泰勒公式及其應用 2

1、重慶三峽學院畢業(yè)設計（論文）題目：泰勒公式及其應用 院 系 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學（師范類） 年 級 2009級 學生姓名 xxx 學生學號 xxx 指導教師 xxx 完成畢業(yè)設計（論文）時間 2013 年 5 月目 錄摘要iabstractii引言1第一章 泰勒公式的意義2第二章 泰勒公式的定義32.1 帶有佩亞諾型余項的泰勒公式32.2 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式3第三章 泰勒公式的應用53.1 利用泰勒公式進行近似計算53.2 利用泰勒公式求極限73.3 利用泰勒公式求曲線的漸近線方程83.4 利用泰勒公式求高階導數(shù)在某些點的數(shù)值103.5 利用泰勒公式判斷級數(shù)和廣義積

2、分的斂散性113.5.1 判斷級數(shù)的斂散性113.5.2 判斷廣義積分的斂散性123.6 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值133.7 利用泰勒公式證明不等式143.8 泰勒公式在函數(shù)方程中的應用17第四章 總結(jié)19致謝19參考文獻19泰勒公式及其應用xxx（xxx數(shù)學與統(tǒng)計學院 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 2009級 xxx xxx）摘要：泰勒公式是數(shù)學分析中的重要組成部分.本文論述了泰勒公式的基本內(nèi)容,并著重介紹了泰勒公式在數(shù)學領域上的一些應用：利用泰勒公式作近似計算、求極限、判斷函數(shù)的極值、證明不等式和求曲線的漸近線方程；除此外,還可用泰勒公式求高階導數(shù)在某些點的數(shù)值、判斷級數(shù)和廣義積分斂散性,以及在函

3、數(shù)方程中的應用.關(guān)鍵詞：泰勒公式；佩亞諾余項；拉格朗日余項；應用taylors formula and its applicationxxx(grade 2009, mathematics and applied mathematics, school of mathematics and statistics, xxx, xxx, chongqing xxx ) abstract：taylors formula is an important knowledge in the mathematical analysis.this paper discusses some basic cont

4、ents about the taylors formula.and emphatically introduces the applications of taylors formula in mathematics: we can use the taylors formula to calculate approximation, solve the limit,judge function extremum,prove inequality and solve asymptote equation of curve.in addition, taylors formula still

5、can be used to solve the value of higher order derivative in some point , judge the convergence and divergence of progression and generalized integral,as well as its application of functional equations.keywords：taylors formula;peanos remainder;lagranges remainder;application引言 泰勒公式是數(shù)學分析和微分學中的一個非常重要的

6、公式,它將一些復雜的函數(shù)近似的表示為簡單的多項式函數(shù),這種化繁為簡的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學問題的有力工具.18世紀早期英國牛頓學派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學家泰勒（brook taylor）,于1717年,他以泰勒定理求解了數(shù)值方程.泰勒的主要著作是1715年出版的正的和反的增量方法,書內(nèi)陳述出他已于1712年7月給其老師梅欽（數(shù)學家 、天文學家）信中首先提出的著名定理泰勒定理.泰勒公式起源于牛頓插值的有限差分法,1772年,拉格朗日強調(diào)了此公式之重要性,而且稱之為微分學基本定理,但泰勒于證明當中并沒有考慮級數(shù)的收斂性,因而使證明不嚴謹,這工作直至十九世紀二十年代才由柯西完成.泰勒公式

7、的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計誤差等方面不可或缺的數(shù)學工具,集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓,在近似計算方面有著得天獨厚的優(yōu)勢,它建立了函數(shù)的增量、自變量增量與一階及高階導數(shù)的關(guān)系,將一些復雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù),這種“化繁為簡”的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學問題的有力工具.所以我們可以使用泰勒公式,來很容易地解決一些問題,如證明不等式,判斷收斂性以及求極限問題等.本文主要介紹泰勒公式及其在各種問題中的具體應用,從而使我們更加認識到泰勒公式的重要性. 雖然泰勒公式應用到各個數(shù)學領域很多,但同樣也還有很多方面學者很少提及,因此在泰勒公式及其在解題中的應用方面我們有研究的必要

