差分方程在經濟學中的應用(應用數(shù)學

1、本科畢業(yè)論文(設計) 論文題目： 差分方程在經濟學中的應用 學生姓名： 雷晶 學 號： 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 班 級： 數(shù)學1002班 指導老師： 舒蕊艷 完成日期：2014年5月20日差分方程在經濟學中的應用內容摘要本文敘述了研究差分方程的意義和背景、差分方程的定義、常見的解法以及差分方程相關模型,重點介紹差分方程經濟學中的應用模型籌措教育經費模型,包括問題的提出、模型舉例和分析、提出假設、模型建立、模型求解、結果分析等等步驟對模型進行了更深層次的分析,做了進一步的推廣.本文所介紹的籌措教育經費模型主要研究的是子女的教育費用,假定某家庭從孩子m歲起,每月拿出一部分錢存進銀行,用于投資子女

2、的大學教育,并計劃n年后支出一些,直到孩子大學畢業(yè),全部用完賬戶中的資金.差分方程的理論研究近十年來發(fā)展十分迅速,尤其是在經濟領域,幫助人們解決了很多實際問題,籌措教育經費模型的建立為廣大中國家庭子女教育的費用問題提供了明確的解決方法,是差分方程理論最貼近實際的模型之一.關鍵詞：差分方程 存款模型 經濟增長模型 籌措教育經費模型The Application of Differential Equations in EconomicsAbstractThis paper is about the significance, background and definition of differ

3、ential equations. It also describes the common solutions and some related models of differential euqations. The paper focuses on the differential equations in economics model- raising educational funds model which includes proposing questions, the model for example and analysis, putting forword the

4、hypothesis, building and solving the model, analysing the result and so on. And this paper makes a deeper analysing of the model and does the futher promotion.The main aspect of the raising educational funds model in this paper is childrens education expenses. Here comes the hypothesis, assuming tha

5、t the family puts some money in the bank for investment in their childrens college education from their childrens m years old and plans to spend some after n years until the children graduated from college, run out of all the funds in the account.Researching on the theory of differential equations i

6、n past decade developes very quickly, especially in the economic field. It helps people a lot in solving many practical problems. The building of raising educational funds model which is one of the most close model to reality provides a clear solution to the cost of childrens education for the major

7、ity of Chinese family. Key word:Differential equations Deposit model Economic-gain model Raising educational funds model 目 錄一、緒論1（1） 研究差分方程在經濟學中的應用的目的意義1（2） 研究背景2二、研究的理論基礎2（1） 差分2（二）差分方程3 （三）差分方程的解4（四）特征根法4三、差分方程的經濟應用模型簡介5（一）貸款模型5（二）存款模型6（三）乘數(shù)-加速數(shù)模型 7（四）哈羅德-多馬經濟增長模型10（五）投入產出模型 11（六）籌措教育經費模型 124、 總結

8、14參考文獻 16序言數(shù)學這一學科從建立到現(xiàn)在,發(fā)展迅速,在人們的生活中也得到了越來越多的應用,人們把數(shù)學理論與生活實際相結合,這樣的做法不僅解決了實際問題,也更加豐富了數(shù)學理論.差分方程是數(shù)學知識應用最廣泛的部分之一,它在經濟領域中的應用效果最為顯著.本文先描述了差分方程的理論,然后對應用廣泛的幾個差分方程經濟模型做了簡單介紹,最后重點介紹了籌措教育經費模型,這是差分方程在經濟領域最貼近實際生活的一個模型之一,從問題的描述出發(fā),到模型建立、求解,最后對結果進行了分析和推廣.研究差分方程在經濟學中的應用,不僅能幫助解決生活中的經濟問題,反過來更能進一步豐富數(shù)學理論.所以,研究差分方程的應用,在

