高數(shù)極限習(xí)題

1、第二章導(dǎo)數(shù)與微分 典型例題分析 客觀題 例1設(shè)f (x)在點(diǎn)xo可導(dǎo),a,b為常數(shù)，則 lim x f(xo a x) f (xo b x) 0 A abf (xo) B (a b)f (xo) C (a b)f (xo) D 加xo) 答案 解 f(xo a x)f (xob x) lim x 0 x f (xoa x)f (xo) f (xo lim x 0 f (xo a x) f(xo) a lim x 0a x (a b)f (Xo) b x) f(Xo) b lim f(xob x) x 0 f(xo) 例 2( 89303)設(shè) f (x)在 x 件是( a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則f

2、(X)在x a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條 (A) lim h f h lirf h 0 答案D 解題思路 (C) h) 1 h I f (a 2h f (a)存在 存在 (B) lim f(a 2h) f(a h)存在 h 0 h (D) limf(a) f(a h)存在 h 0 x，當(dāng)h 時(shí)，x 0，則有 1 (1)對于答案(A)，不妨設(shè)一 h 1 lim h f a hh 右導(dǎo)數(shù)存在，它并不是可導(dǎo)的充分條件 f(a) lim x o f (a x) x ，故 (A)不對. f(a存在，這只表明f(x)在x a處 (2)對于答案(B)與(C),因所給極限式子中不含點(diǎn)a處的函數(shù)值f(a)，因此與導(dǎo)數(shù)概

3、念 不相符和.例如，若取 1, x a f (x) 0, x a 則(B)與(C)兩個(gè)極限均存在，其值為零，但lim f (x) 0 f (a) 1，從而f (x)在 x a x a處不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，這就說明(B)與(C)成立并不能保證 f (a)存在，從而(B) 與(C)也不對. (3)記xh,則x 0與h0是等價(jià)的 汙是 精選文庫 4 mo Hh mo mo Hh lgpf (a) 所以條件D是f (a)存在的一個(gè)充分必要條件 例 3(00103)設(shè) f (0)0,則 f (x)在點(diǎn) 1 (A)limpf(1 h 0h2 1 (C)limpf(h h 0h2 答案B 解題思路 c0sh

4、)存在 sinh)存在 0可導(dǎo)的充要條件為() 1 h (B)lim f(1 eh)存在 h 0 h 1 (D) Iim f(2h) f (h) / h 0 h 存在 (1)當(dāng)h 0時(shí) cosh 1 -.所以如果 2 (0)存在,則必有 mo Hh 叫 Hh mo Hh mo 1 這就是說由f (0)存在能推出Iim h 0h2 但是由于當(dāng)h 0時(shí)，恒有 c0sh)存在. 1 c0sh 0 ，而不是u mo Hh cosh)存在只能推出f (0) Iim x f(x) x 存在，而不能推出 f (0) (2)當(dāng) h 0 時(shí)，1 ehh 0(h),于是 mo Hh 由于當(dāng)h eh)|im f(

5、h 0(h) f(0) h 0 0時(shí)，h 0(h)既能取正值，又能取負(fù)值 iim f( h 0(h)f(0) h 0 h 0(h) ,所以極限 lhm0 f( h 0(h) f(0)存在與 |im f(h) f(0) h 0 h 極限Iim - h 0h h 0(h) f(1 eh)存在與f (0)存在互相等價(jià). f (0)存在是互相等價(jià)的.因而 (3)當(dāng) h 0時(shí)，用洛比塔法則可以證明 mo Hh 1 6,所以 mo Hh 叫 Hh n s 精選文庫 21 由于h0,于是由極限lim f(h sinh)f(0)訕h sinh h 0h oinhh 0 h sinh h3 h存在未必推出 li

6、m 丄一sinh一f-(0)也存在，因而 f (0)未必存在. h 0- h si nh f(x)在點(diǎn)x 0可導(dǎo)一定有(D)存在，但(D) 存在不 f(x)在點(diǎn)x 2 例 4 (98203)函數(shù) f(X) (x (A)0(B)1 答案C 解題思路當(dāng)函數(shù)中出現(xiàn)絕對值號時(shí) 2) | x3 x|有() (C)2 個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) (D)3 零點(diǎn)是分段函數(shù)的分界點(diǎn).因此需要分別考察函數(shù)在點(diǎn) 存在性 解 ,不可導(dǎo)的點(diǎn)就有可能出現(xiàn)在函數(shù)的零點(diǎn) 1, X2 Xo0, X1 ,因?yàn)楹瘮?shù) 1考察導(dǎo)數(shù)的 f(x) 將f(X)寫成分段函數(shù) (x2 (x2 (x2 (x2 x (1)在Xo0附近, 2)x(1 2)x(x2