8、,并且有著相當大的空間.第一章 泰勒公式的意義 泰勒公式的意義是,用一個次多項式來逼近函數(shù).而多項式具有形式簡單,易于計算等優(yōu)點. 泰勒公式由的次泰勒多項式和余項組成,我們來詳細討論它們.當時,有 是的曲線在點處的切線(方程),稱為曲線在點處的一次密切,顯然,切線與曲線的差異是較大的,只是曲線的近似.當時,有 是曲線在點處的“二次切線”,也稱曲線在點處的二次密切.可以看出,二次切線與曲線的接近程度比切線要好.當次數(shù)越來越高時,接近程度越來越密切,近似程度也越來越高.第二章 泰勒公式的定義泰勒公式的余項分為兩類,一類是定性的,一類是定量的,它們的本質(zhì)相同,但性質(zhì)各異.定性的余項如佩亞諾型余項,僅

9、表示余項是比（當時）高階的無窮小.如,表示當時,用近似表示,誤差（余項）是比高階的無窮小.定量的余項如拉格朗日型余項（也可以寫成）、柯西余項（如在某些函數(shù)的冪級數(shù)展開時用）.定量的余項一般用于函數(shù)值的計算與函數(shù)形態(tài)的研究.2.1 帶有佩亞諾型余項的泰勒公式定理1 若函數(shù)在點的某鄰域存在直至階導數(shù),則對此鄰域內(nèi)的點有 稱為帶有佩亞諾型余項的泰勒公式,其中,稱佩亞諾余項. 當時, 稱為帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式.2.2 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式定理2 若在上連續(xù),在內(nèi)存在,則,在與之間,使得 稱為帶有拉格朗日型余項的泰勒公式,其中,稱為拉格朗日型余項.注意到當時,有 （在與之間）此式即為拉

10、格朗日中值公式,所以,泰勒中值定理可以看作是拉格朗日中值定理的推廣. 當時,在與之間,可令,則 稱為帶拉格朗日余項的麥克勞林公式.第三章 泰勒公式的應用3.1 利用泰勒公式進行近似計算 當要求的算式不能得出它的準確值時,即只能求出近似值時,泰勒公式是解決這種問題的一個好方法,它既可以進行一些數(shù)值的近似計算,又可以得到函數(shù)的近似計算式. 利用的帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式得到函數(shù)的近似計算式為 其誤差是. 下面列舉幾個例子,說明其具體做法.例1 計算準確到.解 利用 （）當時,有 故,顯然當=12時,可得.例2 計算的值,使誤差不超過.解 先寫出帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式： ,其中（在

11、0與之間）,令,要使 則取即可.因此 其誤差.注意 泰勒公式只是一種局部性質(zhì),因此在用它進行近似計算時,不能遠離,否則效果會比較差,甚至產(chǎn)生完全錯誤的結(jié)果.如在的泰勒多項式中令,取它的前項計算的近似值,得到 而,誤差相當大,但如改用其他泰勒多項式,如 ,令只取前兩項便有 ,取前四項則可達到 ,效果比前面好得多.例3 當很小時,推出的簡單的近似公式.解 當很小時, 3.2 利用泰勒公式求極限 對于待定型的極限問題,一般可以采用洛比達法則來求,但是,對于一些求導比較繁瑣,特別是要多次使用洛比達法則的情況,泰勒公式往往是比洛比達法則更為有效的求極限工具.利用泰勒公式求極限,一般用麥克勞林公式形式,并

12、采用佩亞諾型余項.當極限式為分式時,一般要將求分子分母展開成同一階的麥克勞林公式,通過比較求出極限.例4 求極限 .解 此題若采用洛必達法則求解,則十分麻煩,因而采用下述解法：由泰勒公式知 .又因為當時, 所以 .例 5 用帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式,求極限 .解 當時,由泰勒公式知 所以 對此式作運算時,把兩個的高階無窮小的代數(shù)和仍記作 ,故 . 從上面2個例子可以看出,用泰勒公式方法計算極限的實質(zhì)是一種利用等價無窮小的替換來計算極限的方法,熟知：當時等,這種等價無窮小其實就是將函數(shù)用泰勒公式展開成一次項,有些問題用泰勒公式方法和我們已熟知的等價無窮小方法相結(jié)合,問題又能進一步簡化.3.

