專題：與圓有關(guān)的最值問題

1、與圓有關(guān)的最值（取值范圍）問題引例1:在坐標系中，點A的坐標為（3 ,0）,點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內(nèi)一點，且AC=2設 tan / BOC=m則m的取值范圍是 .引例2 :如圖，在邊長為1的等邊 OAB中，以邊AB為直徑作O D,以O為圓心OA長為半徑作O O, C為半圓 弧Ab上的一個動點（不與 A、B兩點重合），射線AC交O O于點E, BC=a , AC=b，求a b的最大值.引例3:如圖，/ BAC=60，半徑長為1的圓O與/ BAC的兩邊相切，P為圓O上一動點，以P為圓心，PA長 為半徑的圓P交射線AB、A . 3 B . 6AC于D E兩點，連接3 3DE則線段(

2、).V9A也是圓中的最值問題,主要考察了圓內(nèi)的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思維方此題是一個圓中的動點問題， 法，注重了初、高中知識的銜接1 .引例1:通過隱藏圓（高中軌跡的定義），尋找動點C與兩個定點 O A構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為 特殊位置（相切）進行線段、角度有關(guān)計算，同時對三角函數(shù)值的變化（增減性）進行了延伸考查，其實質(zhì)是高中“直線斜率”的直接運用；2 .引例2:通過圓的基本性質(zhì)，尋找動點C與兩個定點A、B構(gòu)成三角形的不變條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是高中“柯西不等式”的直接運用；3.弓側(cè)3:本例動點的個數(shù)由引例 1、引例2中的一個動點，增加為三個動點，從性質(zhì)運用、構(gòu)圖形式、 動

3、點關(guān)聯(lián)上增加了題目的難度，解答中還是注意動點 D、E與一個定點A構(gòu)成三角形的不變條件 （/ DAE=60 ）,構(gòu)造弦DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑AP之間的數(shù)量關(guān)系，其實質(zhì)是高中“ 正弦定理”的直接運用；綜合比較、回顧這三個問題，知識本身的難度并不大，但其難點在于學生不知道轉(zhuǎn)化的套路，只能憑直觀感覺去尋找、猜想關(guān)鍵位置來求解，但對其真正的幾何原理卻無法通透二、解題策略1 .直觀感覺，畫出圖形；2 .特殊位置，比較結(jié)果；3 .理性分析動點過程中所維系的不變條件，通過幾何構(gòu)建，尋找動量與定量（常量）之間的關(guān)系，建立 等式，進行轉(zhuǎn)化三、中考展望與題型訓練 例一、斜率運用如圖，A點

4、的坐標為（-2 , 1）,以A為圓心的O A切x軸于點B, P（a, b）為O A上的一個動點，請分別探索:b a的最大值；b a的最小值;【拓展延伸】：b 2a的范圍；b 2a的范圍;例二、圓外一點與圓的最近點、最遠點1 如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3點D是平面內(nèi)的一個動點，且 AD=2, M為BD的中點，在 D點運動過程中，線段 CM長度的取值范圍是2.如圖，O O的直徑為4, C為O O上一個定點，/ ABC=30 ,動點P從A點出發(fā)沿半圓弧 Ab向B點運動(點P與點C在直徑AB的異側(cè))，當P點到達B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD

5、交PB的延長線于D點.(1)在點P的運動過程中，線段CD長度的取值范圍為(2)在點P的運動過程中，線段AD長度的最大值為例三、正弦定理1 如圖， ABC中，/ BAC=60，/ ABC=45 , AB=2.2 , D是線段 BC上的一個動點，以 AD為直徑作OO 分A、B不重合)，M是CD的中點，過點2.如圖，定長弦 CD在以AB為直徑的O O上滑動(點 C D與點丄AB于點P,若CD=3 AB=8貝U PM長度的最大值是 .C作CP例四、柯西不等式、配方法1如圖，已知半徑為2的OO與直線I相切于點A,點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線I的垂設PC的長為x ( 2V x V 4),則

