基本概念曲線切向量

1、1 第十章 2 : ( ),xt ( ),yt ( )zt :t , ( ),t ( ),t ( )t (cos, cos, cos ) ds 2( ) t dt 2( ) t 2 ( ) t cos 2( ) t 2( ) t 2 ( ) t ( ) t d x ( ) t dt cos ds d y ( ) t dt cos ds dz ( ) t dt cos ds cos ( ) t dr (d x ,d y,d ) z dr (cos, cos, cos ) ds 3 F (,) ( , , )P x y z( , , )Q x y z( , , )R x y z A AB F (

2、, , )x y z B W A B F F AB 1i M i M iF iF ir ir ( i x , i y ,) i z n i 1 0 lim W F dr Pdx Q dy R dz ( Pcos )dsQ cos R cos 4 F (,) ( , )P x y( , )Q x y A AB F ( , )x y B W F dr ( , )P x y dx( , )Q x y dy 5 L L ( , ) dP x yx 1 L 2 L ( , ) dP x yx( , ) dP x yx ( , )dP x yx ( , ) dQ x yy ( , ) dQ x yy (

3、, ) dQ x yy ( , )dQ x yy L ( , )dP x yx ( , )dQ x yy 6 :t L ( ) t ( ) t dt,Q ( )yt ,P ( )xt ( ) t ( ) t ( ) t ( ) t ( , )P x y( , )Q x y dxdy , dx ( ) t dt dy ( ) t dt y ,( )x :x a , b L ( , )P x y( , )Q x y dxdy a b dx ( )x ,P x ,Q x d y ,( )dxx ( )x ( )x 7 o y x xa 0 L ( , )P x y dx xa dx0 0 L ( ,

4、 )P x y dx a b b a ( ,0)P xdx L ( , )P x y dx y 0,:x a , b L ( , )P x y dx a b dx( ,)P x 0 8 L 2 yx 0 1 1 0 2 d L xyx yx yx :L 1 1 2 1 0 (1,1)A (1,1)B (1, 1)A o y x :L AOOB :,yx :xAO:,yx OB d L xy x AO OB ()xx dx :y 1 1 4 5 2 yy 2y dy dxx x 11 x 2 ,y 10:x01 (1,1)B到到 4 5 3 2 dxx 4 dyy xyd x dxy xdxy

5、x 9 0,y y BA oaax y 33 2 0 2sindat t 3 2a 0 (sin )datt 2 1 3 3 4 3 a a a 0 x : t :x 22 sinat 0 ,aa L 2 y d x L 2 y d x 0dx L 2 y d x cos ,at sin ,at y 22 ax :x a,a L 2 y d x a a 22 ()ax d x 3 4 3 a 10 y x o L :L :L x 2 (y 2 xy 1 0 ( 0 1 0 y 1 3 2 5 )dx y )dy dxy x()yx (1,1) x 2y 3 :L yx (0,0)(1,1) 2

6、 y 1 2 17 30 1 3 x 1 0 3 (x 3 x )x 2 3x dx 1 0 4 (x 5 3x 3 3x )dx 1 5 1 2 3 4 1 20 3 yx d , y ,yx 2 ,yx 11 y x o L :L :L :L 2x4 2 2y 5 OA 1 0 1 2 xy 2 xy 1 0 ( 2 x 1 0 ( 4 y AB 1 0 1 1 :AB :x :y :OA )dx y )dy 2dxy x 2 d ,xy 2x 2dxy x 2 dxy 2dxy x 2 dxy (1,1)B (1,0)A 0 1 0 1 0,y :x 0 1 1,x :y 0 1 2 x

7、 2y 2x 0dx 1 dy OA .AB y x 2 ,y 2 ,x 1 3 0 x dx 1 4 0 y dy 12 ( ) t ( ) t ( ) t ,P ( )xt ( )yt ( )zt ,Q ,R dt ( ) t ( ) t ( ) t ( ) t ( ) t ( ) t ( ) t ( ) t ( ) t ( , , )P x y z( , , )Q x y z dxdy( , , )R x y z dz :t , 13 x z y1 o 2 I : cosxt z 2 0 I ( 22cossin )tt (cossin )tt (2cos ) t 2 2sint 2xy

8、z sin ,yt :t ( sin ) t cost (sincos )tt dt 2 0 ( 2cost 12cos2 )dtt ()zy ()xz()xy 0 2 2 cost sint 2 x 2 y 1 d xdy d , z 14 sinRt(sin )dRtt cosRt (cos )dRtt dkt k t (,0, 2),B Rk ( ,0,0)A R (2).AB 2 0 ,xR AB 2 0 (1)cos ,xRt 2 2 R 22 2k F W sin ,yRt ;zkt (02 )t 0,y ,zkt :t W A y z 0 x R B dyx 2 ( R ( ,y

9、,x ) z dxy dzz F dr 22 2k 2 k t )dt 02 AB F dr dyxdxy dzz AB ktdk t 15 x cos ,at y sinbt y x o M M,F M F ? F MO (, x )y mP P F PF L W L dxx dyy F dr F (, x ),y W 2 0 2 (cosat sint 2 sinbt cos ) t dt 22 ()ab 1 2 2 sin t /2 0 2 22 ab W 0 16 L ( , )d( , )dP x yxQ x yy 1 L 2 L ( , )d( , )dP x yxQ x yy (

10、 , )d( , )dP x yxQ x yy L L ( , )d( , )dP x yxQ x yy ( , )d( , )dP x yxQ x yy 17 ( : ) tx L : t ):(,L yx L yyxQxyxPd),(d),( ( ) t ( ) t dt( ),( )ttQ ( ) ,( )tPt ( )yt :x ab dx b a ( )x L yyxQxyxPd),(d),( ),(P xx )(,Q xx 18 L yQxPddsQP L dcoscos zRyQxPddd sRQPdcoscoscos ( )xt ( )yt :,t ( )zt ( , , ) d( , , ) d( , , )dP x y zxQ x y zyR x y zz ( ) t ( ) t ( ) t ,( )(,)( )Pttt ,( )(),( )Qttt ,( )(),( )Rttt dt 19 20 ( , )M x y ( ,0)A a 22