2011高三數(shù)學(xué)一輪熱身AB組23函數(shù)的性質(zhì)

1、第三節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)A組1設(shè)偶函數(shù)f(x) = loga|x b|在( 8, 0)上單調(diào)遞增，則f(a + 1)與f(b + 2)的大小關(guān)系為 .解析：由f(x)為偶函數(shù)，知b= 0,. f(x)= loga|x|,又f(x)在(, 0)上單調(diào)遞增，所以0a1,1a+ 1f(b+ 2).答案：f(a+ 1)f(b+ 2)2. (2010年廣東三校模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則f(1) + f(4)+ f(7)等于.解析：f(x)為奇函數(shù)，且x R,所以f(0) = 0,由周期為2可知，f(4) = 0, f(7)= f(1),又由f(x+ 2) = f(x)

2、, 令 x= 1 得 f(1) = f( 1) = f(1)? f(1) = 0,所以 f(1) + f(4) + f(7) = 0答案：03. (2009年高考山東卷改編)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x 4) = f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)， 則f( 25)、f(11)、f(80)的大小關(guān)系為 .解析：因為f(x)滿足f(x 4) = f(x)，所以f(x 8) = f(x),所以函數(shù)是以 8為周期的周期函數(shù)，則 f( 25) = f( 1), f(80) = f(0), f(11) = f(3),又因為 f(x)在 R 上是奇函數(shù)，f(0) = 0,得 f(80)= f(

3、0) = 0, f( 25)= f( 1) = f(1)，而由 f(x 4) = f(x)得 f(11) = f(3) = f( 3)= f(1 4)= f(1)，又因為 f(x)在區(qū)間0,2上是增函 數(shù)，所以 f(1)f(0) = 0,所以一f(1)0,即 f( 25)f(80)f(11).答案：f( 25)f(80)f(11)一 一 14. (2009年高考遼寧卷改編)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+s )上單調(diào)增加，則滿足 f(2x 1)f(-)的x取值范 圍是.解析：由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x) = f(|x|)，由f(|2x 1|)f(1)，再根據(jù)f(x)的單調(diào)性得|2x 1|1，

4、解得3x|. 答案：(1, 2)5. (原創(chuàng)題)已知定義在 R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，對 x R, f(2 + x) = f(2 x)，當(dāng)f( 3) = 2時，f(2011) 的值為.解析：因為定義在 R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(2 + x)= f(2 x)= f(x 2)，故函數(shù)f(x)是以4為周 期的函數(shù)，所以 f(2011) = f(3 + 502 X 4) = f(3) = f( 3)= 2答案：一26. 已知函數(shù)y= f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T= 5,函數(shù)y= f(x)( K x0)，由 f(1) + f(4) = 0，得 a(1 2)2 5+ a(4 2)2

5、5=0, a= 2, f(x) = 2(x 2) 5(1 w x 4).(3) / y = f(x)( 1w xw 1)是奇函數(shù)， f(0) = 0,又知 y = f(x)在0,1上是一次函數(shù)，可設(shè) f(x)=kx(0 w xw 1)，而 f(1) = 2(1 2)2 5 = 3, k= 3, 當(dāng) 0w xw 1 時，f(x)= 3x,從而當(dāng)一1 w x0 時， f(x)= f( X)= - 3x,故1 w XW 1 時，f(x)= 3x. 當(dāng) 4W x 6 時，有1 x 5 1, / f(x) = f(x 5)=-2 23(x 5) = 3x+ 15.當(dāng) 6xw 9 時，1x 5w 4, f

6、(x) = f(x 5) = 2(x 5) 2 5= 2(x 7) 5.3x+ 15,4 w x w 6- f(x) = 22(x 7) 5,60，若f( 1) = 0，那么 關(guān)于x的不等式xf(x)0，則在(0 ,+s)上f(x)是增函數(shù)，在(a, 0)上是減函數(shù)，又f(x)在R 上是偶函數(shù)，且 f( 1)= 0, f(1) = 0從而可知 x (a, 1)時，f(x)0 ； x ( 1,0)時，f(x)0; x (0,1) 時，f(x)0. 不等式的解集為(a, 1) u (0,1)答案：( a, 1) U (0,1).5. (2009年高考江西卷改編)已知函數(shù)f(x)是( a,+a )上

7、的偶函數(shù)，若對于 x 0,都有f(x+ 2) = f(x),且當(dāng) x 0,2)時，f(x)= log2(x+ 1)，則 f( 2009) + f(2010)的值為.解析：/ f(x)是偶函數(shù)， f( 2009) = f(2009). T f(x)在 x 0 時 f(x + 2) = f(x), f(x)周期為 2. f( 2009) + f(2010) = f(2009) + f(2010) = f(1) + f(0) = log22+ log21 = 0 + 1= 1.答案:116. (2010年江蘇蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，并且對于定義域內(nèi)任意的x,滿足f(x + 2)=頹，若當(dāng)

