北師大版_七年級(jí)上_第三章_整式及其加減_經(jīng)典學(xué)案_知識(shí)總結(jié)+例題解析

1、第三章整式及其加減知識(shí)點(diǎn)一、字母表示數(shù)1、字母可以表示任何數(shù)，用字母表示數(shù)的運(yùn)算律和公式法則；加法交換律 a+b =b + a加法結(jié)合律 a+ b+ c = a+ ( b+ c)乘法交換律 ab= ba乘法結(jié)合律(ab) c= a (bc)乘法分配律 a (b + c) = ab+ ac用字母表示計(jì)算公式：cd長(zhǎng)方形白周長(zhǎng)2 (a+b)，面積ab_ (a、b分別為長(zhǎng)、寬)正方形的周長(zhǎng)4a,面積a2 (a表示邊長(zhǎng))長(zhǎng)方體白體積abc,表面積2ab + 2bc + 2ac (a、b、c分別為長(zhǎng)、寬、高)正方體的體積a3,表面積6_a2 (a表示棱長(zhǎng))圓的周長(zhǎng)2工,面積 工2,(為半徑)1)二角形的

2、面積 32ah (a表布底邊長(zhǎng)，h表木底邊上的局)2、在同一問(wèn)題中，同一字母只能表示同一數(shù)量，不同的數(shù)量要用不同的字母表示。3、用字母表示實(shí)際問(wèn)題中某一數(shù)量時(shí)，字母的取值必須使這個(gè)問(wèn)題有意義，并且符合實(shí)際。4、注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范：(1)表示數(shù)與字母或字母與字母相乘時(shí)乘號(hào)，乘號(hào)可以寫(xiě)成“但通常省略不寫(xiě)；數(shù)字與數(shù)字相乘必須寫(xiě)乘號(hào);(2)數(shù)和字母相乘時(shí)，數(shù)字應(yīng)寫(xiě)在字母前面；(3)帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)；(4)除法運(yùn)算寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，分?jǐn)?shù)線具“ 一 ”號(hào)和 括號(hào)”的雙重作用。(5)在代數(shù)式的運(yùn)算結(jié)果中，如有單位時(shí)，結(jié)果是積或商直接寫(xiě)單位；結(jié)果是和差加括號(hào)后再寫(xiě)單位。典型例題：m千克，再

3、從中截取 5米長(zhǎng)的鋼筋,例題1.有一大捆粗細(xì)均勻的鋼筋，現(xiàn)要確定其長(zhǎng)度，先稱(chēng)出這捆鋼筋的總質(zhì)量為稱(chēng)出它的質(zhì)量為n千克，那么這捆鋼筋的總長(zhǎng)度為( )米a、b、mn5m5d、5m (n-5)例題2 .用代數(shù)式表示“ 2aw 3的差”為()a. 2a 3 b. 3 2a c. 2 (a 3) d, 2 (3a)_例題3.如圖131,軸上點(diǎn)a所表示的是實(shí)數(shù)a,則到原點(diǎn)的距離是()霍圖 1-3-1a、a b. - ac. a d. - |a|a、4 b、3練習(xí)：c、2 d、11、溫度由tc下降3 c后是 c.2、飛機(jī)每小時(shí)飛行a千米，火車(chē)每小時(shí)行駛 b千米，飛機(jī)的速度是火車(chē)速度的 倍.3、無(wú)論a取什么數(shù)

4、，下列算式中有意義的是（）1111a. b.c. a 1d.a 1a22a 14、全班同學(xué)排成長(zhǎng)方形長(zhǎng)隊(duì)，每排的同學(xué)數(shù)為a,排數(shù)比每排同學(xué)數(shù)的 3倍還多2,那么全班同學(xué)數(shù)為（）a. a 3a 2 b. a（3a 2） c. a 3a 2 d. 3a（a 2）5、輪船在 a、b兩地間航行，水流速度為 m千米/時(shí)，船在靜水中的速度為n千米/時(shí)，則輪船逆流航行的速度為 千米/時(shí)6、甲、乙、丙三家超市為了促銷(xiāo)一種定價(jià)均為x元的商品，甲超市連續(xù)兩次降價(jià)20%,乙超市一次性降價(jià) 40%,丙超市第一次降價(jià)30% ,第二次降價(jià)10%,此時(shí)顧客要想購(gòu)買(mǎi)這種商品最劃算，應(yīng)到的超市是（）（a）甲（b）乙（c）丙（d