9、實際生活當中具有重要的意義.一、 緒論 （一）研究差分方程在經濟學中的應用的目的和意義數(shù)學這一基礎性學科在不斷發(fā)展,在現(xiàn)代經濟學中所起的作用也日益突出.數(shù)學是一切學科的基礎,經濟領域也不例外,要發(fā)展經濟就要研究經濟理論,掌握經濟規(guī)律,預測經濟發(fā)展的趨勢,這些都離不開數(shù)學這一工具.經濟學中的變量有三種類型,自變量和因變量、存量和流量、內生變量和外生變量,經濟模型是研究經濟學領域中的經濟變量之間的關系的,在其中加入數(shù)學元素,使得問題的描述簡潔清楚、語言嚴密精確.在研究過程中通過參考已有的數(shù)學模型或數(shù)學定理有利于新結果的產生,可得到精準的結論.經濟模型1是研究分析經濟變量關系的一個重要工具,連接了經

10、濟理論和經濟現(xiàn)實,也讓數(shù)學理論得到更加廣泛的應用.經濟數(shù)學模型具體來說,是在經濟理論的指導下,通過建立數(shù)學模型的這個過程,把研究對象簡單化,轉化為本質同一的對象,使研究對象具有代表性,以一代全,實際操作起來更加方便,從而實現(xiàn)對經濟現(xiàn)實的簡化.故對于變量數(shù)量繁多,而且變量之間的關系復雜多變的經濟數(shù)量關系進行分析研究,經濟數(shù)學模型不可或缺.在經濟數(shù)學模型中,差分方程的應用非常廣泛,人們建立了一系列以差分方程理論為核心的一系經濟類數(shù)學模型,如市場經濟中的蛛網模型、養(yǎng)老保險模型以及籌措教育經費模型等等,相應模型的建立也就解決了相應的經濟學中的問題,如市場經濟中的蛛網模型的研究就是基于自由競爭的市場經濟

11、中的供需變化與價格變化的循環(huán)現(xiàn)象,籌措教育經費模型則是站在一個理性角度,定量研究某家庭投資子女教育所需的費用.其實,總結一下,不難發(fā)現(xiàn),以上的模型都是關于離散變量的規(guī)律、性質問題,只要判斷出要研究的問題具有這類共同點,就可以考慮用差分方程模型來分析求解問題.差分方程其實與微分方程有些許相似,差分方程是含有未知函數(shù)及其差分的函數(shù)方程,微分方程是含有未知函數(shù)的導數(shù)的方程,差分方程是微分方程的離散化.差分方程反映的是離散變量的取值規(guī)律.整個模型研究過程是通過建立離散變量取值所滿足的平衡關系,從而建立起差分方程.建立差分方程模型,不僅可以從定性角度為社會問題的解決提供思路,還從定量的角度解決了實際問題

12、.在經濟學中,差分方程的應用使得實證研究更加系統(tǒng)化、規(guī)范化,精確的數(shù)學方法讓廣大研究者最大程度地汲取有用的信息,得到定量性結論.在得到結論的同時,也方便對未來的經濟形勢和發(fā)展情況作出較為精確預測,這對于個人的理財和國家的經濟發(fā)展無疑起到了非常重大的作用.舉個例子,市場經濟中的蛛網模型主要是研究在自由市場上的一種現(xiàn)象：商品的供給大于需求時,銷售不暢會導致價格的大幅下跌,而價格的下降又會使得商品的供給量下降,因此價格又會上升,如果沒有干預,會如此的往復.人們利用差分方程的知識對此過程進行研究,又發(fā)現(xiàn)在圖像中,商品產量和價格的圖形軌跡類似于蜘蛛網狀,于是便有了差分方程的蛛網模型的誕生.對于政府來說,

13、也會更加方便,便于及時地進行經濟干預.中國的社會主義市場經濟體制強調的是以市場和計劃兩種手段來調配社會資源,市場為主,計劃為輔,蛛網模型的建立,把市場調配資源的整個過程體現(xiàn)了出來,同時也讓政府可以更有計劃性、更有目的性地來干預經濟,經濟調控的效果也會更好.所以,研究差分方程,對于數(shù)學理論的發(fā)展和實際生活都具有十分重大的意義. （二）研究背景 應用差分方程的知識,建立經濟模型,解決經濟學的問題是要針對目標問題,確定離散變量,根據(jù)實際,建立離散變量所滿足的平衡關系式,從而建立差分方程.通過求出方程的解和對解的分析,把握這個離散變量變化的規(guī)律,并進一步結合其他的分析,得出原問題的解.差分方程的研究歷