7、 2)x(1 2)x(x2 x2), 1), x2), 1), 1, x. 0, 1, f(x) (X2 X 2)|x3 x| x(x2 x(x2 X X 2)(x2 2)(1 1) ,X 0 X2) , X 0 容易得到 f (0) lim f(x) f(0) lim (X2 X 2)(x2 1) 2 X 0 X X 0 f (0) lim f(x) f(0) lim (X2 X 2)(1 X2) 2 X 0 X X 0 由于f (0) f (0),所以f (0)不存在. 在X1 1附近，f(x)寫成分段函數(shù)： f2 3 X(1 x)(x2 X 2)(1 X) , X 1 f(x) (X X

8、 2) | X x| X(1 x)(x2 X 2)(x 1) , X 1 f (1) lim f (X)f(1) lim x(1 x)(x： 2 X 2) 4 X 1 X 1 X 1 f (1) lim f(x) f(1) lim x(1 X)(X2X 2) 4 X 1 X 1 X 1 由于f (1) f (1),所以f (1)不存在. 在x2 1附近，f(x)寫成分段函數(shù) : z2 c 131 X(1 X)(x2 X 2)(x 1) ,x 1 f(x) (X X 2) | X x| X(1 x)(x X 2)(x 1) , X1 f (x)寫成分段函數(shù) 1) lim x 1 1) f(x)f

9、( 1) x 1 f(x)f( 1) x 1 lim x(x 1)(x2 x 1 x 2)0 lim x(x 1)(x2 x x 0 f ( 1)存在 lim x 1) 由于 綜合上述分析 1 f ( 1)0,所以 ,f (x)有兩個(gè)不可導(dǎo)的點(diǎn) 2) 0 例 5(95103) F(x)在 x 0處可導(dǎo)的( (A)必要但非充分條件 (C)充分且必要條件 答案C 分析 從F(x)在x 0的導(dǎo)數(shù)定義著手 F(x) 解 設(shè)f (x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)(x) f (x) ) (1 |sin x|),則 f(0)0是 (B)充分但非必要條件 (D)既非充分也非必要條件 (0) (0) f(x) 將 f

10、(x) |si n X | lim x 0 f(0) F(x) F(0) lim f(x) f(0) lim f (x) | sin x| f (0) |sin0| x 0 Mill x 0 x 0 Mill x 0 x 0 f (0) f(0) F(x) F(0) lim f(x) f(0) lim f (x) |sinx| f (0)|sin0| x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 (1 |si nx|) f(x) f (0) 于是推知F (0) F (0)的充分必要條件是 例 6 (92103)設(shè)函數(shù) f (x) 3x3 x2 n () (A)0 答案C 解題思路應(yīng)先去掉 f(0)

11、0. |x| ,則使 f (n)(0)存在的最高階數(shù) (B)1 (C)2 (D)3 f(x) 3x3 由 f(x) 3x (x) (x) 6x2 12x2 12x 24x (0) lim x 0 f (x)中的絕對值，將f (x)改寫為分段函數(shù) 0 0 x2|x| x2 |x| 2x3 4x3 2x3 4x3 f(0) x 0 (x) 12 24 f (0) lim X 0 所以f (0)存在. f (0) lim f X 0 f (0) lim f X 0 所以f (0)存在. f (0) lim f X 0 f (0) lim f 即 f x 0 f x 0 (X)f (0) x 0 (x

12、) f (0) (X)f (0) x 0 (X) f (0) x 0 )f(0) x 0 4x30 x 0 lim x 0 lim x 0 6x20 x 0 12x2 (0) 7 f (x) .12x 0 lim 12 x 0 x 0 .24x 0 lim 24 x 0 x 0 (0).因而使f(n)(0)存在的最高階數(shù)是2. 2 cos | X | X | X |存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等于( 0 答案C 2 解題思路 注意cos|x| cosx,所以只需考察x | x|在點(diǎn)x 0的情況. 例 8(96203)設(shè) 2 f (x) X，則 x (A)間斷點(diǎn)， (C)可導(dǎo)的點(diǎn), 答案 C 解由題目