8、2x3 時，f(x) = x,則 f(2009.5) =1解析：由 f(x+ 2)=-六可得 f(x+ 4) = f(x), f(2009.5) = f(502 X 4 + 1.5)= f(1.5) = f(- 2.5) / f(x)是偶函 f(x)55數(shù)， f(2009.5) = f(2.5) = q答案：7. (2010年安徽黃山質(zhì)檢)定義在R上的函數(shù)f(x)在(汽a上是增函數(shù)，函數(shù)y= f(x+ a)是偶函數(shù)，當(dāng)xia，且 |xi- a|x2 a|時，則 f(2a-x”與 f(x2)的大小關(guān)系為 .解析：t y= f(x+ a)為偶函數(shù)， y= f(x+ a)的圖象關(guān)于y軸對稱， y=

9、f(x)的圖象關(guān)于x= a對稱.又f(x)在(一a, a上是增函數(shù)，- f(x)在a, + m)上是減函數(shù).當(dāng) x1a，且 |x1 a|x2 a| 時，有 a xiX2 a, 即即 a2a Xif(x2).答案：f(2a xi)f(x2)&已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x 0時，f(x)= x(x+ 1).若f(a)= 2，則實數(shù)a=.解析：當(dāng) x 0 時，f(x)= x(x+ 1)0，由 f(x)為奇函數(shù)知 x0 時，f(x)0, a0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根X1, X2, X3, &,則禺+ X2+ X3+ X4=.解析：因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x 4) = f(x)，所

10、以f(4 x)= f(x)，因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線x= 2對稱且f(0) = 0.由f(x 4) = f(x)知 f(x 8) = f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù).又因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,0上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x) = m(m 0)在區(qū)間8,8 上有四個不同的根X1, X2,X3,X4,不妨設(shè)X1 X20 時，一x0).xlg(2 x) (x 0).11. 已知函數(shù) f(x),當(dāng) x, y R 時，恒有 f(x+ y) = f(x) + f(y). (1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)如果 x R+, f(x)0 ,1并且f(1)

11、= 1，試求f(x)在區(qū)間2,6上的最值.解：(1)證明：函數(shù)定義域為R，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.t f(x+ y)= f(x) + f(y),令 y= x, f(0) = f(x) + f( x).令 x = y= 0, f(0) = f(0) + f(0)，得 f(0) = 0. f(x) + f( x) = 0,得 f( x) = f(x), f(x)為奇函數(shù).(2)法一：設(shè) x, y R + , tf(x+ y) = f(x) + f(y), f(x+ y) f(x) = f(y).t x R+, f(x)0 , f(x+ y) f(x)0 , f(x+ y)x, f(x)在(0, +a

12、)上是減函數(shù).又 t f(x)1為奇函數(shù)，f(0) = 0,. f(x)在(g, +8)上是減函數(shù). f( 2)為最大值，f(6)為最小值./ f(1) = -2，二f(2) = f(2) = 2f(1) = 1 , f(6) = 2f(3) = 2f(1) + f(2) = 3. 所求 f(x)在區(qū)間2,6上的最大值為 1,最小值為 3.法一:設(shè) X10 , f(X21X1)0. f(x2) f(X1)0.即 f(x)在 R 上單調(diào)遞減. f( 2)為最大值，f(6)為最小值. f(1) = 2， f( 2) =f(2) = 2f(1) = 1 , f(6) = 2f(3) = 2f(1)

13、+ f(2) = 3. 所求 f(x)在區(qū)間2,6上的最大值為 1，最小值為3.12. 已知函數(shù)f(x)的定義域為 R，且滿足f(x+ 2)= f(x).(1) 求證：f(x)是周期函數(shù)；1 1若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)ow XW 1時，f(x) = *,求使f(x)= 2在0,2010上的所有X的個數(shù).解：(1)證明：/ f(x+ 2)= f(x), f(x+ 4)= f(x+ 2) = f(x) = f(x), f(x)是以4為周期的周期函數(shù).t丄1(2) 當(dāng) 0w x1 1 1設(shè) 一 1 w xW 0,貝H 0w 一 xW 1，f( 一 x) = 2( x) = x. - f(x)是奇函數(shù)，-f( x) = f(x)，一f(x) = 21 1X,即 f(x)= 2X.故 f(x) = 2x( 1W x 1)1又設(shè) 1x3，則一1x 21, f(x 2) = 2(x 2),1 1又 T f(x 2) = f(2 x) = f( x) + 2 = f( x) = f(x),