14、史比較短暫,真正開始于上個世紀90年代,發(fā)展迅速,且成果顯著,在國內外一直都是數(shù)學學者們的研究熱點.在國內,很多學者也在這一領域辛勤工作著,懷化學院的數(shù)學系主任魏耿平就是代表人物之一,他的論文發(fā)表在國內外許多著名的期刊雜志上,如美國的SCI源刊、國內的數(shù)學學報等.在國外,隨著差分方程理論的快速發(fā)展,國際上出現(xiàn)了一種專業(yè)性的差分方程的期刊,它的名稱叫做journal of difference equations and applications,能在這樣一個國際性的期刊上發(fā)表學術成果,對個人的研究成果是一種很大的肯定,同時對數(shù)學學科的發(fā)展是具有非常大的意義的.這一專業(yè)期刊雜志的出現(xiàn)更加推動了差

15、分方程理論在競爭中的不斷發(fā)展,以及差分方程在實際中應用的進程,差分方程眾多優(yōu)秀的研究成果也有了展示的平臺.如今,隨著人們對知識產權的重視程度的提高,中國國內的學術氛圍更加濃厚,個人對于這方面的保護意識也越來越強.這樣越來越好的氛圍有利于國內各領域內的學者們的研究工作的進行,也會推進數(shù)學理論的進程.在這樣一個良好的氣氛之下,相信差分方程理論的發(fā)展會越快越好,同時它對中國經濟的繁榮發(fā)展也會起到更加強大的推動作用和理論指導作用.二、 研究的理論基礎 （一）差分2設定義在整數(shù)集上的函數(shù)： 則函數(shù)的一階差分定義為： .函數(shù)的二階差分定義為一階差分的差分,即： .由差分四則運算法則之中的：,可得： .以此

16、類推，階差分就可以定義為階差分的差分,即：其中,.例1、設,求和.解： , . （二）差分方程2 定義1：含有未知函數(shù)及其差分的函數(shù)方程成為差分方程.形式：. 定義2：含有未知函數(shù)兩個或兩個以上的函數(shù)值的等式,稱為常差分方程. 形式：. 在差分方程出現(xiàn)的未知函數(shù)下標的最大差稱為該差分方程的階.根據(jù)定義,階差分方程的一般形式為： ,其中，是自變量,是未知函數(shù).例如,方程是二階差分方程.注意,方程是一階差分方程. （三）差分方程的解5如果將函數(shù)代入差分方程后,使其稱為恒等式,則稱此函數(shù)該差分方程的解.若差分方程的解中含有任意常數(shù),且所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該差分

17、方程的通解,由于通解中含有任意常數(shù),所以在應用時,還需要確定這些常數(shù)的條件.這種條件稱為定解條件.由定解條件確定了通解中的所有任意常數(shù)后所得到的解稱為特解.對階差分方程，常見的定解條件是初始條件： 其中,都是已知常數(shù).例2、驗證是差分方程的通解.解：將代入差分方程中,得：左邊=右邊等式成立,故是所給差分方程的解.又因為其中含有一個任意常數(shù),且給定的差分方程是一階方程,所以,此解為通解.（四）特征根法5一階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式如下： （2-1）這類方程的解法通常有兩種,迭代法和特征根法,在這里介紹的是在差分方程模型中經常用到的特征根法.原一階常系數(shù)齊次線性差分方程,等價于,可以看出的

18、形式一定是某個指數(shù)函數(shù).于是,假設,代入方程,可得： , （2-2）稱方程（2-2）為齊次方程（2-1）的特征方程,解之得： ,是特征方程的根（簡稱特征根）.于是是齊次方程（2-1）的一個解,從而有：（為任意常數(shù)）.是齊次方程的通解.例3、求方程的通解.解：原方程的特征方程為：,解之得：, 于是,原方程的通解為：. 三、差分方程的經濟應用模型簡介差分方程模型在解決實際問題是,一般步驟如下：第一步,先要檢驗變量是否符合差分方程的理論條件,并進一步分析實際問題,設定好實際問題中的未知函數(shù),建立差分方程,提出初始條件;第二步,先求解所建立的方程的通解,再根據(jù)之前設定的初始條件求出特解;第三步,用所得

