固體物理總結能帶理論完全版

1、目錄一、本章難易及掌握要求1二、基本內容11、三種近似 1 2、周期場中的布洛赫定理 21）定理的兩種描述 22）證明過程： 23） 波矢k的取值及其物理意義33、 近自由電子近似 3A、非簡并情況下 4B、簡并情況下 5C、能帶的性質64、緊束縛近似65、贗勢96、三種方法的比較107、布里淵區(qū)與能帶 118、能態(tài)密度及費米面11三、常見習題14簡答題部分14計算題部分15一、本章難易及掌握要求要求重點掌握： 1）理解能帶理論的基本假設和出發(fā)點； 2）布洛赫定理的描述及證明； 3）一維近自由電子近似的模型、求解及波函數討論，明白三維近自由電子近似的思想； 4）緊束縛近似模型及幾個典型的結構的

2、計算； 5）明白簡約布里淵區(qū)的概念和能帶的意義及應用； 6）會計算能態(tài)密度及明白費米面的概念。 本章難點：1）對能帶理論的思想理解，以及由它衍生出來的的模型的應用。比如將能帶理論應用于區(qū)分絕緣體，導體，半導體； 2）對三種模型的證明推導。了解內容： 1）能帶的成因及對稱性；2）費米面的構造；3）贗勢方法；4）旺尼爾函數概念；5）波函數的對稱性。二、基本內容1、三種近似 在模型中它用到已經下假設： 1）絕熱近似：由于電子質量遠小于離子質量，電子的運動速度就比離子要大得多。故相對于電子，可認為離子不動，或者說電子的運動可隨時調整來適合離子的運動。多體問題化為了多電子問題。2）平均場近似：在上述多電

3、子系統(tǒng)中，可把多電子中的每一個電子，看作是在離子場及其它電子產生的平均場中運動，這種考慮叫平均場近似。多電子問題化為單電子問題。3）周期場近似：假定所有離子產生的勢場和其它電子的平均勢場是周期勢場，其周期為晶格所具有的周期。單電子在周期性場中。2、周期場中的布洛赫定理1）定理的兩種描述當晶體勢場具有晶格周期性時，電子波動方程的解具有以下性質：形式一：，亦稱布洛赫定理，反映了相鄰原包之間的波函數相位差形式二：，亦稱布洛赫函數，反映了周期場的波函數可用受調制的平面波表示.其中，取布拉菲格子的所有格矢成立。2）證明過程： a. 定義平移算符，b 證明與的對易性。c.代入周期邊界條件，求出在與共同本征

4、態(tài)下的本征值 。即 d. 將代入的本征方程中，注意定義，可得布洛赫定理。！3） 波矢k的取值及其物理意義 ，k是第一布里淵區(qū)的波失，稱簡約波矢。其是平移算符本征值量子數，而反映了原胞之間電子波函數位相的變化。同時也可以得出如果一個勢場是周期場，那么可以把其波函數設為布洛赫函數。3、 近自由電子近似 1）思想：假設將周期場的周期起伏看作自由電子穩(wěn)定勢場的微擾2）條件要求：原子的動能大于勢能以使電子可以自由運動，勢函數的的起伏很小，以滿足微擾論適用，外層電子以滿足電子可以自由運動。3）模型建立過程：首先，在零級近似下，考慮到周期性邊界條件得到了波矢的允許取值，推出了能量的準連續(xù)性；其次，由于考慮到

5、二級微擾，而推出能量在布區(qū)邊界處分裂，且發(fā)生了能級間的“排斥作用”，于是形成能帶和帶隙。A、非簡并情況下1)由假設1,2可得系統(tǒng)的哈密頓量和薛定諤方程：，微擾項：，滿足的方程式: .2)利用微擾論方法有設：， 其中：， （） 設： 其中： , （）4）結論：能量本征值：波函數：5）波函數的意義：第一項是波矢為k的前進的平面波，第二項是平面波受到周期性勢場作用產生的散射波 再令，則有 具有布洛赫函數形式，其中用到B、簡并情況下1)此時波矢k離較遠，k狀態(tài)的能量和狀態(tài)k差別較大把3*按泰勒級數展開得 由于能級間“排斥作用”，量子力學中微擾作用下，兩個相互影響的能級總是原來較高的能量提高了，原來較低

