，根據(jù)給的邊可以求。師：那么面積之間又有怎樣的關(guān)系呢?, 2 2 2 2生：大正方形面積 a+b ,四個直角三角形面積 2ab，并且a +b 2ab。師：僅此而已嗎？你還能發(fā)

5、現(xiàn)怎樣的關(guān)系?生：還會相等。a = b時會相等。（教師投影展示取等號的條件，證明學(xué)生的想法是正確的。結(jié)論：a2+b22ab （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）師：你能給出證明嗎？（此問題學(xué)生口述即可） 0恒成立。則a = b時取等號。b換成ja, 7b，你又會得出什么結(jié)2 2 2 2 2生：由 a +b 2ab，貝U a +b -2ab 0= (a-b)師：一般的我們都用 a, b表示，那么若將上式中的論？如何證明？【設(shè)計意圖】用代數(shù)的方法證明基本不等式，進而使學(xué)生加深對基本不等式的理解，理解基本不等式中不等 號和等號成立的條件；弓I導(dǎo)學(xué)生自己動手寫出證明過程，并自我總結(jié)歸納基本不等式運用的條件, 有

6、利于學(xué)生準(zhǔn)確、靈活應(yīng)用。生：a+ b 2jab（a 0,b 0）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。師：很好，還可以寫成生投影展示：要證Jab 0,b 0），如何證明這個結(jié)論成立呢?2a +b Tab，只要證2a + b 2jab，只要證 a + b 0，只要證（苗-Jb）2 0，顯然式子成立，當(dāng)且僅當(dāng) a=b取等號。師：這樣我們又一次得到了基本不等式。根據(jù)以上證明學(xué)生已經(jīng)基本了解了基本不等式的形式和推導(dǎo)方法，同學(xué)們是否真正理解了基本不等式的含義。探究二：如右圖，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a , BC = b。過點C作垂直于AB的弦DE ,連接AD、BD。你能利用這個圖形，得出 jab 0

7、,b 0）的幾何解釋嗎?2【設(shè)計意圖】對圖形進一步分析,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)，讓學(xué)生體會不僅能以數(shù)證形，尋找數(shù)量關(guān)系的幾何解釋,還可以通過對圖形的觀察分析以形識數(shù)，進而完善前面的代數(shù)結(jié)論。（學(xué)生口述證明過程，教師給以引導(dǎo)）證明：因為AACD 也BCD，所以CD = jab。由于CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為 Jab 0,b 0）2顯然不等式當(dāng)且僅當(dāng)點 C與圓心結(jié)合，即當(dāng)a = b時，等號成立結(jié)論：(教師投影展示學(xué)生口述結(jié)果)jab是a、b的幾何平均數(shù),是a、b的算術(shù)平均數(shù)。2代數(shù)解釋是幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)。幾何解釋為半弦不大于半徑。師：以上利用代數(shù)法和幾何法推導(dǎo)基本

8、不等式，過程詳細，內(nèi)容明確，學(xué)生們對基本不等式理解 了嗎？我們來看看以下幾個問題是否正確?例：判斷對錯(1)由 a,b 亡 R,則 a + b 2jab。若X 2 。x當(dāng) a0,b0 時，7ab。2函數(shù)y =x +的最小值為2.X【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對所學(xué)知識點掌握的情況，是否真正理解了基本不等式并能注意運用公式時需要注意 的條件，從而真正意義上理解不等式的含義。(學(xué)生先獨立思考，組內(nèi)再探討，最后小組派代表解答。師：基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用，是解決最值問題的有力工具，看下面的例題。合作探究：下面兩道例題都由學(xué)生先獨立完成，然后組內(nèi)探討，最后組內(nèi)出代表完成。寬各為多少時，所感受不等

9、式和生活的緊例：(1)用籬笆圍一個面積為10 0平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、用籬笆最短.最短的籬笆是多少?【設(shè)計意圖】1 .總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題，實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化。2 .培養(yǎng)學(xué)生在實際生活中對不等式的感性認(rèn)識提煉為理性認(rèn)識的過程, 密聯(lián)系和指導(dǎo)意義。解：設(shè)矩形菜園的長為 x m,寬為y m,則xy=100,籬笆的長為由MfyJXy ,可得x + y2j?0O , 2(x + y )40。等號當(dāng)且僅當(dāng)x = y時成立，此時X = y =10 因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用籬笆最短，最短籬笆是40m 師：完成此例題你有什么發(fā)現(xiàn)?生：乘積是定值的時候，和取最值，并且為最小