13、3 利用泰勒公式求曲線的漸近線方程若曲線上的點到直線的距離在或時趨于零,則稱直線是曲線的一條漸近線.顯然,直線是曲線的漸近線的充分必要條件為或如果是曲線的漸近線,則（或）.因此首先有（或）.其次,再由（或）可得 （或）反之,如果由以上兩式確定了和,那么是曲線的一條漸近線.當時,稱為水平漸近線,否則稱為斜漸近線.而如果在趨于某個定值時趨于或,即成立 則稱直線是的一條垂直漸近線. 注意 如果上面的極限對于成立,則說明直線關(guān)于曲線在和兩個方向上都是漸近線. 除上述情況外,如果當或時,趨于或,即 或 ,則稱直線是曲線的一條垂直漸近線.如函數(shù)的垂直漸近線方程為.（因為）例6 判斷函數(shù)的曲線是否存在漸近線

14、,若存在的話,求出漸近線方程解 首先設所求的漸近線為,并令,則有： .從中解出：.所以有漸近線為例7 求 的漸近線方程.解 當漸近線斜率不存在時,有 因此為曲線的垂直漸近線方程.當漸近線斜率存在時,可設 的漸近線方程為,則由定義 由此為曲線的斜漸近線方程.3.4 利用泰勒公式求高階導數(shù)在某些點的數(shù)值 如果泰勒公式已知,其通項中的系數(shù)正是,從而可反過來求高階導數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導.例8 求函數(shù)在x=1處的高階導數(shù).解 設,則,在時的泰勒公式為 ,從而 ,而中的泰勒展開式中含的項應為,從的展開式知的項為,因此 ,從而 .3.5 利用泰勒公式判斷級數(shù)和廣義積分的斂散性3.5.1 判斷級數(shù)的斂散性

15、在判斷級數(shù)的斂散性時,當級數(shù)的通項表達式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁雜形式時,通常利用泰勒公式將級數(shù)通項簡化或統(tǒng)一形式,以便利用判斂準則.例9 討論級數(shù)的斂散性.分析 直接根據(jù)通項去判斷該級數(shù)是正項級數(shù)還是非正項級數(shù)比較困難,因而也就無法恰當選擇斂散性的判別方法,注意到,若將其展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應,會使斂散性的判別容易進行.解 因為 ,所以 ,因此 故該級數(shù)是正項級數(shù).又因為所以.因為收斂,所以由正項級數(shù)比較判別法知原級數(shù)收斂.3.5.2 判斷廣義積分的斂散性在判定廣義積分斂散性時, 通常選取廣義積分進行比較, 在此通過研究無窮小量的階來有效地選中的值,從而簡單地判定的斂散性（

16、注意到：如果收斂,則收斂).例10 研究廣義積分的斂散性. 解 令 ,則 ,因此,即是的階,而收斂,故收斂,從而收斂,即收斂.3.6 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值函數(shù)的極值在實際問題中占有很重要的地位,并且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征,泰勒公式可以作為研究函數(shù)極值的一個重要工具.定理3 設函數(shù)在附近有階連續(xù)導數(shù),且, （1）如果為偶數(shù),則不是函數(shù)的極值點（2）如果為奇數(shù),則是函數(shù)的極值點,且當時,是函數(shù)的極小值點；當 時,是函數(shù)的極大值點證明 函數(shù)在點處作帶有佩亞諾型余項的公式為于是 由于故,在中,與同號（1）如果為偶數(shù),則由在附近變號知,也變號,故不是函數(shù)的極值點（2）如果為奇數(shù),則為偶數(shù),于是

