2003真題及解析

1、2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題：本題共 6小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上若 X = 0, 若 X = 0,其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是了 1 設(shè) f(xr x cosx，丨0,3 2 2 2 已知曲線y = x -3a x b與x軸相切，則b可以通過(guò)a表示為b二設(shè)a0，f (x) =g(x) =a，若管x蘭1,而D表示全平面，則 少，其他，I = f (x)g(y x)dxdy= .D設(shè)n維向量=(a,0,，O,a)T,a ：0 ； E為n階單位矩陣，矩陣 A二E -T1B = ET，其中A的逆矩陣為B，則a二 .a 設(shè)隨機(jī)變量X和丫

2、的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z = X - 0.4，則丫與Z的相關(guān)系數(shù)為(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，XX2，,Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則當(dāng)nr :時(shí),Yn =丄X；依概率收斂于n y、選擇題：本題共 6小題，每小題4分，共24分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且(A)在X =0處左極限不存在.(C)在x = 0處右極限不存在.f (x)f (0)存在，則函數(shù)g(x)(x(B)有跳躍間斷點(diǎn)X=0.(D)有可去間斷點(diǎn)X=0. 設(shè)可微函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0)取得極小值，則下列結(jié)論正確

3、的是 ()(A) f(x,y)在y二y。處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)f(x,y)在y二y。處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C) f(X0,y)在y二y處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D) f(x,y)在y二y處的導(dǎo)數(shù)不存在(3)設(shè) Pnqna. Ta.n =1,2，則下列命題正確的是(A)若V an條件收斂，則7 Pn與7 qn都收斂ngn 4nJ(B)若7 an絕對(duì)收斂，則V Pn與V qn都收斂ngnAnJa=b(C)若7 an條件收斂，則v Pn與v qn斂散性都不定n =1n =1n=joOqOoO(D)若7 an絕對(duì)收斂，則7 Pn與7 qn斂散性都不定n n 4n/a b b (4)設(shè)三階矩陣A =b a b，若A

4、的伴隨矩陣的秩為i，則必有()ib b a(A) a = b或 a +2b = 0.(B) a = b 或 a + 2b h 0.(C) ab且a+2b=0.(D) a 式b且 a + 2b0. 設(shè)1, 2,s均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是()(A) 若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)ki,k2/ ,ks，都有kv i - kz* kss = O,則1,2，s線性無(wú)關(guān)(B) 若1,2,，亠線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)ki,k2,，ks，都有ki： i k2： 2ks： s =0.(C) ：i/2/ / s線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D) i2,s線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩

5、個(gè)向量線性無(wú)關(guān)(6)將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：Ai=擲第一次出現(xiàn)正面，A2=擲第二次出現(xiàn)正面，A3 =正、反面各出現(xiàn)一次，A4=正面出現(xiàn)兩次，則事件(A)Ai, A2, A3相互獨(dú)立.(B)A2 , As, A4相互獨(dú)立.(C)Ai, A, A3兩兩獨(dú)立.(D)A2, Ag,A4兩兩獨(dú)立.、(本題滿(mǎn)分8分)1111i設(shè)f(x)二丄 丄丄，X丄,1),試補(bǔ)充定義f(1)使得f(x)在-,1上連nx sinx 兀(1x)22四、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)f (u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足 J1 2 2:-V ，又g（x,八f 匹（x -小-2 2 求3二g 2 2x jy五、(本題滿(mǎn)分8分)

6、 計(jì)算二重積分I 二 e_二）ss（%2 . y2）dxdy.D其中積分區(qū)域 D =( x, y)x2y2玄恵.六、(本題滿(mǎn)分9分)2n求幕級(jí)數(shù)1 7 (_1)n J(x :：: 1)的和函數(shù)f (x)及其極值nm 2n七、(本題滿(mǎn)分9分)設(shè)F(x) = f (x)g(x),其中函數(shù)f (x),g(x)在(：)內(nèi)滿(mǎn)足以下條件：f (x) =g(x)，g(x)=f(x)，且 f(0) =0, f (x) g(x) = 2ex.(1)求F(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程；(2)求出F(x)的表達(dá)式.八、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)函數(shù) f (x)在0，3上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)f(1)f(2) =