19、出的解給實際問題一個答復,并結合實際進行分析.在經濟學中的差分方程模型很多,下面簡單介紹幾個差分方程應用較廣泛的經濟模型.有與個人日常生活中理財相關的,也有與國家的經濟增長相關的.（一）貸款模型 貸款這是老百姓生活中常見的一種現(xiàn)象,現(xiàn)在,不管是買房、買車,甚至是大學教育都已經開始流行貸款.買房、買車是一個人的一生中的重頭消費項,在存款不足的情況下,可以幫助實現(xiàn)自己的房子、車子夢.一般是先支付部分款項,再通過銀行貸款付清余額.首先以買房為例介紹貸款模型,假設某房屋總價為元,先付首付款后便可入住,剩下的可以通過銀行貸款來付清,年利率為,需要年付清,利用差分方程的知識就可以計算出平均每月需要付多少錢

20、,以及總共需要付的利息.具體求解的過程如下：實際在買房時,所需的首付款是房款全額的40%-60%不等,假設首付款為房款全額的40%,貸款總額為元.假設每月應付元,總共需要支付的利息為元,月利率為,即得到： 第一個月的應付利息為：,第二個月的應付利息為：,由此類推,可以得到：,上式是一個一階常系數(shù)非齊次線性差分方程,先求其對應的齊次方程：,的通解,再求原方程的一個特解,相加后即可求得原方程的通解.最后,就可以計算出每月需要支付的錢,即： , （2-3）總共需要支付的利息為： . （2-4）如下表,表2-1,是中國人民銀行最新調整后的金融機構人民幣貸款基準利率表：金融機構人民幣貸款基準利率2010

21、.07.06六個月以內（含六個月）5.60六個月至一年（含一年）6.00一年至三年（含三年）6.15三年至五年（含五年）6.40五年以上6.55一般房貸或車貸都會在五年以上,所以采用6.55%的貸款利率,假設現(xiàn)在某人要買一棟全款為一百萬元,貸款60萬,在10年內還清,由（2-3）和（2-4）式,每月應支付的金額為：,總共所需支付的利息為：. 現(xiàn)實生活中,個人買房的實際情況不同,房子的具體地段、戶型、大小面積、樓層等等有差異,所需支付的首付款數(shù)額也必然不同,在了解了這個模型后,只需帶入相應字母所代表的數(shù)據(jù),并相應地代入首付款金額,就可以很方便地計算出貸款的利息等數(shù)據(jù),個人在還款的同時,心里也會有

22、個底.（二）存款模型存款,同樣也是生活中的一件平常的事,但其中也是有很多的數(shù)學知識的,掌握了,就可以大致了解存款的利息,更容易把握存錢的時機,也可以更好地樹立理財?shù)挠^念.存款是中國人比較傳統(tǒng)的一種理財方式,因為銀行存款利率的變化,如果想要獲得更好的收益,就要掌握一定的數(shù)學知識,這樣才能更準確地判斷存款時機,獲得更好地收益.先用字母代替具體數(shù)字,假設為最初存入銀行的資金總額,為時期的存款總額,為存款利率,按年復利計息,就可以得到與之間的關系,得到一個一階常系數(shù)齊次線性方程：求解方程,原方程的特征方程為：,解之得：,所以,原差分方程的通解如下： , 即：時期取款所獲取的收益為：.如果要存款來獲取收

23、益,可以通過（2-5）式來得出最后的收益情況;如果在生活中需要貸款,那么就可以利用（2-3）,（2-4）兩個式子大致計算出每月所需支付的資金,以及所需支付的全部利息,不會發(fā)生在銀行貸款時理不清楚的現(xiàn)象,也有利于自己管理自己的財產.根據(jù)中國人民銀行最新發(fā)布的金融機構人民幣存款基準利率調整表,表2-2：金融機構人民幣存款基準利率2012.07.06活期存款0.35三個月2.60半年2.80一年3.00二年3.75三年4.25五年4.75 活期存款利率為0.35%,若最初存進銀行的金額是元,第3年的收益為：.按照最長的5年的定期存款利率4.75%來計算，假設最初的存款，第5年的收益為：.存款作為中國