6、的能量降低了2）時，波矢k非常接近，k狀態(tài)的能量和k能量差別很小按將3*式泰勒級數展開得 代入相應的 ，得 可得如下結論兩個相互影響的狀態(tài)k和k微擾后，能量變?yōu)镋+和E-，原來能量高的狀態(tài)能量提高，原來能量低的狀態(tài)能量降低。周期性 周期為倒格矢，由晶格平移對稱性決定反演對稱性 是個偶函數 宏觀對稱性 為晶體的一個點群對稱操作 C、能帶的性質簡約波矢的取值被限制在簡約布里淵區(qū)，要標志一個狀態(tài)需要表明：1)它屬于哪一個能帶（能帶標號）2)它的簡約波矢 是什么？3) 能帶底部，能量向上彎曲；能帶頂部，能量向下彎曲2) 禁帶出現在波矢空間倒格矢的中點處3) 禁帶的寬度4）各能帶之間是禁帶, 在完整的晶

7、體中，禁帶內沒有允許的能級5）計入自旋，每個能帶中包含2N個量子態(tài)4、緊束縛近似1）緊束縛近似的假設：電子在原子附近，主要受該原子勢場作用，其它原子勢場視為微擾作用。故此時不能用自由電子波函數，而用所有原子的同一電子波函數的線性組合來表示。不考慮不同原子態(tài)間的作用。它一般要求原子之間的距離較大。2）模型實現對于簡單格子電子在格矢處原子附近運動滿足的薛定諤方程：是晶體的周期性勢場_所有原子的勢 場之和。對方程進行變換有即是微擾作用。 設晶體中電子的波函數（此法的本質），代入上得：考慮到當原子間距比原子半徑大時，不同格點的重疊很有 ，用左乘上面方程5*，得到則得，考慮到周期性的勢場，應有，（是任意

8、常數矢量），則有，利用歸一化條件則得：晶體中電子的波函數考慮用簡約波失表示有，由此可得對于確定，而且實現了N個晶體中的電子波函數與束縛態(tài)的波函數的幺正變換換： 3）模型簡化：考慮的化簡：當有重疊時，積分不為0。a最完全的重疊，得b其次考慮近鄰格點的格矢，得。6*能帶底部電子的有效質量,能帶頂部電子的有效質量.4）能級與能帶的對應A 計算簡單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶 s態(tài)的波函數是球對稱的，在各個方向重疊積分相同。找出緊鄰坐標代入6*有，其中在能帶處在處用級數展開有，在能帶頂部按附近按泰勒級數展開得 帶寬取決于J1，大小取決于近鄰原子波函數之間的相互重疊，重疊越多，形成能帶越寬，同樣可以看

9、出，由于k的取值可以有N個，故一個能級在微擾下分裂成為一個能帶。 B 對于一般情況有如下結論：一個原子能級ei對應一個能帶，不同的原子能級對應不同的能帶。當原子形成固體后，形成了一系列能帶能量較低的能級對應的能帶較窄，能量較高的能級對應的能帶較寬。簡單情況下，原子能級和能帶之間有簡單的對應關系，如ns帶、np帶、nd帶等等，由于p態(tài)是三重簡并的，對應的能帶發(fā)生相互交疊，d態(tài)等一些態(tài)也有類似能帶交疊。但是其能帶不再是僅僅靠主量子數N決定，與L值也有關。 對于內層電子能級和能帶有一一對應的關系，對于外層電子，能級和能帶的對應關系較為復雜。5）瓦尼爾函數 緊束縛近似中，能帶中電子波函數可以寫成布洛赫

10、和，對于任何能帶，即一個能帶的Wannier 函數是由同一個能帶的布洛赫函數所定義。如果晶體中原子之間的間距增大，當電子距離某一原子較近時，電子的行為類似于孤立原子時的情形。性質：a. 局域性質（定域性） 由于u(k，r)=u(k，r-Rn)，因此 Wn(r-Rn) 是以 Rn 為中心的定域函數。b.正交性5、贗勢1）引入贗勢的目的：在近自由電子近似時，假設電子所處勢場的周期性起伏小，但實際材料勢場周期性起伏都比較大，不能用近自由電子模型求解。但是近自由電子模型計算結果對于對于實際能帶結構是適合的。為了解決這個矛盾，引入贗勢概念。2）贗勢定義：在離子實內部，用假想的勢能取代真實的勢能，求解波動

