中考數(shù)學考點總動員：專題（36）方程（組）的應用

1、考點三十六：方程（組）的應用 聚焦考點溫習理解1列方程(組)解應用題的一般步驟(1)審題；(2)設未知數(shù)；(3)找出包含未知數(shù)的等量關系式；(4)列出方程（組；(5)求出方程（組）的解；(6)檢驗并作答2各類應用題的等量關系(1)行程問題：路程速度時間；相遇問題：兩者路程之和全程；追及問題：快者路程慢者先走路程(或相距路程)慢者后走路程(2)工程問題：工作量工作效率工作時間（3）幾何圖形問題面積問題：體積問題還有其他幾何圖形問題：如線段、周長等（4）增長率問題：如果基數(shù)用a表示，末數(shù)用A表示，x表示增長率，時間間隔用n表示，那么增長率問題的數(shù)量關系表示為：a(1x)n=A(5)利潤問題利潤=銷

2、售價-進貨價利潤率=銷售價=（1+利潤率）進貨價（6）利息問題利息=本金利率期數(shù)本息和=本金+利息名師點睛典例分類考點典例一、一元一次方程的應用【例1】(2021.天津市，第23題，10分)（本小題10分）1號探測氣球從海拔5 m處出發(fā)，以1m/min的速度上升.與此同時，2號探測氣球從海拔15m處出發(fā)，以0.5m/min的速度上升. 兩個氣球都勻速上升了50min.設氣球上升時間為x min（0x50）.（）根據(jù)題意，填寫下表上升時間/min1030x1號探測氣球所在位置的海拔/m152號探測氣球所在位置的海拔/m30 （）在某時刻兩個氣球能否位于同一高度？如果能，這時氣球上升了多長時間？位

3、于什么高度？如果不能，請說明理由； （）當30x50時，兩個氣球所在位置的海拔最多相差多少米？【答案】（）35,x+5；20,0.5x+15.（）兩個氣球能位于同一高度，理由見解析，此時，氣球上升了20min，都位于海拔25m的高度.（）兩個氣球所在位置的海拔最多相差15米.試題解析：（）35,x+5；20,0.5x+15.（）兩個氣球能位于同一高度.根據(jù)題意，x+5=0.5x+15，解得x=20.有x+5=25.答：此時，氣球上升了20min，都位于海拔25m的高度.（）當30x50時，由題意，可知1號氣球所在位置的海拔始終高于2號氣球，設兩個氣球在同一時刻所在位置的海拔相差有y米，則y=（

4、x+5）（0.5x+15）=0.5x10.0.50，y隨x的增大而增大.當x=50時，y取得最大值15.答：兩個氣球所在位置的海拔最多相差15米.考點：列代數(shù)式；一元一次方程的應用；一次函數(shù)的應用.【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，一元一次方程的應用解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出等量（不等量）關系，列方程（不等式）求解(1)列方程解應用題，要抓住關鍵性詞語，如共、多、少、倍、幾分之幾等，順著題意來理清等量關系，可采用直接設未知數(shù)，也可以采用間接設未知數(shù)的方法，要根據(jù)實際情況靈活運用(2)當要求的未知量有兩個時，可以用字母x表示其中一個，再根據(jù)兩個未知量之間的關系，用含x的式子

5、表示另一個量，解方程后，再代入求出另一個未知量的值【舉一反三】(2021黑龍江哈爾濱）美術館舉辦的一次畫展中，展出的油畫作品和國畫作品共有100幅，其中油畫作品數(shù)量是國畫作品數(shù)量的2倍多7幅，則展出的油畫作品有_幅.【答案】69【解析】試題分析：設國畫為x幅，則油畫為(2x+7)幅，根據(jù)題意可得：x+2x+7=100，解得：x=31，則2x+7=69，即油畫作品的數(shù)量為69幅.考點：一元一次方程的應用.考點典例二、二元一次方程組的應用 【例2】（2021湖北黃岡，16題，分）（6分）已知A，B兩件服裝的成本共500元，鑫洋服裝店老板分別以30%和20%的利潤率定價后進行銷售，該服裝店共獲利13

6、0 元，問A，B兩件服裝的成本各是多少元？【答案】300，200考點：二元一次方程組的應用【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程組求解【舉一反三】(2021湖北孝感）（本題滿分9分）某服裝公司招工廣告承諾：熟練工人每月工資至少3000元每天工作8小時，一個月工作25天月工資底薪800元，另加計件工資加工1件型服裝計酬16元，加工1件型服裝計酬12元在工作中發(fā)現(xiàn)一名熟練工加工1件型服裝和2件型服裝需4小時，加工3件型服裝和1件型服裝需7小時（工人月工資底薪計件工資）（1）一名熟練工加工1件型服裝和1件型服裝各需要多少小時？（4分）