5、）乙或丙7、下列說(shuō)法中：或2,其中正確的序號(hào)是8、設(shè)三個(gè)連續(xù)整數(shù)的中間一個(gè)數(shù)是9、設(shè)三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的中間一個(gè)數(shù)是10、設(shè)n為自然數(shù)，則奇數(shù)表示為a一定是負(fù)數(shù)；|a|一定是正數(shù)；若 abc 0 ,則a、b、c三個(gè)有理數(shù)中負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是n，則它們?nèi)齻€(gè)數(shù)的和是x，則它們?nèi)齻€(gè)數(shù)的和是一被4除余3的數(shù)為一偶數(shù)表示為一能被5整除的數(shù)為、代數(shù)式1、代數(shù)式：用基本運(yùn)算符號(hào)秒數(shù)和字母連接而成的式子叫代數(shù)式。如：n-2、0.8a、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac（單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式）注意：列代數(shù)式時(shí)，數(shù)字與字母、字母與字母相乘，乘號(hào)通常用表示或省略不寫(xiě)，并且把數(shù)字寫(xiě)在字母的前面，除法運(yùn)算

6、通常寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式。例：下列不是代數(shù)式的是（）s2a. 0 b. - c. x 1 d. x 0,1y t2、單項(xiàng)式：表示數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。其中的數(shù)字因數(shù)（連同符號(hào)） 叫單項(xiàng)式的系數(shù)，所有的字母的指數(shù)的和叫單項(xiàng)式的次數(shù)。注意：書(shū)寫(xiě)時(shí)，系數(shù)是1的時(shí)候可省略；是數(shù)字，不是字母。2212例：ab的系數(shù)是；如 x的系數(shù)是；如 2 x的系數(shù)是；3、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。每個(gè)單項(xiàng)式稱(chēng)為項(xiàng)。例：代數(shù)式5x y x2 x 1有 項(xiàng)，第二項(xiàng)的系數(shù)是 ,第三項(xiàng)的系數(shù)是 ,第四項(xiàng)的系數(shù)是 4、單項(xiàng)式多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式0練習(xí)：1

7、、某商品售價(jià)為a元，打八折后又降價(jià) 20元，則現(xiàn)價(jià)為 元2、橘子每千克a元，買(mǎi)10 kg以上可享受九折優(yōu)惠，則買(mǎi) 20千克應(yīng)付 元錢(qián).3、如圖，圖1需4根火柴，圖2需 根火柴，圖3需 根火柴，圖n需 根火柴。（圖1）（圖2）（圖n）4、溫度由tc下降3 c后是 c.5、飛機(jī)每小時(shí)飛行 a千米，火車(chē)每小時(shí)行駛 b千米，飛機(jī)的速度是火車(chē)速度的 倍.6、無(wú)論a取什么數(shù)，下列算式中有意義的是（）1111a. b.c. a 1d.13倍還多2 ,那么全班同學(xué)數(shù)為（）3a（a 2）7、全班同學(xué)排成長(zhǎng)方形長(zhǎng)隊(duì)，每排的同學(xué)數(shù)為a,2a排數(shù)比每排同學(xué)數(shù)的a. a 3a 2b. a(3a 2)c. a 3a 2d

8、.28、填空 的系數(shù)為，次數(shù)為：3a 2b2的次數(shù)為；ab2的系數(shù)是；x2的系31 數(shù)是;- x2的系數(shù)是 ；代數(shù)式5x y x2 x 1有 項(xiàng)，第二項(xiàng)的系數(shù)是 ,第三項(xiàng)的系數(shù)是 ,第四項(xiàng)的系數(shù)是 9、下列不是代數(shù)式的是（）s-2a. 0 b. - c. x 1 d. x 0,1y t三、合并同類(lèi)項(xiàng)1.同類(lèi)項(xiàng)：所含字母相同： 并目相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)。注意：兩個(gè)相同:字母相同；相同字母的指數(shù) 相同.兩個(gè)無(wú)關(guān)：與系數(shù)無(wú)關(guān)；與字母順序無(wú)關(guān)如：100a 和 200a , 240b 和 60b , -2ab 和 10ba2、合并同類(lèi)項(xiàng)法則：（1）寫(xiě)出代數(shù)式的每一項(xiàng)連同符號(hào)，在其中找出同類(lèi)