6、當x=時，PD?CD勺值最線，垂足為C, PC與OO交于點D,連接PA PB, 大，且最大值是為亠2.如圖，線段AB=4, C為線段AB上的一個動點，以AC BC為邊作等邊 ACD和等邊 BCE OO外接于 CDE 則O 0半徑的最小值為().B. 23 C.33 2FD. 2E3.在平面直角坐標系中，以坐標原點0為圓心，2為半徑畫O O, P是O O上一動點，且 P在第一象限內(nèi)，過點P作O 0的切線與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,線段AB長度的最小值是.7例四、相切的應用（有公共點、最大或最小夾角）1 如圖，在 Rt ABC中，/ C=90, AC=6 BC=8則線段CE長度的最小值是D

7、為AB邊上一點，過點 D作CD的垂線交直線 BC于點E,2.如圖，Rt ABC中，/ C=90,Z A=30, AB=4,以AC上的一點 0為圓心 0A為半徑作O 0,若O 0與邊BC始終有交點（包括 B、C兩點），則線段A0的取值范圍是 _.3.如圖，射線 PQ/射線 MN PM1 MN A為PM的中點，0為射線PQ上的一個動點，AC丄AB交MN于點C,當以0為圓心，以0B為半徑的圓與線段PM有公共點時（包括P M兩點），則線段0P長度的最小值為m B例五、其他幾何知識的運用如圖所示，AC丄AB, AB=6, AC=4,點D是以AB為直徑的半圓 0上一動點，DE丄CD交直線AB于點E,設/

8、DAB=, （0 0)時，以O點為圓心的圓與邊 AC相切于點D,與邊AB相交于E、F兩點, 過E作EG丄DE交射線BC于 G.(1) 若點G在線段BC上，則t的取值范圍是(2) 若點G在線段BC的延長線上，則3.如圖，O M O N的半徑分別為2cm, 直線PQ與連心線I所夾的銳角度數(shù)為(A)乜123 (C)t的取值范圍是.4cm,圓心距 MN=10cm P為O M上的任意一點, 當P、Q在兩圓上任意運動時，3(D)Q為O N上的任意一點,tan 的最大值為().(B)4.如圖，在矩形 ABCD中, AB=3, BC=4,個動點，連接 AP OP,則厶AOP面積的最大值為(215O為矩形(A)

9、4(B)(C)ABCD的中心，以).358(D)D為圓心1為半徑作O D, P為O D上的一1745.如圖，在 Rt ABC中，/ C=90, AC=8, BC=6 經(jīng)過點 Q則線段PQ長度的最小值是().A.翌24C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點 P、D . 4.26.如圖，在等腰 Rt ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB的中點，點E在AB邊上運動(點E不與點A重合)， 過A、D E三點作O O,O O交AC于另一點F,在此運動變化的過程中，線段EF長度的最小值為ACFPQEOADB2CA2B12DBA工2 fl)OCCBD42 2BAydQOAxDBPOAx

10、cC. 3()A. ,78.如圖，已知 一個動點，射線A、B兩點的坐標分別為(-2 , 0) AD與y軸交于點E1111 .在直角坐標系中 為9.如圖，等腰切線長PQ長度的最小值為(12.在坐標系中，點 丄AB于點B,貝U tan10.如圖/ BAC= 60，半徑長1O P交射線AB AC于D E兩點,的圓心坐標為(0,-1)，半徑為1 , D是OC上的 ().A . 3的OO與/ BAC的兩邊相切，P為O O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的 連接 DE則線段DE長度的范圍為 .X1C點 A的坐標為(3, 0)，點P ( m, n)是第一象限內(nèi)一點，且AB=2則m n的范圍A的坐標為(3, 0),點B是y軸右側(cè)一點，且 AB=2,點C上直線y=x+1上一動點，且 CB ACB m，貝U m的取值范圍是.BD7.如圖，A、B兩點的坐標分別為(2 , 0)、(0 , 2) , O C的圓心的坐標為 一個動點，線段 DA與y軸交于點E,UA ABE面積的最小值是2逼233Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=BC=4 O C的半徑為1,點P在斜邊 AB上，PQ切O O于點 Q 則).(0 , 1)則厶ABE面積的最大值是1