24、老百姓傳統(tǒng)的理財方式,雖然已經不多見了,但平時生活中留有存款,也可以應對老人生病等突發(fā)的狀況.平時留有一定數(shù)額的存款還是有不少作用的,對存款利率的了解是很重要的.（三）乘數(shù)-加速數(shù)模型4差分方程在經濟學中的應用除了與實際生活聯(lián)系密切的模型之外,也有關于宏觀經濟方面的模型,比如經濟增長模型等.對于一個國家來說,經濟的增長十分重要,持續(xù)穩(wěn)定增長的經濟會給人民帶來更多的福祉.所以,第三個模型介紹的是由薩繆爾森提出的乘數(shù)-加速數(shù)模型,它是屬于典型的凱恩斯主義.在介紹乘數(shù)-加速數(shù)模型之前,首先應明確本模型中所涉及的兩個經濟原理,乘數(shù)原理和加速原理.乘數(shù)原理說明了投資變動對國民收入變動的影響,而加速原理說

25、明了國民收入的變動對投資變動的影響.乘數(shù)-加速數(shù)模型就是二者結合起來對經濟周期的影響.假設為資本存量,為產量水平,代表資本-產量比率,有：,一般情況下,資本-產量比.時期的和的關系可表示為：,從時期到時期,資本存量的增加量是.資本的增加需要投資的增加,記是時期的投資凈額,則有：,由,可以推導出： . （2-6）上式表明,在資本-產量的比率保持不變的情況下,時期的凈投資額決定于到時期的產量的變動量,被稱為加速數(shù).由于生產過程中難以避免機器的磨損等,就會導致重置投資,將其視為折舊,與凈投資額組成了總投資,則（2-6）式就變成了：時期的投資總額時期的折舊,所以，可以得到產量水平與投資支出之間的關系.

26、加速數(shù)為大于1，資本存量的增加必須要超過產量的增加.前提是資本存量充分利用. 薩繆爾森的乘數(shù)-加速數(shù)模型基本方程如下： , （2-7） （2-8） , （2-9）其中,是國民收入,是消費額,是政府的購買.假定政府購買是常數(shù),.求解方程：將（2-8）（2-9）代入（2-7）式中,可得：,化簡后,有：,得出特征方程：,求解特征方程,是一個一元二次方程，由：,因為值有可能大于0等于0,或小于0,故對應的不同取值,解有三種情況. 故,化簡之后的方程：,通解為： , , ,其中,由此得到國民收入的計算公式,代入原方程就可以計算出本期消費,本期私人投資.假設邊際消費傾向,加速數(shù),政府每期開支相同,從上期國

27、民收入中來的本期消費為零,那么,投資當然也是零,故,代入數(shù)據(jù)后,總結如下表2-3：時期 政府購買本期消費本期私人投資 國民收入總 額變動趨勢11.000.000.001.00-21.000.500.502.00復蘇31.001.000.502.50繁榮41.001.250.252.50繁榮51.001.250.002.25衰退61.001.125-0.1252.00衰退71.001.00-0.1251.875蕭條81.000.9375-0.06251.875蕭條91.000.93750.001.9375復蘇101.000.968750.031252.00復蘇111.001.000.031252

28、.03125繁榮121.001.0.2.03125繁榮131.001.0.002.衰退141.001.-0.2.00衰退此模型模型集合了兩種經濟原理,對經濟周期的分析更注重外部的因素,投資影響收入和消費,消費和收入反過來也會影響投資,從而形成經濟擴張或收縮的局面,這是西方學者的對經濟波動的一種解釋.政府對經濟進行干預,就可以改變或緩和經濟波動.采取適當政策刺激投資,鼓勵提高勞動生產效率,就可以提高加速數(shù),就可緩和經濟蕭條.（四）哈羅德-多馬經濟增長模型6 宏觀經濟中的差分方程模型除了上述的薩繆爾森的乘數(shù)-加速數(shù)模型,還有另外一種經濟增長模型,就是由哈羅德和多馬共同提出的哈羅德-多馬經濟增長模型