9、項(xiàng)的項(xiàng)；（2）合并同類(lèi)項(xiàng)：同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.（3）不同種的同類(lèi)項(xiàng)間，用“+i連接（4）沒(méi)有同類(lèi)項(xiàng)的項(xiàng)，連同前面的符號(hào)一起照抄如：合并同類(lèi)項(xiàng)3x 2y和5x 2y ,字母x、y及x、y的指數(shù)都不變，？只要將它們的系數(shù) 3和5相加，即3x 2y+5x 2y=（3+5） x2y=8x 2y.3 .合并同類(lèi)項(xiàng)的步驟：（1）準(zhǔn)確的找出同類(lèi)項(xiàng) （2）運(yùn)用加法交換律：招同類(lèi)項(xiàng)交換位置后結(jié)合在一起（3）利用法則：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變（4）寫(xiě)出合并后的結(jié)果4 .汴竟：（1）不杲同類(lèi)項(xiàng)不能合并（2） 求代數(shù)式的侑時(shí)，如果代數(shù)式中含有同類(lèi)項(xiàng) ，通常先合并

10、同類(lèi)項(xiàng)再代入數(shù)侑講 行計(jì)算.10例1.判斷下列各組中的兩個(gè)項(xiàng)是不是同類(lèi)項(xiàng):(1) a2b n- a2 b(2) 2m2np 和-pm2n371o r 1 o例2.下列各組中：5x2y與xy； 5乂2丫與丫乂2；55（3） 0 和-11。一。一5ax與一 yx ；8與x ；5x2與12x2；3x2與x3x2與2,同類(lèi)項(xiàng)有（填序號(hào)）例3.如果1 xky與一lx2y是同類(lèi)項(xiàng)，則 33例4.直接寫(xiě)出下列各式的結(jié)果：k=3xky+ (-)=(1) - xy+ xy=2 1 21(4) x2y - x2y- - x2y=(2) 7a2b+2a2b=;(3) -x-3x+2x=(5) 3xy 2-7xy 2

11、例5 .合并下列多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng).(1)4x .y-8xy 2+7-4x 2y+10xy 2-4 ;(2) a2-2ab+b 2+a2+2ab+b2-(3)23x 5x6x2c 2 c 2,22(4) 6xy 2x 4x y 5yx例6.若x0,y 01 22xy練習(xí)：1、單項(xiàng)式2axb2與ax3x與2,同類(lèi)項(xiàng)有by是同類(lèi)項(xiàng)，則x2、下列各組中：5x2-10,1 o0,1 o 3,3y與一 xy ； 5x y與 yx ；5ax與一 yx ；8與x ；1555x2 ；3x2與（填序號(hào)）3、合并同類(lèi)項(xiàng)：3x25x 6x2 1 6xy2 2x2 4x2y 5yx2 x24、若 x 0, y 01-x

12、y 222axy 0,則 a四、去括號(hào)法則1.夫括號(hào)法則：（1）括號(hào)前曷“號(hào)，把括號(hào)和前面的_“號(hào)失掉，括號(hào)里的各項(xiàng)的符號(hào)都不改變括號(hào)前星號(hào)，把括號(hào)和前面的掉，括號(hào)里的各項(xiàng)的符號(hào)都要改變。2.夫括號(hào)法則中乘法分配律的應(yīng)用：若括號(hào)前有因式： 應(yīng)先利用乘法分配律展開(kāi)：同時(shí)汴意夫括號(hào)時(shí)待號(hào)的變化視律。3.多重括號(hào)的化簡(jiǎn)原則（_1）由里向外逐層去掉括號(hào)（_2）由外向里逐層去掉括號(hào)1、一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是 x,個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字 2倍少3,這個(gè)兩位數(shù)是例2、去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)(1) 3 (2s5) +6s，-，1(2)3x 5x ( jx4)(3) 6a24ab 4(2a2+ 1 ab)22(4) 3