13、條件易知 0, f(x)在區(qū)間( 0必是f(X)的( 且 f(0)0 f (0)0,因?yàn)?| f(x) X 所以由夾逼定理 于是f (0)0. 例 9 (87103)設(shè) f(x) (A)0 (B)1 ,)內(nèi)有定義，若當(dāng)x ( ) (B)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)， (D)可導(dǎo)的點(diǎn)，且f(0) f(0) | | f(x)| x f(X) f (0) x2 e ,)時(shí)，恒有 答案(C) x 0, 2 |J x 0,則 f (0)為() 0. (C)1 (D) 解題思路 因f(x)為分段函數(shù)，故它在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)按導(dǎo)數(shù)的定義, 又由于是0型 0 未定式，可用洛必達(dá)法則求極限 1 ex2 f(0) lim f

14、(x) f(0) X 0 當(dāng)u 0時(shí),eu 0 limx x 0 X 0 1與u是等價(jià)無窮小，所以當(dāng)X ,X2 r 1 e lim X 0 0時(shí),1 2 X X22 e 與X是等價(jià)無窮小.因而 X2 e 2 X 例 10 (88103) 1 設(shè)f (x)可導(dǎo)且f (X0)2 0時(shí)，f(x)在Xo處的微分dy與 x比較是( (A)等價(jià) 答案B 解題思路 的無窮小. (B)同階 (C)低階 (D)高階 根據(jù) 解 lim X dy 0 X lim X 0 f (x)在 1 -X 2 X x X0處的微分的定義：dy f(X0)x. 例 11 (87304) 函數(shù)f (x) 1 ,可知dy與 2 .1

15、 xsi n , X 0, x是同階的無窮小. 0 在 X 0 處( 0 (B)連續(xù)，不可導(dǎo) (D)不僅可導(dǎo),導(dǎo)數(shù)也連續(xù) (A)連續(xù)，且可導(dǎo) (C)不連續(xù) 答案B 解題思路一般來說，研究分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí)，應(yīng)當(dāng)分別考察函數(shù)的左右 極限；在具備連續(xù)性的條件下，為了研究分段函數(shù)在分界點(diǎn)處可導(dǎo)性，應(yīng)當(dāng)按照導(dǎo)數(shù)定義，或 者分別考察左右導(dǎo)數(shù)來判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在.因此，本題應(yīng)分兩步：(1) 討論連續(xù)性；(2)討論可導(dǎo)性. 解(1)討論函數(shù)在點(diǎn)X 0處的連續(xù)性 由于 IXm0 f (x) (2)討論函數(shù)在點(diǎn) 由于lim x 0 X lim xsin 0f (0),可知函數(shù)f (x

16、)在點(diǎn)x 0處是連續(xù)的. x 0 X X 0處的可導(dǎo)性 .1 C xsi n- 0 lim x X 0 f(0) 0 1 lim sin 不存在，所以，函數(shù)f (x)在點(diǎn) x 0 X x0處不可導(dǎo). 例12設(shè)f(X) xP .1 sin-, X x 0 ,x 在點(diǎn)x 0可導(dǎo)，但是f(X)導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x 0不連續(xù),則 p必須滿足( A 0 P 1 答案B 解題思路 (1)當(dāng)P 1時(shí)，下述極限不存在： limf(x) f(0) x 0 x 因此f (0)不存在. 當(dāng)p 1時(shí)， P .1 x sin limx x 0 x xmX 1 . 1 si n x limf(x) f(0) x 0 x 所以f (

17、0)0. 這就是說 當(dāng) P .1 x sin limx X 0 x xm0 xP sin10 x f (x) 當(dāng)且僅當(dāng) ，只有當(dāng)P P 1時(shí) 1時(shí),f (0)才存在，所以選項(xiàng) A,C可以被排除. 0 p 11 p px sin x x p 20 ,即 p ,x 2 1 COS, x 2 時(shí),lim f x 0 (x)0 f (0),所以當(dāng)且僅當(dāng)1 p 2時(shí), f (x)在點(diǎn)x 0可導(dǎo)，但是f(X)在點(diǎn)x 例13 (95403)設(shè)f(X)可導(dǎo)，且滿足條件 0不連續(xù) f(1)f(1 x) lim x 2x 1,則曲線y f (x)在 (1, f (1)處的切線斜率為( (A) 2, (B) 2,