7、3, f (3)=1 .試證：必存在：(0,3)，使f ( J = 0.九、(本題滿(mǎn)分13分)已知齊次線性方程組(ai +b)% +a2x2 +a3x3 十 +anxn =0,qxi +(a2 +b)X2 +a3X3 + +anXn =0, qxi +a2X2 +(a3 +b)X3 十 +anXn =0,qxia2X2 a3X3 川川 b)Xn = 0,n其中v ai =0.試討論aa?,，a.和b滿(mǎn)足何種關(guān)系時(shí)，i 4(1) 方程組僅有零解；(2) 方程組有非零解在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系十、(本題滿(mǎn)分13分)設(shè)二次型 f ，x2 ,x3) = X T AX 二 ax； 2x；-

8、2x；2bXrX3(b 0)，中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12.(1) 求a,b的值；(2) 利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣、(本題滿(mǎn)分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1,若 x 1,8,f心嚴(yán)$其他；F(X)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù)十二、(本題滿(mǎn)分13分)設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為r 120.3 0.7)而Y的概率密度為f (y)，求隨機(jī)變量U二X Y的概率密度g(u).2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(1)【答案】，2【分析】無(wú)窮小量乘以有界函數(shù)的極限仍是無(wú)窮小量【

9、詳解】，是參變量，x是函數(shù)f(x)的自變量f (0) =lim 也 空=lim x =lim x cos- =0，Mx _0T x Tx要使該式成立，必須limx=0,即，.1.當(dāng) x (一二,0) U(0,=)時(shí),1 1 2 1 f (x) = x 一 cos x sin xx要使f(X)=0在x =0處連續(xù)，由函數(shù)連續(xù)的定義應(yīng)有l(wèi)im f (x) =limx_Qx 01 cos-f (x) =0由該式得出 2.所以f (x)在x二0處右連續(xù)的充要條件是，2 .【答案】4a6【詳解】設(shè)曲線與 x軸相切的切點(diǎn)為(Xo,0)，則y=0.而y = 3x2x空0又在此點(diǎn)y坐標(biāo)為0(切點(diǎn)在x軸上)，于

10、是有 3a2xo b =0，故b x3 -3a2x =Xo(x0 -3a2),所以b2 = x；2 -x；)2 二 a2 4a4 =4a6.2【答案】a【詳解】本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)0乞x乞1,0乞y - x乞1時(shí),則二重積分只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分商積分即可， 需在滿(mǎn)足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.1 x 12I = JJf (x)g(y _x)dxdy= JJ a dxdy = a J0dx( dy =aD0空勺0 Dm-3a2，有 3x02 =3a2被積函數(shù)才不為零，因此實(shí)際上只；(x 1) -xdx = a2【答案】-1【詳解】這里： T為n階矩陣，而T2用乘

11、法的結(jié)合律即可.由題設(shè)，有1AB =(E - ： : t)(E -:- =2a為數(shù)，直接通過(guò) AB = E進(jìn)行計(jì)算并注意利1 T T- aaa1 TT2a：a-1.已知 a . 0，故 a - -1 .TT 1 T)=E -：aaT 1 T 1/ T TT=E( p = E -a a二 E (-1 -2a1 2于是有_1 一 2a 0，即2a2 a -1 = 0 ,解得 a【答案】0.9.【詳解】利用方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)D(X a DX , Cov(X,Y - a)二Cov(X,Y)，又因?yàn)閆僅是X減去一個(gè)常數(shù)，故方差不會(huì)變，Z與Y的協(xié)方差也不會(huì)變，因此相關(guān)系數(shù)也不會(huì)變.Cov(Y,Z) =C

12、ov(Y, X -0.4) =E(Y(X -0.4) - E(Y)E(X - 0.4)二 E(XY)-0.4E(Y)-E(Y)E(X) 0.4E(Y)二 E(XY) -E(Y)E(X)二Cov(X,Y),且 D Z 二D X .又Cov(Y,Z)二Cov(X,Y)，所以Cov(Y,Z).D 丫 ；D ZCov(X,Y)D X DY= 0.9.1【答案】一.2【分析】本題考查大數(shù)定律：一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量X1,X2/ ,Xn ,當(dāng)方差一致有界時(shí)，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值：1 p 1Xi EXi( n：)n i mn i 壬【詳解】本題中x2,x；，,x