17、在附近不變號,故與同號 若,則,為函數(shù)的極小值點若,則,為函數(shù)的極大值點例11 試求函數(shù)的極值解 設,由于,令得,是函數(shù)的三個穩(wěn)定點,的二階導數(shù)為 ,由此得,及.所以據(jù)定理3知在時取得極小值求三階導數(shù) ： 有因,則為偶數(shù),由定理3知在處不取極值.再求的四階導數(shù)： ,有,因為,則為奇數(shù),由定理3知在處取得極大值綜上所述,為極大值,為極小值3.7 利用泰勒公式證明不等式關(guān)于在不等式的證明方面,我們已經(jīng)知道有很多種方法,比如利用函數(shù)的凸性來證明不等式,利用拉格朗日中值定理來證明不等式,以及通過討論導數(shù)的符號來得到函數(shù)的單調(diào)性,從而證明不等式的方法,同樣泰勒公式也是不等式證明的一個重要方法.如果函數(shù)存

18、在二階及二階以上導數(shù)并且有界,利用泰勒公式去證明這些不等式,一般的證明思路為：(1)寫出比最高階導數(shù)低一階的函數(shù)的泰勒展開式；(2)恰當?shù)剡x擇等式兩邊的與；(3)根據(jù)最高階導數(shù)的大小對函數(shù)的泰勒展開式進行縮放.例12 證明：不等式.分析 不等式左邊是二次三項式.右邊是無理式,兩者沒有明顯的大小關(guān)系,這時可將用的二階泰勒公式表示出來,然后與左邊的二次三項式比較,進而判斷兩者的大小關(guān)系.證明 設,則 代入的二次泰勒公式,有 當時,余項,從而有 . 例13 設在 上具有二階導數(shù),且滿足條件 ,其中,為非負常數(shù),證明對任意,有.證明 已知在 上具有二階導數(shù),則由泰勒展開式得,在與t之間.分別令 得 ,

19、 (1) , (2)(1)-(2)得 于是 +由于在時,有 所以有 .例14 在（）上滿足 ,證明： .證明 令 ,則 .由泰勒展開式得,當時亦有 其中在與之間.因為,所以有 因此有 從而得到 =則 =即 .3.8 泰勒公式在函數(shù)方程中的應用例15 設在內(nèi)有連續(xù)三階導數(shù),且滿足方程： （與無關(guān)） （3）試證：是一次或二次函數(shù).證明 問題在于證明：或.為此將（3）式對求導,注意與無關(guān).我們有 （4）從而 .令取極限,得 .若,由此知為一次函數(shù)；若,(4）式給出 此式兩端同時對求導,減去,除去,然后令取極限,即得,為二次函數(shù).在一定條件下證明某函數(shù)的問題,我們稱之為歸零問題,因此,上例實際上是的歸

20、零問題.下面再看一例.例16 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導數(shù),且, . （5）試證：使得在內(nèi).證明 為了證明在的鄰域內(nèi)恒為零,將（5）式右端的,在處泰勒公式展開.注意到,有 , .從而 . (6) 今限制,則在上連續(xù)有,使得 只要證明即可.事實上 .即所以,因此在上,證畢.第四章 總結(jié) 泰勒公式是數(shù)學分析中非常重要的內(nèi)容,也是研究數(shù)學各個領域的不可或缺的工具.本文章是在大量查閱有關(guān)泰勒公式的資料的基礎上作出的初步整理,這篇文章介紹了泰勒公式的各種余項,并重點歸納總結(jié)了其在數(shù)學中的一些應用.對泰勒公式在近似值計算、求極限、判斷級數(shù)和廣義積分的斂散性、判別函數(shù)的極值、證明不等式、求曲線的漸進性方程等方面做了簡單系統(tǒng)的介紹和分析,充分利用其解題技巧在解題時可以起到事半功倍的效果,從而體現(xiàn)了泰勒公式在微分學應用中的重要的地位.所以,我們應該牢固掌握這些知識并靈活應用才能更方便地解決某些復雜問題.但由于自己的知識和水平能力有限,沒有對這方面的內(nèi)容進行深入的研究.致謝 寫畢業(yè)論文是一件很繁瑣的事情,在這一次完成論文的過程中遇到很多問題,比如文章的排版格式,內(nèi)容的安排以及數(shù)學公式的編輯等方面的問題,而以前對于這些問題都沒有深入學習過,因而我寫論文的時候在遇到這些問題時,也有過氣餒但在李本秀老師的指導和幫助下,在同學的幫助和鼓勵下,我得以順利的完成了畢業(yè)論文在此,要感