29、,同樣也是凱恩斯理論的典型.這個模型與乘數(shù)-加速數(shù)模型的結論不同,它認為,經濟的增長是不穩(wěn)定的.具體的模型描述如下：假設,為時期的儲蓄額,為時期的國民收入,則是時期的投資額,邊際儲蓄傾向用表示,與乘數(shù)-加速數(shù)模型一樣,假定加速數(shù)保持不變.都是常數(shù).哈羅德-多馬經濟增長模型的方程如下：, , ,化簡方程,得到：,可得到特征方程：,解之得：,故原方程的通解：.其中,是常數(shù),指的就是要保證所有儲蓄轉化為投資的經濟增長率,經濟學中稱為保證增長率.保證增長率中,是加速數(shù),一般是假定不變的,是邊際儲蓄傾向,表示的是國民收入每增加一個單位,儲蓄會增加的程度.依據(jù)哈羅德-多馬經濟增長模型,如果可以保證時期的儲

30、蓄額和投資保持平衡,儲蓄額可以得到充分的利用,那么國民收入就會按照保證增長率增長.但在實際中,儲蓄與投資之間的完全轉化是難以實現(xiàn)的,因此會造成經濟的增長不穩(wěn)定的狀況,就會得到相應的結論.（五）投入產出模型8如果說上述的兩個經濟增長模型是對經濟增長速度的深刻闡述,那么最后要介紹的投入產出模型,則是更進一步的對結果的探究.投入產出模型,是一種定量分析并衡量經濟效益的模型,可以為國家經濟政策的制定提供依據(jù).從事某一項經濟活動之前會有成本的投入,如人力、財力等,經濟活動結束后會有一定的收益,投入產出模型的提出,就是將投入與產出量化,用數(shù)學方法來進行宏觀經濟的核算,并經過合理的分析后,采取一定的措施,調

31、控成本,提高國家經濟效益.此模型誕生在美國,由著名經濟學家列昂捷夫提出,是國民經濟核算的重要組成之一.我們在這里介紹的是靜態(tài)投入產出模型,是對一個時期的經濟活動的計劃投入、計劃收入以及對應的實際收入進行計算.具體如下：假設,時期初,國家計劃投資額,對應的實際投資,計劃消費,對應實際的消費是,計劃的收入,對應實際的收入是,假定計劃消費可以實現(xiàn),且計劃投資與實際投資相等,則有：,也有： , （2-10）實際的收入是這樣計算的,假定為實際的儲蓄額,則有： , （2-11）由（2-10）和（2-11）兩式可得：,即,實際的投資額與實際儲蓄額相等,但計劃儲蓄與實際儲蓄是不等的,所以,計劃投資額與計劃儲蓄

32、不等.一般本期計劃消費是根據(jù)上一期的收入和消費額指定的,上期的收入與本期的計劃消費是有函數(shù)關系的,假定計劃消費是上期收入的一次線性函數(shù),故有： , 其中,是邊際消費傾向,一般情況下,是常數(shù),代表基本生活消費.將上式代入（2-10）中,可以得到如下的一階常系數(shù)線性差分方程：,用特征根法解方程,原差分方程的特征方程為：,解之得：,故,原差分方程的通解為：.若已知基本的消費和計劃投資（前提假定計劃投資與實際投資相等）,就可以計算出實際的收入.差分方程的應用遠遠不止上述的這些日常生活中的理財行為,以及宏觀經濟上的應用,它的應用也遠不止經濟學這一個領域,它對我們生活的影響可大可小,可以幫助我們更好地規(guī)劃

33、生活,這也體現(xiàn)了以差分方程為代表的數(shù)學理論知識,在實踐中的巨大作用.（六）籌措教育經費模型 1、問題描述中國整體的國民收入水平在改革開放之后大大提高,但由于傳統(tǒng)觀念的影響,老百姓的理財意識并不強,一般家庭的消費支出并不高,人們總是習慣于把錢存入銀行或信用社,但有一個共同的大的消費支出是不可避免的,就是子女的教育經費支出.在一個小孩上大學之前,從小學到高中是義務教育階段,國家會承擔多數(shù)的教育費用,這時候家庭負擔較輕,不會造成經濟壓力.但到了大學階段,學費數(shù)額一下子上升,一般的中國家庭經濟壓力就會加大.為了解決老百姓的這個問題,國家也有了很多的優(yōu)惠政策,如生源地助學貸款、學校方面所提供的助學貸款、