7、（2）一段時間后，公司規(guī)定：“每名工人每月必須加工，兩種型號的服裝，且加工型服裝數(shù)量不少于型服裝的一半”設一名熟練工人每月加工型服裝件，工資總額為元請你運用所學知識判斷該公司在執(zhí)行規(guī)定后是否違背了廣告承諾？（5分）【答案】（1）；（2）違背.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目中2個等量關系列出，求出結(jié)果；（2）通過一次函數(shù)的增減性求出最大值為2800，小于開始的承諾3000，故可以判斷違背了廣告承諾。試題解析：解：（1）設熟練工加工1件型服裝需要x小時，加工1件型服裝需要y小時由題意得：，解得：答：熟練工加工1件型服裝需要2小時，加工1件型服裝需要1小時 4分 .考點：方程組，函數(shù)應用考點典例三

8、、分式方程的應用【例3】（2021聊城，第23題）在“母親節(jié)”前夕，某花店用16000元購進第一批禮盒鮮花，上市后很快預售一空根據(jù)市場需求情況，該花店又用7500元購進第二批禮盒鮮花已知第二批所購鮮花的盒數(shù)是第一批所購鮮花的，且每盒鮮花的進價比第一批的進價少10元問第二批鮮花每盒的進價是多少元？K【答案】150元【解析】試題分析：可設第二批鮮花每盒的進價是x元，根據(jù)等量關系：第二批所購鮮花的盒數(shù)是第一批所購鮮花的，列出方程求解即可試題解析：解：設第二批鮮花每盒的進價是x元，依題意有，解得x=150，經(jīng)檢驗：x=150是原方程的解故第二批鮮花每盒的進價是150元考點：分式方程的應用【點睛】此題考

9、查了分式方程的應用，關鍵是讀懂題意，找出題目中的數(shù)量關系，根據(jù)數(shù)量關系列出方程，分式方程解應用題注意雙重檢驗，先檢驗是否有增根，再檢驗是否符合題意【舉一反三】（2021遼寧沈陽）高速鐵路列車已成為中國人出行的重要交通工具，其平均速度是普通鐵路列車平均速度的3倍，同樣行駛690km，高速鐵路列車比普通鐵路列車少運行了4.6h，求高速鐵路列車的平均速度【答案】300km/h考點：分式方程的應用考點典例四、一元二次方程的應用【例4】某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加利潤，盡量減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均

10、每天可多售出2件；（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？【答案】（1）每件襯衫應降價20元（2）每件襯衫降價15元時，商場平均每天贏利最多，最大利潤為1250元【解析】試題分析：此題屬于經(jīng)營問題，若設每件襯衫應降價x元，則每件所得利潤為（40-x）元，但每天多售出2x件即售出件數(shù)為（20+2x）件，因此每天贏利為（40-x）（20+2x）元，進而可根據(jù)題意列出方程求解試題解析：（1）設每件襯衫應降價x元，根據(jù)題意得（40-x）（20+2x）=1200，整理得2x2-60x+400=0解得x1=20，x2=10因為要盡量減少

11、庫存，在獲利相同的條件下，降價越多，銷售越快，故每件襯衫應降20元答：每件襯衫應降價20元（2）設商場平均每天贏利y元，則y=（20+2x）（40-x）=-2x2+60x+800=-2（x2-30x-400）=-2（x-15）2-625=-2（x-15）2+1250當x=15時，y取最大值，最大值為1250答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天贏利最多，最大利潤為1250元考點：一元二次方程的應用【點睛】(1)現(xiàn)實生活中存在大量的實際應用問題，需要用一元二次方程的知識去解決，解決這類問題的關鍵是在充分理解題意的基礎上，尋求問題中的等量關系，從而建立方程(2)解出方程的根要結(jié)合方程和具體實際選擇

12、合適的根，舍去不合題意的根當降價20元和10元時，每天都贏利1200元，但降價10元不滿足“盡量減少庫存”，所以做題時應認真審題，不能漏掉任何一個條件【舉一反三】(2021湖北襄陽,21題)如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？【答案】10，8【解析】考點：1一元二次方程的應用；2幾何圖形問題課時作業(yè)能力提升一選擇題1. （2021.山東泰安，第7題）（3分）小亮的媽媽用28元錢買了甲、乙兩種水果，甲種水果每千克4元，乙種水果每千克