13、2滿(mǎn)足大數(shù)定律的條件，且2EX - DX i (EXj )2 =寸 g)21 ni n1因此根據(jù)大數(shù)定律有 Yn = - Z X：依概率收斂于一送E (X：)= .n yn i二2二、選擇題(1)【答案】(D)【詳解】方法1:直接法：由f(X)為奇函數(shù)知，f(0)=0 ；又由g(x)二丄兇，知g(x)在Xx =0處沒(méi)定義，顯然 x =0為g(x)的間斷點(diǎn)，為了討論函數(shù) g(x)的連續(xù)性，求函數(shù)f (x) - f (0)導(dǎo)數(shù)的定義f (0)存在,g(x)在X； 0的極限.lim g(x) =lim 丄=limx_0x -0 xx 0故x=0為可去間斷點(diǎn).方法2:間接法：取f(x)二x，此時(shí) g(

14、x)=-=x”1,xh 0,0, x = 0,可排除(A) (B) (C)三項(xiàng).【答案】(A)【詳解】由函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)(xo，y。)處可微，知函數(shù)f (x,y)在點(diǎn)(x。)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 都存在，又由二元函數(shù)極值的必要條件即得f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都等于零.從而有df(xg,y)fcdyly =y0 l(x,y)冷，丫0)選項(xiàng)(A)正確.【答案】(B)【詳解】由pnan +|anan|an|c-，知7 pn與v -qn都收斂，后者n dnToOod若近an絕對(duì)收斂，則瓦I an收斂再由比較判別法,n Tn壬與x qn僅差一個(gè)系數(shù)，故n=1qQx qn也收斂，

15、選(B).n =1(4)【答案】(C)【分析】A的伴隨矩陣的秩為1,說(shuō)明A的秩為2,由此可確定a,b應(yīng)滿(mǎn)足的條件.【詳解】方法1:根據(jù)A與其伴隨矩陣 A”秩之間的關(guān)系r A = nr A 二 n -1r A :： n -1abb1bb1bbA=bab= (a+2b)1ab= (a+2b)0a b0bba1ba00a-b知秩(A)=2，它的秩小于它的列數(shù)或者行數(shù),故有=(a 2b)(a -b)2 = 0有 a 2b 二 0或 a = b.當(dāng)a二b時(shí)，bbl00b000b顯然秩A =12 ,故必有a = b且a 2b = 0 應(yīng)選(C) bab - aa babb ba bb a當(dāng)a二b時(shí)，從矩陣

16、中可以看到A的秩為1,與秩 Ai； = 2，不合題意(排除(A)、(B)a 2bb -ab _a0bl0_1故 a 2b =0,且a b時(shí)，秩(A )=2，故應(yīng)選.方法2：根據(jù)A與其伴隨矩陣 A5*秩之間的關(guān)系，r(A* )=1, 2,，s必線性無(wú)關(guān)因?yàn)槿魊,2,i,s線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)ki,k2,，ks,使得& k2：2ks：s =，矛盾. 可見(jiàn)(A)成立.(B) ：若冷，：2，s線性相關(guān)，則存在一組(而不是對(duì)任意一組不全為零的)數(shù)ki,k2/ ,ks，都有 ki： i k2： 2ks： s = . (B)不成立.(C) 1,2,i,s線性無(wú)關(guān)，則此向量組的秩為 s ；反過(guò)來(lái)，

17、若向量組1,2,s的 秩為s，則：i/-2 / s線性無(wú)關(guān)，因此(C)成立.(D) i,2,i,s線性無(wú)關(guān)，則其任一部分組線性無(wú)關(guān)， 則其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，可見(jiàn)(D)也成立.綜上所述，應(yīng)選(B).【評(píng)注】 原命題與其逆否命題是等價(jià)的.例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)kih, ,ks，使得k k22* ks =成立，則,2,，亠線性相關(guān).其逆否命題為：若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù) k1,k2/ ,ks，都有kv1 k22川川kss = , 則1,2,，s線性無(wú)關(guān). 在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價(jià)性.【答案】C【分析】 A, B兩事件相互獨(dú)立的充要條件：PABP