34、貧困助學金等.對此,還是有很多父母不愿孩子在進入社會之初就背負經濟上的壓力,想要讓孩子輕裝上陣,于是就想有計劃地存款,為孩子以后的高等教育做準備.那么,假如某家庭從孩子出生時就開始準備存款,每個月從工資中拿出一部分資金,存入銀行賬戶,用于投資子女以后的高等教育,并計劃在20年后開始從該賬戶中每月支取固定的數(shù)額元,直到子女完成學業(yè),并且在5年內要用完全部資金,要實現(xiàn)這個投資目標,20年后共要籌措多少資金?每月要向銀行存入多少錢? 2、問題分析 此問題可以分成兩個階段,第一階段是在前面20年,每月向銀行存入一筆數(shù)額固定的資金,第二階段,是在20年后將所有資金用于子女的教育,每月支取元,因為大學的學

35、制一般是4年,少數(shù)專業(yè)如機械類,學制為五年,所以假定要在5年內用完該賬戶上的資金. 3、建立模型首先,假設從一開始到20年內總共要籌措元資金,第個月向銀行存款賬戶存入了元,每月存入資金元,同時,設20年后第個月銀行賬戶里有元.（假設月利率為）所以,采用逆向思維,從該賬戶設立20年后開始,每月從該賬戶支取固定數(shù)額元,且5年內用完,賬戶里的錢開始逐年遞減,則關于的差分方程為：,因為是5年內取完前20年存入的元,共有120個月的時間,故，.在已知月利率和每月支取金額的前提下,就可以計算出前20年總共存款的數(shù)額.現(xiàn)暫時繼續(xù)用表示,以向前推算每月應該存款的金額.從開始存錢到20年內,滿足的差分方程為：,

36、因為在銀行存錢的時間長度為20年,共240個月的時間,故,.若在具體的月利率下,已知每月支取具體的存款金額,則可計算出最初每月應該在銀行賬戶中存款的金額.4、模型求解若某家庭是在月利率為的情況下開始存款的,并且假設20年內利率保持不變,20年后每月支取的金額為1000元,可得差分方程：,用特征根法來求解,原方程的特征方程為：,解之得：, 故,方程的通解為：,由,可列出： 解之得：. ,同樣用特征根法可以得出方程的通解：,由,可以列出： 解之得：. 故,綜上所述,在月利率保持在時,要達到投資子女高等教育的目標,20年內總共要籌措資金51725.54元,每月要存入78.13元. 5、結果分析在月利

37、率為0.5%,并且長時間保持不變的情況下,一般家庭要投資子女的教育,從孩子出生后就要開始存款,為孩子的高等教育做準備.理論上每月只需存78.13元,即可滿足孩子20年后所需的高等教育費用,但實際上,因為時間的問題,利率是個不確定的變量,而且通貨膨脹等因素也會影響貨幣的升值或貶值,一般家庭所需存儲的金額應該比78.13元再多增加一些.其實,國外的學者們對于籌措教育經費的研究比我國早,西方學者的研究集中在教育理念上.Helen F.Ladd等學者提出過一種理念,認為教育經費的投入應遵循公平、充分的原則.另外還有一種理論,是比較適合中國的國情的,叫做成本分擔理論,認為教育經費的來源應當多元化,而籌措教育經費模型顯然更適合中國國情,利用差分方程的知識,通過精準地數(shù)學計算,為多數(shù)中國家庭投資子女的教育提供了定量可循的方法.在國內眾多傳統(tǒng)的家庭里,子女的教育費用問題依然是家庭的幾大重要支出之一,隨著家庭經濟水平的提高,作為重大支出的子女教育費用更需謹慎決策.參考眾多的理論成果對中國的家庭來說很有意義.所以,在以差分方程理論為指導的前提下,也應結合經濟學方面的知識,更加理性地計劃,要盡量考慮全面,充分準備.四、 總結差分方程在經濟學問題的模型研究和計算上,有很多便捷之處.如文中所列舉出的與生活息息相關的存貸款模型、