13、6元，且乙種水果比甲種水果少買了2千克，求小亮媽媽兩種水果各買了多少千克？設小亮媽媽買了甲種水果x千克，乙種水果y千克，則可列方程組為（）A B C D【答案】A【解析】試題分析：設小亮媽媽買了甲種水果x千克，乙種水果y千克，由題意得故選A考點：由實際問題抽象出二元一次方程組2. （2021遂寧）遂寧市某生態(tài)示范園，計劃種植一批核桃，原計劃總產(chǎn)量達36萬千克，為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良核桃品種，改良后平均每畝產(chǎn)量是原計劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計劃增加了9萬千克，種植畝數(shù)減少了20畝，則原計劃和改良后平均每畝產(chǎn)量各多少萬千克？設原計劃每畝平均產(chǎn)量x萬千克，則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬千克，

14、根據(jù)題意列方程為（）A B C D【答案】A【解析】試題分析：設原計劃每畝平均產(chǎn)量x萬千克，由題意得：，故選A考點：由實際問題抽象出分式方程3. （2021巴中）某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率設每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（）A B C D【答案】B【解析】試題分析：設每次降價的百分率為x，由題意得：，故選B考點：1由實際問題抽象出一元二次方程；2增長率問題4（2021黑龍江省黑河市、齊齊哈爾市、大興安嶺）為了開展陽光體育活動，某班計劃購買毽子和跳繩兩種體育用品，共花費35元，毽子單價3元，跳繩單價

15、5元，購買方案有（）A1種 B2種 C3種 D4種【答案】B考點：二元一次方程的應用5. .(2021湖北衡陽，11題，3分)綠苑小區(qū)在規(guī)劃設計時，準備在兩幢樓房之間，設置一塊面積為900平方米的矩形綠地，并且長比寬多10米設綠地的寬為米，根據(jù)題意，可列方程為（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題意長比寬多10米設綠地的寬為米，則長為（x+10）米，由矩形綠地的面積為900平方米，面積=長寬，可列方程.考點： 一元二次方程的應用6.用10米長的鋁材制成一個矩形窗框，使它的面積為6平方米，若設它的一條邊長為x米，則根據(jù)題意可列出關于x的方程為( )Ax(5x)6 Bx(5x)6C

16、x(10x)6 Dx(102x)6【答案】B【解析】試題分析：一邊長為x米，則另外一邊長為：5-x，根據(jù)它的面積為6平方米，即可列出方程式試題解析：一邊長為x米，則另外一邊長為：5-x，由題意得：x（5-x）=6，故選B考點：由實際問題抽象出一元二次方程7.某果園2011年水果產(chǎn)量為100噸，2021年水果產(chǎn)量為144噸，求該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率設該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為( )A144(1x)2100 B100(1x)2144C144(1x)2100 D100(1x)2144【答案】D考點：由實際問題抽象出一元二次方程8.某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50

17、臺機器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機器所需時間與原計劃生產(chǎn)450臺機器所需時間相同設原計劃平均每天生產(chǎn)x臺機器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A B C D 【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機器的時間與原計劃生產(chǎn)450臺機器的時間相同，所以可得等量關系為：現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機器時間=原計劃生產(chǎn)450臺時間試題解析：設原計劃每天生產(chǎn)x臺機器，則現(xiàn)在可生產(chǎn)（x+50）臺依題意得：故選：A考點：由實際問題抽象出分式方程9.某果園2011年水果產(chǎn)量為100噸，2021年水果產(chǎn)量為144噸，求該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率設該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為( )A144(1x

18、)2100 B100(1x)2144C144(1x)2100 D100(1x)2144【答案】D考點：由實際問題抽象出一元二次方程二、填空題10. （2021達州）新世紀百貨大樓“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施經(jīng)調(diào)査，如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，則每件童裝應降價多少元？設每件童裝應降價x元，可列方程為 【答案】（40x）（20+2x）=1200【解析】試題分析：設每件童裝應降價x元，可列方程為：（40x）（20+2x）=1200故答案為：（40x）（20+2x）=12

19、00考點：1由實際問題抽象出一元二次方程；2銷售問題11（2021宜賓）某樓盤2021年房價為每平方米8100元，經(jīng)過兩年連續(xù)降價后，2021年房價為7600元設該樓盤這兩年房價平均降低率為x，根據(jù)題意可列方程為 【答案】【解析】試題分析：設該樓盤這兩年房價平均降低率為x，根據(jù)題意列方程得：，故答案為：考點：1由實際問題抽象出一元二次方程；2增長率問題12.(2021.山東萊蕪第15題，3分)某公司在年的盈利額為萬元，預計年的盈利額將達到萬元，若每年比上一年盈利額增長的百分率相同，那么該公司在年的盈利額為_萬元【答案】220考點：一元二次方程的應用（增長率問題）13.（2021.山東濱州第18