18、A?PBl(2) A,B,C三事件相互獨(dú)立的充要條件：(i) A, B,C 兩兩相互獨(dú)立；(ii) PABC -P、B? PC【詳解】方法1:因?yàn)橼喙?1, PA? =- , PA；，且22241111pA-, pa2a3=1 , paaJ-o,4444可見(jiàn)有卩人人=卩人卩人,卩認(rèn)人人卩卩認(rèn), paa= paJpW,PAA2A3）式PAPA2PA, PAAj 式卩人卩傀.故Al, A2, A3兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立；A2,A3,Aa不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立，應(yīng)選(C).方法2:由三事件相互獨(dú)立的定義可知：相互獨(dú)立必兩兩獨(dú)立；反之，兩兩獨(dú)立不一定相互 獨(dú)立.可見(jiàn)(A)不正確，因?yàn)槿绻_，則(C)也

19、正確，但正確答案不能有兩個(gè)；同理，(B)也不正確.因此只要檢查(C)和(D)111 卩丫人人代.; = p , ； o = pA p A p A2 4 4故(D)錯(cuò)，應(yīng)選(C).1三【詳解】為使函數(shù)f(x)在丄,1上連續(xù)，只需求出函數(shù)f(x)在x=1的左極限lim f(x),2J1_然后定義f (1)為此極限值即可.lim f （x）二 lim 11x 1 -x_1-廡 x sin 二 x 二（1 一 x）xl 理（1 一 x）sin 二 xlim1 丄 lim 二（1-x）-sirv：x二x_lsin 二 x 二（1-x） 二令u =1 -x，則當(dāng)X； 1-時(shí)，U； 0 ，所以1兀u -si

20、n 兀（1 一u）lim f （x） lim1二 u -sin 二(1 -u)=二u吧肓莎x 1 0 二 usin 二（1 -u）1 二 u-sin 二（1-u） lim二 cos二 u-cos二 sin 二 u） 二 u q 二 u sin 二 u等丄lim -u 0二-血弋-洛1 lim -u7二 2u2門(mén) Z cos：(1-u)2二 2u丄0=1JTJI二丄二 f（1）, f（x）在 x =1 處連續(xù).又 f （x）在-,1）兀22洛丄伽-二sinpu）u e 1定義f (1) ，從而有l(wèi)im f (x)H7 一1 上連續(xù)，所以f(x)在,1上連續(xù).四【詳解】由復(fù)合函數(shù)z = f“x,y

21、）（x,y）的求導(dǎo)法則，得:丄/勺 12 2以 I f xf.LL、/-h.LJ j.l、:x:u ;x :v :x:u:v從而g _ f ：(xy):y:u:y：1(x2 y2)=X ；:uff-y .；：vXx蘭y 二v=y2 耳 2xy J x2-|.:v；:u2譏 v；:v2e2gPcf用 f1 汙rfe2f1=X 可 x- .y_y.X2 討cy_du印 cvcvucvcv2 ；：2f2f 2f；：f二x 22xy y 2.U:u :v:v:v.2.2.2 2 2 2-g：-g 22 T 22 T 22 f ； T 22所以22 =(x y )耳 (x y )耳=(x y )( )

22、= x y .:x:y；:ujv；:u ：v五【詳解】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.作極坐標(biāo)變換：設(shè) x =rcos,y二rsinr，有I = e*2 y _;)sin(x2 y2)dxdy = e I le y ) sin(x2 y2)dxdye0dJI2 Io-eDDrdr =e dsin r2dr2 = e i esintdt.2 s %因此JIA =記AJI31 JIeasin tdt= ed cost = - cost +eu costdt-1edsin-esintji _n0 0-e4 sintdt = e_1 - A.殲31仃2 (1 e一 匕(1 e ).