18、(C)2, (D) 答案 解記 x,則有 lim f(1)f(1 x) x 0 2x f(1 u) f(1) u f (1) 例14 (A) (1 答案D 解題思路 高階導(dǎo)數(shù) 2 1 2x 2)( 2)( y(10) y ln(1 9! 2x)10 2x)，則 y(10) ( 9! (B)( (C) 10! 29 (1 2x)10 (D) 9!210 (1 2x)10 求高階導(dǎo)數(shù)的一般方法是：先求出一階、 1)( 2)( 1)( 2)爲(wèi) 1)( 2)( 2)(?畚 9! 210 (1 2x)10 二階、三階導(dǎo)數(shù) ;找出規(guī)律，即可寫出 f （X） ( )，(n 2). (A) n! fn 1(x

19、) (B)nf n1(x) (C) f2n (X)(D)n! f2n(x) 答案A 解題思路 這是一 個(gè)求高階導(dǎo)數(shù)的問題 ,涉及到求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解由f （X）有任意階導(dǎo)數(shù)且 f (X) 2 f (x),可知 f (X) f2(x) 2f(x) f (X) 2f(x) f2(x) 2f 3(x), f (X) 2f3(x)3 2f 2(x) f (X) 3f4(x) 依此由歸納法可知 f(n)(x) n!fn 1(x) 設(shè)函數(shù)f（X）有任意階導(dǎo)數(shù),且f（X） f 2（x）,則 例 17(90103) 1,n2時(shí)雖然（B）也正確,但當(dāng)n 2就不正確了 ,所以將（B）排除之； 注意當(dāng)n （2）

20、在求導(dǎo)數(shù) 2 2 f （x）時(shí)，可將函數(shù)f（X）看成是由y t2與t f（X）復(fù)合而成的， 則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，故 f2(x) (t2) f (X) 2t f（X） 2f(x) f(X). （初學(xué)者可能會這樣做 :f2(x) 2f（X） ,后面丟掉一個(gè)因子 f(X). 例 18(91303) a,b是常數(shù)，則( 0,b 3,b （A） a （C）a 答案D 解題思路 率也應(yīng)相等. 解曲線y k1 （x2 ax 若曲線 ） 2 1 2 X ax b和2y 1 xy 3在點(diǎn)（1, 1）處相切，其中 (B)a (D)a 1,b 1,b 兩曲線在某點(diǎn)相切就是指兩曲線在此公共點(diǎn)處共一條切線 ，從而

21、兩曲線的斜 ax b在點(diǎn)（1, 1）處的斜率是 b) 另一條曲線是由隱函數(shù) 數(shù)得到： 對于方程2y 處的斜率為 k2y 1 (2x 2y 1 a) X 1 3 xy 確定，該曲線在點(diǎn) （1, 1）處的斜率可以由隱函數(shù)求導(dǎo) 3 xy兩邊求導(dǎo)得到 2 3xy X 2y C 2 3xy y 3 y，解出 y得到此曲線在點(diǎn)（1, 1) 令k1 b 例 k2，立即得到 1. 19 y 1.再將a 1,x 1,y 1代入y X2 ax b中得出 f(x) 設(shè)f (x),g(x)定義 X 0 ，則( 0 0且 g(0)0, 1且 g(0)0 (A)IXm0g(x) (C)lXm0g(x) 1,1)， 且都在

22、 0處連續(xù)， lim0g(x) 0且g(0) X 0 (D)lim0g(x) 0 且 g(0) X u 答案D 解題思路 解既然 X叫g(shù)(x) 分析函數(shù)f (X)的表達(dá)式，并運(yùn)用f(X)在X 0處連續(xù)這一關(guān)鍵條件. 0處連續(xù)，于是必有l(wèi)im f (x) lim g兇 2 ,于是必有 X 0 X 0 X limW 2. x 0 X f(X)在 x 0 .于是又有 (0) lim g(x) g(0) X 0 例20 (99103)設(shè) f(x) 1 cosx x2g(x) 0其中g(shù) (X)是有界函數(shù)，則f (X)在X 0 ) (A) (C) D 極限不存在 連續(xù),但不可導(dǎo) (B) (D) 極限存在，但不連續(xù) 可導(dǎo) 答案 解題思路 解 若能首先判定 f(X)在 X 0處可導(dǎo)，則(A)、 (B)、 (C)均可被排除. (0) f(x) f(0) X 0 1 cosx lim 3 X 03 X空 2 X 2 3 X2 1 lim X 02 2 X 3) f(x