11、方程時，若不改變其能量本征值及離子實之間的波函數，則這個假想的勢能成為贗勢。3）模型的實現方式：是贗勢包含離子勢和價電子的作用，稱為有效勢，可以有多種具體形式。選擇包含一個或幾個參量的模型，用與實驗數據比較的方法，確定這些參量。6、三種方法的比較：近自由電子近似是一種電子可以自由運動的模型，是一種在自由電子基礎上的微擾論，結果是自由電子能級發(fā)生分裂，形成能帶。在使用它解決問題時需要知道，而這個可以通過贗勢來實現，不同的結構對應的贗勢是不同的。而緊束縛近似針對于電子被束縛在原子周圍，在解決實際問題時只需知道和，對于不同的原包結構其和均不同，這里應該也會有一個贗勢的方法，可以說緊束縛近似是在H原子

12、模型上在用微擾論的。所以它的能帶是在能級的基礎上形成的，是原來原子團的能級分裂成的。而贗勢方法只是提供了一種尋找等價的方法，實際運算需要結合其他的模型。7、布里淵區(qū)與能帶 1）明白波失空間和倒空間的區(qū)別，倒空間是倒格子的集合，倒格點是固定的分立的，而波失空間是波失的集合，波失是準連續(xù)的。在相同的空間大小中，波失數比倒格矢數要多。2）布里淵區(qū)是波失空間的分區(qū)域，也是倒空間的分區(qū)域，他是在k空間把原點和所有倒格矢中點的垂直平分面畫出，k空間分割為許多區(qū)域，每個區(qū)域內Ek是連續(xù)變化的，而在這些區(qū)域的邊界上能量E(k)發(fā)生突變，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。8，能態(tài)密度及費米面1） 能態(tài)密度： ，表示能態(tài)數目

13、，如果在波矢空間，根據 E(k)常數 作出等能面，則在等能面 E 和EE之間的狀態(tài)的數目就是ZE 。由于狀態(tài)在 k 空間分布是均勻的、準連續(xù)的狀態(tài)密度是，所以ZEV（2）3（兩等能面EE+E之間的體積）經過積分計算得：考慮電子自旋為2，則二維： ZES（2）2（兩等能線E-E+E之間的面積），一維ZEL（2）（兩等能點E-E+E之間長度），21/22）費米面： A.費米面是指絕對零度時， k 空間電子占據態(tài)與未占據態(tài)之間的分界面。電子填充量子態(tài)的形式：按泡利不相容原理由低到高填充能量盡可能低的N（電子數）個量子態(tài)。對于自由電子，電子填充k空間半徑為kF的球=自由電子數，便可求得相應的，當溫度不

14、是絕對零度時，求就與第七章是聯(lián)系在一起了。B. 電子填充能帶的形式有兩種類型：第一種：電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的能帶都是空的。最高的滿帶稱為價帶(valence band)，最低的空帶成為導帶(conduction band)，價帶最高能級與導帶最低能級之間的范圍則為帶隙(band gap)。半導體帶隙寬度較小 1 eV，絕緣體帶隙寬度較寬 10 eV第二種：除去完全被電子充滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電子填充的能帶，部分被電子填充的能帶被稱為導帶(conduction band)。這時，電子所占據的最高能級即為費米能級，它位于一個或幾個能帶的范圍之內。在每一部分占據的能帶中，

15、k 空間都有一個占有電子與不占有電子的分界面，所有這些表面的集合就是費米面。 C.導體，絕緣體，半導體和半金屬的能帶理論解釋:在絕對零度，如果電子剛好填充一個或更多能帶,其余能帶是全空的，那么晶體就是絕緣體，外電場也不能因其絕緣體內電流的流動因為滿帶和上邊導帶隔開,當溫度升高時,出現下邊兩種情況。1)當溫度升高時,如果帶隙很大,電子很難躍遷到導帶,晶體仍為絕緣體， 2)如果能隙較小,電子隧穿效應使得導帶中有少量電子,并在價帶產生空穴,具有一定的導電性，稱為半導體。如能帶未填滿，在外場下電子做定向運動，就是導體。3)能量交疊較小時晶體導電性比導體小幾個數量級，晶體則稱之為半金屬。D構造費米面的具