23、: e六【分析】(1)和函數(shù)一般經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q后，考慮對(duì)其逐項(xiàng)求積分后求和，再求導(dǎo)即 可得和函數(shù)；或者先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)本題可直接采用后者.(2)等比級(jí)數(shù)求和公式00 1二 xn =1 X X2 川 xn(一1 :： X ：1)n=S1 _ X00x2n【詳解】先對(duì)和函數(shù)f(X)=1 V (-1)n 求導(dǎo)n =2noCn 2 n Jf (x)二為(-1) Xn =1X (一1)n =1oOn 2n 2n 2nX 一二-X (-1) Xnd一X】(一X2)nn衛(wèi)1-_X 1 X2-X21 X對(duì)上式兩邊從0到x積分XX t0f(t)dt-0f (x) 一 f (0) = 一1

24、 n(1 x2)由 f (0) =1 ,得f (x) =1 丄1 n(1 x2)2(x )為了求極值，對(duì)f (x)求一階導(dǎo)數(shù),1 f(X)七2x1 x2-X1x2令f (x) = 0，求得唯一駐點(diǎn)X = 0 由于f(xr -x22 2 ?(1 x )f (0) 1 :： 0且極大值為f (0) = 1 由極值的第二充分條件，得f(x)在X = 0處取得極大值,七【分析】題目要求F(x)所滿(mǎn)足的微分方程，而微分方程中含有其導(dǎo)函數(shù)，自然想到對(duì)F(x) 求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程即可.【詳解】(1)方法1：由F(x)二f (x)g(x)，有F

25、 (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) = g2(x) f 2(x)2x 2= f(x)g(x) -2f(x)g(x) = (2e ) -2F(x)可見(jiàn)F(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程為F (x)2F(x) =4e2x.相應(yīng)的初始條件為 F (0) = f (0) g(0) =0 方法 2：由 F(x)二 f(x)g(x)，有F (x)二 f (x)g(x) f (x)g (x)=f (x)2 g (x)2珂 f (x) g (x)2 -2f (x)g (x)又由 f (x) g(x) =2ex.有 f (x) g (x) =2ex , f (x) =g(x) , g (x) =

26、f (x),于是 F (x) =4e2x _2f (x)g(x) =4e2x _2F(x)可見(jiàn)F(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程為2xF (x)2F(x) =4e .相應(yīng)的初始條件為 F(0) = f(0)g(0) =0(2)題(1)得到F(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程，求F(x)的表達(dá)式只需解一階微分方程.又dx/P(x)dx! Q(x) e dx一階線性非齊次微分方程dy - P(x)y =Q(x)的通解為(x)dx所以 F (x) = e 4e2x e dx C = ex 4e4xdx C =e2x Ce x.將F(0)=0代入上式，得0=1C,C=1.所以 F(x)二e2x -e2x八【分析】題

27、目要證存在(0,3),使得其一階導(dǎo)數(shù)為零， 自然想到用羅爾定理.而羅爾定理要求函數(shù)在某閉區(qū)間連續(xù)， 且端點(diǎn)處函數(shù)值相等. 題目中已知f(3)=1，只需要再證明存 在一點(diǎn)0,3)，使得f(c) =1二f(3)，然后在c,3上應(yīng)用羅爾定理即可.條件f (0) f(1) f (2) =3等價(jià)于f()f f=1 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最 3值之間，最終用介值定理可以達(dá)到目的.【詳解】方法1:因?yàn)閒(x)在0, 3 上連續(xù)，所以f(x)在0, 2上連續(xù)，則在0 , 2上必有最大值M和最小值m (連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理)，于是m 乞 f (0)空 M , m f (1) M , m f (2)空

28、M三式相加3m乞f (0) f (1) f乞3M.從而m0尸(1)f(羅M.從而由介值定理知，至少存在一點(diǎn)0,2，使3因?yàn)閒(c)二f (3) =1 ,且f (x)在c,3上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理知,必存在匚三(c,3)(0,3)，使f ( ) =0.方法2:由于f(0) f (1 f (2 3，如果f(0), f(1), f (2)中至少有一個(gè)等于1,例如f(2) -1，則在區(qū)間2, 3上對(duì)f(x)使用羅爾定理知，存在(0, 2)(0, 3使f ( 0.如果f (0), f(1), f (2)中沒(méi)有一個(gè)等于1，那么它們不可能全大于1,也不可能全小于1 即至少有一個(gè)大于1，至少有

