一元二次方程知識點及其應(yīng)用

1、一、相關(guān)知識點1理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為 1未知數(shù)的最高次數(shù)為 2,整式方程，可化為一般形式；2 正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)(1 )明確只有當(dāng)二次項系數(shù) a 0時，整式方程ax2 bx c 0才是一元二次方程。(2) 各項的確定(包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù)).(3) 熟練整理方程的過程3元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解4 列出實際問題的一元二次方程 二解法1 明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而 把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；2根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法

2、等方法解一元二次方程；3體會不同解法的相互的聯(lián)系；4 值得注意的幾個問題：(1)開平方法：對于形如X2 n或(ax b)2 n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解形如x2 n的方程的解法：當(dāng)n 0時，x當(dāng) n 0 時，x-i x2 0 ；當(dāng)n 0時，方程無實數(shù)根。(2) 配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x m)2 n的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟： 移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊； “系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1； 配方：將方程兩邊分

3、別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為(x m)2 n的形式；求解:若n0時，方程的解為xm . n，若n 0時，方程無實數(shù)解。(3)公式法：兀二次方程 axbxc 0( a 0)的根 x -rlbb2 4ac2a當(dāng)b24ac0時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根不相等；當(dāng)b24ac0時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根相等，寫為人X2b2a當(dāng)b24ac0時，方程無實數(shù)根公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定a,b, c的值；代入b2 4ac中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；若 b2 4ac 0代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。（因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何

4、一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。 ）（4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為0，即:若 ab 0,則 a 0或b 0 ； 因式分解法的一般步驟： 若方程的右邊不是零,則先移項,使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零,得 到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程 對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次 根式的化簡問題。 方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解

5、就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程,注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù),以確定方程的類型；（2）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可選用別的方法,此時一定 不要忘記對字母的取值進(jìn)行討論。三、根的判別式 1了解一元二次方程根的判別式概念,能用判別式判定根的情況,并會用判別式求一元二次方程中符合 題意的參數(shù)取值范圍。1）=b2 4ac2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程ax2 bx c 0 （ a 0）當(dāng)00時方程有實數(shù)根；當(dāng) a 00時方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)0時a00時方程有兩個相等的實數(shù)根； ）當(dāng)00時方程無實數(shù)根；從左到右為根的

6、判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2常見的問題類型（1）利用根的判別式定理,不解方程,判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況,如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式,證明一元二次方程根的情況 先計算出判別式（關(guān)鍵步驟）； 用配方法將判別式恒等變形； 判斷判別式的符號； 總結(jié)出結(jié)論（4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根，那一定要對方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0, 元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。（5）元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識綜

7、合命題，解答時要在全面 分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧（6）元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題四、一元二次方程的應(yīng)用1. 數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2. 幾何問題：這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對結(jié)果要 結(jié)合幾何知識檢驗。3. 增長率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（a），增長率（x），變化的次數(shù)（n），變化后的基數(shù)（b）,這四者之間的關(guān)系可以用公式 a（i x）n b表示。4. 其它實際問題（都要注意檢驗解的實際意義，若不符合實

8、際意義，則舍去）。五實際應(yīng)用（1）有100米長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600平方米，在場地的北面有一堵50米的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長40米、寬10米的倉庫，但面積只有 400平方米，不合要求，問應(yīng)如何設(shè)計矩形的長與寬才能符合要求呢（2）讀詩詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽 符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜（36歲）已知：a, b,c分別是 ABC的三邊長，當(dāng)m 0時，關(guān)于x的一元二次方程c（x2 m） b（x2 m） 2 max 0有兩個相等的實數(shù)根，求證：A

9、BC是直角三角形。（4）已知：a,b,c分別是 ABC的三邊長，求證：方程 b2x2 （b2 c2 a2）x c20沒有實數(shù)根。(5)當(dāng)m是什么整數(shù)時，關(guān)于x的一元二次方程 mx2 4x 40與x2 4mx 4m2 4m 50的根都是整數(shù)(m 1)m21(1 )當(dāng)m為何值時,方程沒有實(6)已知關(guān)于x的方程x2 2x 0，其中m為實數(shù),x 2x 2m數(shù)根(2)當(dāng)m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根求出這三個實數(shù)根。答案：(1) m 2 (2) x 1, 12.(二)一元二次方程的解法1.開平方法解下列方程：(1) 5x2 125 0 (x-i5, x25)(2) 169(x 3)2289X

10、i5613，X222)13(3) y23610 (原方程無實根)(4)(1、3)m2(mim22. 配方法解方程:(1) x2 2x 50y25y(X3. 公式法解下列方程:(1) 3x2 6x 2(x2、3p(P1P2- 3 )4.因式分解法解下列方程:1 2(1) x 90 ( x4(2) y24y 450 ( y19,y25)213(3) 8x2 10x 3 0 ( x1,x242 7x20( xi0, x2. 3 )5解法的靈活運用（用適當(dāng)方法解下列方程）(1)2(2x 7)2.128c2,2m m 12(m22m)2 ( m6 解含有字母系數(shù)的方程（解關(guān)于x的方程）：(1)x22mx

11、 m2n2Xim n, x2(2)x23a24 ax2ax13a 1,x2元二次方程的根的判別式（三）1.不解方程判別方程根的情況:（1） 4x2 x 3 7x （有兩個不等的實數(shù)根）(2) 3(x22) 4x（無實數(shù)根）（1）有兩個不等的實數(shù)根(k1且k（2）有兩個相等的實數(shù)根(k1)（3）無實數(shù)根(k1)90)2)x13.已知關(guān)于x的方程 4x2 （m2. k為何值時，關(guān)于x的二次方程kx2 6xm有兩個相等的實數(shù)根.求m的值和這個方程的根.m2, x1X2或 m 10,xi3X2-)24若方程x2 2(a 1)x a2 4a 5 0有實數(shù)根，求：正整數(shù) a.(a 1, a 2, a 3)

12、5對任意實數(shù) m求證：關(guān)于x的方程(m21)x2 2mx m240無實數(shù)根.6. k 為何值時，方程(k 1)x2 (2 k 3)x (k 3)0有實數(shù)根.7.設(shè)m為整數(shù)，且4 m 40時，方程x22( 2m 3)x 4m2 14m 80有兩個相異整數(shù)根,的值及方程的根。(當(dāng)m =12時，方程的根為x-i 16, x2 26 ；當(dāng)m=24時，方程的根為x1 38,x2 52 )3 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售增加盈利，盡快1元，商場每天可多售出2減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價件，若商場平均每天要盈利1200元，

13、每件襯衫應(yīng)降價多少元(20元)4. 已知甲乙兩人分別從正方形廣場 ABCD勺頂點B、C同時出發(fā)，甲由 C向D運動，乙由B向C運動，甲 的速度為每分鐘1千米，乙的速度每分鐘2千米，若正方形廣場周長為 40千米，問幾分鐘后，兩人相距2. 10 千米 (2 分鐘后)7.某科技公司研制一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200萬元資金，用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽訂的合同上約定兩年到期時一次性還本付息，利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場后由于產(chǎn)銷對路，使公司在兩年到期時除還 清貸款的本金和利息夕卜,還盈余72萬元，若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分?jǐn)?shù)相同，試求這個百分?jǐn)?shù).(20%)&如圖，東西和南北向兩條街道交于O點，甲沿東