16、體步驟如下： a. 利用En(k)是倒格矢的周期函數，畫出布里淵區(qū)的擴展圖形。 b. 用自由電子模型畫出費米球。 c. 落在各個布氏區(qū)的費米球片斷平移到簡約布里淵區(qū)的等價部位。 d. 由自由電子模型過渡到準自由電子模型必須注意能帶邊界禁帶出現。費米面同布里淵區(qū)邊界垂直相割，自由電子的費米面尖角處要鈍化。三、常見習題簡答題部分6.1 周期場是能帶形成的必要條件嗎？ 解答：不是。能帶論雖然是從周期場中推導出來的，但周期場并不是能帶形成的必要條件，在非晶體中固體中,電子同樣具有能帶結構,周期場對能帶的形成是必要條件，這是由于在周期場中運動的電子的波函數是一個周期性調幅的平面波，即是一個布洛赫波。由此

17、使能量本征值也稱為波矢的周期函數，從而形成了一系列的能帶。6.2 禁帶是否一定出線？出現晶帶與哪些因素有關？ 解答：禁帶不一定出現。在一維情況下，禁帶一定出現，在三維情況下，在 k 空間的不同方向，不連續(xù)的能量范圍不一定相同，從而不連續(xù)不一定導致禁帶的發(fā)生，這就是說，不同能帶的禁帶不一定存在，可能發(fā)生能量交疊。在布里淵區(qū)界面是否出現禁帶與下列因素有關：一是與周期勢場的具體形式有關，若在某個布里淵區(qū)界面上，V r 的展開式系數 V G 時,則此布里淵區(qū)界面上將不出現能隙，兩個能帶聯(lián)為一體；二是與結構因子有關，如結構因子 S G = 0 時，在相應布里淵區(qū)界面上的能隙為零。 1能帶理論基礎 產生禁

18、帶的原因：是在布區(qū)邊界上存在布拉格反射產生禁帶的原因：是在布區(qū)邊界上存在布拉格反射. 6.3為什么引入正交平面波法？這種方法有何優(yōu)點？解答：同內層電子態(tài)正交的平面波稱為正交化平面波，電子的布洛赫波函數只有在兩個離子實的中間區(qū)域是變化平緩的，在離子實區(qū)域（簡稱芯區(qū)），晶體勢很強，波函數不像平面波，而具有類似于孤立原子中電子波函數的急劇震蕩特性。因為平面波展開收斂很慢,使其難以成為能帶計算的實用方法，而價電 子波函數的振蕩部分出現離子實區(qū)域，此波函數又必須與內層電子的波函數正交，正交平面波正好在離子 實區(qū)域引進振蕩成分，恰好能描述價電子的特征。 這種方法的優(yōu)點是減少了計算工作量，只需取幾個正交的平

19、面波就會得到很好的結果。計算題部分6.1 一維周期場中電子的波函數應滿足布洛赫定理，若晶格常數為，電子的波函數為（1）（2）（3） （f是某個確定的函數）試求電子在這些狀態(tài)的波矢解：布洛赫函數為 （1） ， ，（2） 同理， ， ，（3） 此處， ，6.2已知一維晶格中電子的能帶可寫成，式中是晶格常數，m是電子的質量，求（1）能帶的寬度，（2）電子的平均速度，（3） 在帶頂和帶底的電子的有效質量解：能帶寬度為 ， 由極值條件 ， 得 上式的唯一解是的解，此式在第一布里淵區(qū)內的解為 當k0時，取極小值，且有當時，取極大值 ，且有 由以上的可得能帶寬度為 （2）電子的平均速度為 （3）帶頂和帶底電

20、子的有效質量分別為 6.2 一維周期勢場為 ， 其中 ，W為常數，求此晶體第一及第二禁帶寬度 解：據自由電子近似得知禁帶寬度的表示式為 ， 其中是周期勢場傅立葉級數的系數，該系數為： 求得，第一禁帶寬度為 第二禁帶寬度為 6.3 用緊束縛近似計算最近鄰近似下一維晶格s態(tài)電子能帶，畫出，與波矢的關系，證明只有在原點和布里淵區(qū)邊界附近，有效質量才和波矢無關。解： 根據緊束縛近似， 對一維，最近鄰 則 為余弦函數 （圖?。?有效質量 的圖也省， 在原點附近，很小， 在布里淵區(qū)邊界， 6.4 某晶體電子的等能面是橢球面 ，坐標軸1，2，3互相垂直。求能態(tài)密度。 解：由已知條件可將波矢空間內電子能帶滿足的方程化為 將上式與橢球公式比較可知，在波矢空間內電子的等能面是一橢球面，與橢球的體積 比較可得到，能量為E的等能面圍成的橢球體積 由上式可得 能量區(qū)間內電子的狀態(tài)數目 是晶體體積，電子的能態(tài)密