29、一個(gè)小于 1，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在區(qū)間(0, 2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使f( )=1.在區(qū)間,3對(duì)f (x)用羅爾定理知，存在(,3)(0,3)，使 f ( ) = 0.證畢.九【分析】方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計(jì)算具有明顯的特征：所有行對(duì)應(yīng)元素相加后相等可先將所有行對(duì)應(yīng)元素相加， 然后提出公因式，再將第一行的 (-1)倍加到其余各行，即可計(jì)算出行列式的值.【詳解】方程組的系數(shù)行列式a1ba2a?a.a1a19a1a2 +ba3ana21a3 +b aaanaa2a3an +bnb二 aia2HIani呂nb aia2 baHIa.i壬nb

30、aia2a3 ba.i =4 nb+瓦 aia2aHI abiTn=(b ai)i =1a2a3IHana2 +ba3IHana22abIH1ana29a34IH1an +b1a2asIHann0b0川0= （b+遲 a）00b川0i=1+r*+F!000IHbnn= bn（b 亠二 aj.7(1) 當(dāng)A式0 ,即卩b式0且b +瓦ai式0時(shí)，秩(A ) = n，方程組僅有零解.i丄(2) 當(dāng)b = 0時(shí)，A = 0，原方程組的同解方程組為a1x1 - a2x2 訐：卜anxn = 0.n由v ai =0可知，ai(i =1,2/ , n)不全為零.不妨設(shè)印=0，得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系i 4

31、a 2ta?ta“ta1ai：1 =（一二,1,0,0）T , : 2 =（-,0,1,_ ,0）T，:n =（-,0,0廠，1）T. a1a1aiaiaiA =0.這時(shí)b式0,原方程組的系數(shù)矩陣可化為a2asIIIanna?二.ai=1a2asasana2n-zi咼asaiIIIIIIananaii=i將第1行的(-1)倍 加至苴余各行 ，na-二i =1n、aii =1n7 aii da2asIIIan 1n八aii =1n八aii =1IIIIIIIIInai將第i行的（-aj倍加到第1行，由此得原方程組的同解方程組為7 xn 二X1X2 = Xi， X3 = X1，原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解

32、系為（1,1, ,1）T.n, 1日1 Z aa2a3IIIani 二-110III 0-101III 0+-110卜04III 1 一0001*101-1+190HI0+-1900III+0從第2行到第n行 同乘以_L倍7 aiL-1 0 0川1十【分析】 特征值之和等于 A的主對(duì)角線上元素之和，特征值之積等于A的行列式，由此可求出a,b的值；進(jìn)一步求出 A的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣._a【詳解】（1）二次型f的矩陣為A= 00 b20 設(shè)A的特征值為 人（i =1,2,3）,由題設(shè)得0 -21

33、2 3 二 an a22 a33 二 a 2 (一2) =1 ,a 0 b人入2打耳 A|= 020 =4a2b2 = 12.b 0-2解得 a =1,b - -2 .丸一10-2九E - A=0九20-20九+ 2得矩陣A的特征值1 =九2=2,入3=3.（2）求矩陣A的特征值,- 2 - ,=(-2)(3) =0,1 0 -2對(duì)于扎=2,解齊次線性方程組(2E-A)x= 0 ,系數(shù)矩陣為00 0 ，得-2 04基礎(chǔ)解系i =(2,0,1)T ,2=(0,1,0)T.4 0-2對(duì)于、？=)，解齊次線性方程組(-3E - A)x = 0 ,系數(shù)矩陣為 0-5 0 ，得-2 0-1基礎(chǔ)解系3 =(1,0,-2)1由于, 2, 3已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將1, 2, 3單位化，由此得廿21t口1珂5,0,)(0,1,0)T，n3=(鼻，0,45)t.v5 V 5令矩陣3匸一 2騎I 01102則Q為正交矩陣.在正交變換X = QY下，有2 0 0QTAQ = 0 200 0_3 一且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f =2y： 2y； -3y|.【評(píng)注】本題求a,b也可先計(jì)算特征多項(xiàng)式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定:二次型f的矩陣A對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式為E -A九 一 a 0- b0&_20=(&_2)丸 2_(a_2)九 _(2a+b2).-b 0九+2設(shè)A的特征值為 d，23，則r