13、(2x xy) 4( x xy 6)(5)(x y) (x y)(7) 2x2 3x 1 (5 3x x2)(9) a (5a 3b) 2( a 2b)練習(xí)：1、化簡(jiǎn)：(x y) (x y)(6) 2(m n) 3(m x) 2x2121(8) (2a 3a) 4(a a-)221 22 12 1 2(10) - m n nm mn - n m326 2(m n) 3(m x) 2x2、一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是x ,個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字2倍少3 ,這個(gè)兩位數(shù)是 22、3、化簡(jiǎn)：(1)2x 3x 1 (5 3x x )(3) a (5a 3b) 2( a 2b)(2) (2a2(4)1213a) 4

14、(a a )222nm121 2-mn -n m26五、代數(shù)式求值一一先化簡(jiǎn)，再求值代數(shù)式求值1）、用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算，所得的結(jié)果是代數(shù)式的值。2）求代數(shù)式的值時(shí)應(yīng)注意以下問(wèn)題:（1）嚴(yán)格按求侑的步驟和格式夫做.（2） 一個(gè)代數(shù)式中的同一個(gè)字母，只能用同一個(gè)數(shù)值代替，若有多個(gè)字母，？代入時(shí)要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，千萬(wàn)不能混淆.（3）在代入值時(shí)，原來(lái)省略的乘號(hào)要恢復(fù)，而數(shù)字和其他運(yùn)算符號(hào)不變（4）字母取負(fù)數(shù)代入時(shí)要添括號(hào)（5）有乘方運(yùn)算時(shí)，如果代入的數(shù)是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)，要加括號(hào)例1當(dāng)x= 1 , y=-3時(shí)，求下列代數(shù)式的值：（1） 3x2-2y 2+1-（2） （x一

15、y）-3xy 1例2 當(dāng)x2時(shí)，求代數(shù)式5x （4x 1）的值例3 已知a, b互為倒數(shù), m, n互為相反數(shù)，求代數(shù)式（2m 2n 3ab）2的值例4化簡(jiǎn)，求值： 9ab 6b2 3(ab 2b2) 1 ,其中 a - , b 1321 一1 231 2一2-x2(x1y2)(|x1y2)，其中x2，y12 3233經(jīng)典例題例題1.若abx與ayb2是同類(lèi)項(xiàng)，下列結(jié)論正確的是()a. x=2, y=1 b. x=0, y=0 c. x=2, y=0 d、x=1, y=1例題2. 2x x等于()a. x b. xc. 3x d. 3x例題3.x - (2xy)的運(yùn)算結(jié)果是()a. x+y b

16、. x yc. x-y d. 3x -y練習(xí)：1、當(dāng)x 2時(shí)，求代數(shù)式5x (4x 1)的值2 ,2、已知a, b互為倒數(shù)，m, n互為相反數(shù)，求代數(shù)式(2m 2n 3ab)的值23、已知m n 一，求7 3m 3n的值。34、化簡(jiǎn)，求值：_o20.1_ 9ab 6b 3(ab -b ) 1 ,其中 a - , b 132j1 2/ 31 22一x2(xy )( -xy)，其中x 2, y 一23233-2_22215、已知 a x y 2xy 1, b 2x y xy 1,x2, y 3,求 2ab六、探索規(guī)律列代數(shù)式例題1.觀察下列數(shù)表：,第n行與第n列交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律

17、，猜想第6行與第6列的交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為 (用含有n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)) 例題2.觀察下列各等式：4- 2 = 4 寧 2.3 =+ ( ) =( (1)以上各等式都有一個(gè)共同的特征：某兩個(gè)實(shí)數(shù)的一等于這兩個(gè)實(shí)數(shù)的 ;如果等號(hào)左邊的第一個(gè)實(shí)數(shù)用x表示，第二個(gè)實(shí)數(shù)用y表示，那么這些等式的共同特征可用含x, y的等式表示為(2)將以上等式變形，用含 y的代數(shù)式表示x為 ;(3)請(qǐng)你再找出一組滿(mǎn)足以上特征的兩個(gè)實(shí)數(shù)，并寫(xiě)出等式形式： 例題3.一串有黑有白，其排列有一定規(guī)律的珠子，被盒子遮住一部分如圖133所示，則這串珠子被盒子遮住的部分有 顆.綜合練習(xí)題1 口1、代數(shù)式 2xy的系數(shù)是.2、 2