20、題，4分）某服裝廠專門安排210名工人進行手工襯衣的縫制，每件襯衣由2個衣袖、1個衣身、1個衣領組成.如果每人每天能夠縫制衣袖10個，或衣身15個，或衣領12個，那么應該安排 名工人縫制衣袖，才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領正好配套.【答案】120【解析】試題分析：根據(jù)題意可設x縫制衣袖，y人縫制衣身，z人縫制衣領，則x+y+z=210，解由它們構(gòu)成的方程組可求得x=120人.考點：三元一次方程組的應用14.某公園“六一”期間舉行特優(yōu)讀書游園活動，成人票和兒童票均有較大折扣張凱、李利都隨他們的家人參加了本次活動王斌也想去，就去打聽張凱、李利買門票花了多少錢張凱說他家去了3個大人和4個小孩，共

21、花了38元錢；李利說他家去了4個大人和2個小孩，共花了44元錢，王斌家計劃去3個大人和2個小孩，請你幫他計算一下，需準備_元錢買門票【答案】34.【解析】試題分析：設大人門票為x，小孩門票為y，根據(jù)題目給出的等量關系建立方程組，然后解出x、y的值，再代入計算即可考點：二元一次方程組的應用三、解答題15. 某“愛心義賣”活動中，購進甲乙兩種文具共100個，甲文具的個數(shù)比乙文具的2倍多10個，甲文具每個的進貨價比乙文具高10元，將甲、乙兩種文具的進價都提高20%進行銷售，兩種文具共銷售2040元（1）求購進甲文具多少個（2）求乙文具的進貨單價為多少【答案】（1）購進甲文具70個（2）乙文具的進貨單

22、價為10元【解析】試題分析：（1）設購進甲文具x個，根據(jù)購進甲乙兩種文具共100個，可以表示購進乙文具的個數(shù)，然后根據(jù)甲文具的個數(shù)比乙文具的2倍多10個，列出方程即可；（2）設乙文具的進貨單價為y元，根據(jù)甲文具每個的進貨價比乙文具高10元，可以表示甲文具的進貨單價，然后根據(jù)將甲、乙兩種文具的進價都提高20%進行銷售，表示出甲、乙兩種文具的售價，最后根據(jù)兩種文具共銷售2040元，列出方程即可試題解析：（1）設購進甲文具x個，則購進乙文具的個數(shù)為（100-x）個，根據(jù)題意得：x=2（100-x）+10，解得：x=70，則100-x=30，答：購進甲文具70個（2）設乙文具的進貨單價為y元，則甲文具

23、的進貨單價（y+10）元，根據(jù)題意得：30（1+20%）y+70（1+20%）（y+10）=2040，解得：y=10，答：乙文具的進貨單價為10元考點：一元一次方程的應用16.食品安全是關乎民生的問題，在食品中添加過量的添加劑對人體有害，但適量的添加劑對人體無害且有利于食品的儲存和運輸，某飲料加工廠生產(chǎn)的A，B兩種飲料均需加入同種添加劑，A飲料每瓶需加該添加劑2克，B飲料每瓶需加該添加劑3克，已知270克該添加劑恰好生產(chǎn)了A，B兩種飲料共100瓶，問A，B兩種飲料各生產(chǎn)了多少瓶？【答案】A飲料生產(chǎn)了30瓶，則B飲料生產(chǎn)了70瓶.考點：一元一次方程的應用17.（2021湖南長沙）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的

24、廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展，據(jù)調(diào)查，長沙市某家小型“大學生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件?，F(xiàn)假定該公司每月的投遞總件數(shù)的增長率相同：(1)、求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率；(2)、如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件，那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務？如果不能，請問至少需要增加幾名業(yè)務員？【答案】10%；不能，至少增加2名業(yè)務員.【解析】試題分析：首先設該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程，求出x的值，得出增長率；首先分別求出6月份的快遞數(shù)量和能送達的快遞數(shù)量，然后進行比較得出答案，應總的快件數(shù)除以每名快遞員能送的數(shù)量得出總?cè)藬?shù)，求出增加的人數(shù).試題解析：(1)、設該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意得：10=12.1 解得：=0.1 =2.1(舍去) 即月平均增長率為10%(2) 、6月份的快遞數(shù)量為：12.11.1=13.31(萬件)快遞員能送的快遞數(shù)量為：210.6=12.6萬件13.31萬件 不能完成快遞投遞任務2223 2321=2(名) 即至少需要增加2名業(yè)務員.考點：一元二次方程的實際應用.18.(2021遼寧葫蘆島）（12分）某中學要進行理、化實驗加試，需用九年級兩個班級的學生整