10、值。師：很好，那總結(jié)個規(guī)律該怎么說呢？（學(xué)生嘗試說，最后教師完善）結(jié)論1積定和最小。師:看看下面這道例題，你又會得到什么結(jié)論呢?（2） 段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大.最大的面積是多少?解：設(shè)矩形菜園的長為 x m,寬為y m,貝y 2（x+y） = 36, x+y=18，矩形菜園的面積為 xyitf.I/ X + y 18由 Jxy = =9，可得 xy 81 ,2 2當(dāng)且僅當(dāng)x=y，即x=y=9，等號成立。因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大的面積是81 rfo師：此題做完你又有什么想法呢?生：和定積最大。（由上面的題引導(dǎo)

11、學(xué)生會很快得出結(jié)論）師：由上面例題，同學(xué)們，能總結(jié)一下運用基本不等式解題需要滿足的條件嗎？（根據(jù)前面學(xué) 習(xí)學(xué)生會說出至少兩點）生：a,b都為正數(shù)，取最值的條件是a=b師：例題中運用公式取到最值的前提必須有什么？（通過教師引導(dǎo)學(xué)生會想到定值）生：有一個是定值。師：好，那我們給運用基本不等式滿足的條件一個口訣吧?（生嘗試去說，但不一定簡便，但用自己的思維方式說印象會更深）師：一正、二定、三相等。師：那我們?nèi)绾芜\用基本不等式都能求哪些最值得題型呢？下節(jié)課我們再研究。五、課堂總結(jié)1、本節(jié)課你學(xué)到了什么?2、你還有哪些疑問?自己總結(jié)檢驗本節(jié)課的聽課效果,【設(shè)計意圖】 通過提問讓學(xué)生在頭腦中形成自己的知識

12、體系, 是否還有自己沒聽懂的問題一下就清楚了。六、課后作業(yè)教材P113練習(xí)1、2、3.習(xí)題A組2、3【設(shè)計意圖】鞏固訓(xùn)練本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容并且給學(xué)生一個完整的獨立思考，自主學(xué)習(xí)的機會。七、教學(xué)設(shè)計說明不等式對高中的學(xué)生來說不陌生，但基本不等式則是一個新的知識點出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中, 讓學(xué)生又學(xué)會一種求函數(shù)最值得方法，所以學(xué)生只有真正理解了才會用起來得心應(yīng)手?；静坏仁焦降囊隼昧藘煞N方法：代數(shù)法和幾何法。代數(shù)學(xué)通過圖形展示，讓學(xué)生自己 找出不等式關(guān)系，從而引出結(jié)論。又利用完全平方差公式更容易的看出公式成立的條件。最后用幾 何法，移動弦的位置更直觀的看出公式形成的過程。兩種方法就是希望學(xué)生真正理

13、解公式的由來。從而能夠靈活運用。基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用,是解決最值問題的有力工具，所以一道求最值的實際問題引導(dǎo)學(xué)生理解運用不等式需要注意的三點：一正、二定、三相等。為后面求最值的題型做 了鋪墊。課堂總結(jié)和課后作業(yè)都是給學(xué)生一個獨立思考，理順自己思路，回顧學(xué)習(xí)的內(nèi)容，從而檢驗自 己學(xué)習(xí)情況。3.4.1基本不等式課例點評稿一節(jié)好課，應(yīng)該有老師高超的教學(xué)設(shè)計一一既有學(xué)生數(shù)學(xué)知識的生成又要潛移默化 的形成數(shù)學(xué)的邏輯思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)熱情。應(yīng)該有學(xué)生充分的交流互動一一既能發(fā)揮學(xué)生的主體作用又能學(xué)以致用的運用新 知解決實際問題，體驗到生活離不開數(shù)學(xué)。341基本不等式一課，就完全詮釋了一

14、節(jié)好課的內(nèi)涵。情景引入環(huán)節(jié)以第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的徽標(biāo)為切入點，引出徽標(biāo)的 原型-趙爽弦圖，讓學(xué)生真切的感受到了我國自古以來數(shù)學(xué)的突出成就, 我國深厚豐盈的數(shù)學(xué)底蘊以及我國數(shù)學(xué)為世界文明做出的巨大貢獻 激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感，激發(fā)了學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，這體 現(xiàn)了教師傳承育人、文化育人的教育理念。獨立探究環(huán)節(jié)學(xué)生通過獨立觀察、思考和嘗試探究，讓學(xué)生充分的動 眼觀察，動腦思考，動口表達放手學(xué)生遨游于數(shù)學(xué)的觀察、想象、創(chuàng) 新和自我感知、自我認(rèn)可的自由空間。問題設(shè)計層層遞進，數(shù)形結(jié)合思想 明線導(dǎo)引，數(shù)理邏輯思維暗線支撐整堂課能夠讓學(xué)生切身感受到數(shù)學(xué) 知識的漸次生成，邏輯思維的不斷完善和數(shù)學(xué)思想的逐步成熟；充分感受 到數(shù)學(xué)藝術(shù)和數(shù)學(xué)魅力的同時又潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的