18、ab 的系數(shù)為_(kāi)2_2_3、化簡(jiǎn)：2y 6y 3y 5y =4、下列各題中，去括號(hào)正確的是()b. 3a (5b 2c 1)3a 5b 2c 1_2_2_a. 2a (3a 2b c) 2a 3a 2b cc. a ( 3x 2y 1) a 3x 2y 1d. (a 2b) (c 2) a 2b c 25、a 2b 3c的相反數(shù)是()a. a 2b 3c b. a 2b 3cc. a 2b 3cd. a 2b 3c6、計(jì)算：5(2x7y) 3(4x 10y)23457、計(jì)算 223112128、計(jì)算 16 ( 2 ) ( 4) ( 2)9、長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為 3a 2b,另一邊比它大a b ,求

19、這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。 _222 .10、(1)當(dāng)a 1, b 1時(shí)，分別求代數(shù)式 a 2ab b ；(a b)的值.,1.12 _22 ,一(2)當(dāng)a b 時(shí)，分別求代數(shù)式a 2ab b ；(a b)的值.23222.(3)觀察(1) (2)中代數(shù)式的值，a 2ab b與(a b)有何關(guān)系？2_一一一 2 .(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求 135.72135.735.735.7的值.補(bǔ)充練習(xí)(一)1、甲乙兩地相距 x千米，某人原計(jì)劃t小時(shí)到達(dá)，后因故提前1小時(shí)到達(dá)，則他每小時(shí)應(yīng)比原計(jì)劃多走 千米;2c 2 c 22(a b)22、代數(shù)式3xy 2 x的次數(shù)是，上的系數(shù)是53、當(dāng) x - y=2 時(shí)，

20、代數(shù)式(x - y ) 2+2 (x - y ) +5 的值是 .4 .已知4 y 2 2y + 5=9時(shí)，則代數(shù)式 2 y 2 y + 1等于 .5 .已知 a-1+(2b) 2=0，那么 3ab 45b 2-6ab+15a-2b 2 等于 .2,6、當(dāng)x=3 , y=時(shí)，求下列代數(shù)式的值：(1) 2x2-4xy 2+4y；(2)線2 2xy y27、小明讀一本共 m頁(yè)的書(shū)，第一天讀了該書(shū)的 1，第二天讀了剩下的 1 .3 5(1)用代數(shù)式表示小明兩天共讀了多少頁(yè).(2)求當(dāng)m=120時(shí)，小明兩天讀的頁(yè)數(shù).8、當(dāng) x= -1,y= -2 時(shí)，求 2x2 -5xy+2y 2 -x2-xy-2y

21、 2-3x 2 的值。2. 22. .1 .9、 .去括號(hào)（a b 2ab 3） , 1 2（ 3a 4ab -） 310、 a 2b 3c的相反數(shù)是（）a. a 2b 3c b. a 2b 3c c. a 2b 3c d. a 2b 3c11、化簡(jiǎn)2a 5（a+1）的結(jié)果是 （）a. 3a+ 5 b. 3a-5c. 3a 5 d . 3a 112 .求下列多項(xiàng)式的值 ：（1） 2 a2-8a- - +6a- - a2+ ,其中a=;32342（2）、3x 2y2+2xy-7x 2y2-1- xy+2+4x 2y2,其中 x=2 , y=- .(1) (5a23b2) + (a2b2) (5a

22、22b2)其中 a=i, b= 1(2) 9a3-6a2+ 2 (a3 2a2)其中 a= 2314、(1)已知一個(gè)多項(xiàng)式與 a2 2a+1的和是a2 +a 1,求這個(gè)多項(xiàng)式。(2)已知 a=2x 2+y2+2z,b=x 2y2 +z，求 2a b13補(bǔ)充練習(xí)(二)3 a2b-2xmn2b2a33a2b1.將如圖兩個(gè)框中的同類(lèi)項(xiàng)用線段連起來(lái)2 .當(dāng) m二時(shí)，-x3b2m與lx3b是同類(lèi)項(xiàng).4-15 ab2x2mn23.如果5akb與-4a 2b是同類(lèi)項(xiàng)，那么 5akb+ (-4a 2b)=4、下列各組中兩項(xiàng)相互為同類(lèi)項(xiàng)的是a . &x2y 與-xy2;5、下列說(shuō)法正確的是()b. 0.5a2b 與 0.5a2c;c.3b與 3abc;d. -0.1m 2n 與一m2n2a.字母相同的項(xiàng)是同類(lèi)項(xiàng)