2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：9.1 平面、空間兩條直線

1、第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點(diǎn)目標(biāo)定位1.直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.2.線線、線面、面面的平行與垂直的判定和性質(zhì)，三垂線定理.3.兩條異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角.4.點(diǎn)到平面的距離，線面距離，平行平面的距離，異面直線的距離，兩點(diǎn)間的球面距離.5.空間向量及其加法、減法，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的數(shù)量積.6.直棱柱、平行六面體及正棱錐的性質(zhì)，球的體積及表面積的計(jì)算.復(fù)習(xí)方略指南1.立體幾何不外乎兩大問(wèn)題，一類(lèi)是空間位置關(guān)系的論證，這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)熟練掌握公理、定理、定義或用空間向量來(lái)論證，位置關(guān)系的論證要注意其間的轉(zhuǎn)化.如線面平行可轉(zhuǎn)化

2、為線線平行等；另一類(lèi)問(wèn)題是空間量（空間角、距離、體積、側(cè)面積）的計(jì)算，如線面角、二面角的求解.2.立體幾何在高考中，選擇題、填空題一般出中等難度的題，解答題中可能會(huì)有難題.3.歸納總結(jié)，理線串點(diǎn)，從知識(shí)上可分為：（1）平面的基本性質(zhì)；（2）兩個(gè)特殊的位置關(guān)系，即線線、線面、面面的平行與垂直；（3）三個(gè)角、三個(gè)距離.根據(jù)每部分內(nèi)容選擇典型的例題，總結(jié)出解題方法，對(duì)于空間位置關(guān)系的論證及空間角與距離的求解，還要注意把空間向量貫徹、滲透其中，通過(guò)一題多解，使學(xué)生把所學(xué)知識(shí)真正學(xué)活、會(huì)用.4.抓主線攻重點(diǎn)，可以針對(duì)一些重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行訓(xùn)練，平行和垂直是位置關(guān)系的核心，而線面垂直又是核心中的核心，線面角、二

3、面角、距離均與線面垂直密切相關(guān).因此對(duì)于這部分內(nèi)容復(fù)習(xí)中要強(qiáng)化，并要注意用空間向量去解空間位置關(guān)系及空間量的求解.5.復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉，立體幾何中蘊(yùn)涵著豐富的思想方法，如割補(bǔ)思想、降維轉(zhuǎn)化思想即化空間問(wèn)題到平面圖形中去解決，又如證線面間的位置關(guān)系常需經(jīng)過(guò)多次轉(zhuǎn)換才能獲得解決，又如可把空間位置關(guān)系及空間量的求解轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，這些無(wú)不體現(xiàn)著化歸轉(zhuǎn)化的思想.因此自覺(jué)地學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去解題，常能收到事半功倍的效果.9.1 平面、空間兩條直線知識(shí)梳理1.平面的基本性質(zhì)，即三個(gè)公理及推論.2.公理4及等角定理.3.空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種，即平行、相交及異面.

4、4.兩條異面直線所成的角及距離，求作異面直線所成的角時(shí)，往往取題中的特殊點(diǎn).點(diǎn)擊雙基1.若a，b是異面直線，則只需具備的條件是A.a平面，b平面，a與b不平行B.a平面，b平面，=l，a與b無(wú)公共點(diǎn)C.a直線c，bc=A，b與a不相交D.a平面，b 是的一條斜線答案：C2.如下圖，直線a、b相交于點(diǎn)O且a、b成60角，過(guò)點(diǎn)O與a、b都成60角的直線有A.1條 B.2條 C.3條 D.4條解析：在a、b所確定的平面內(nèi)有一條，平面外有兩條.答案：C3.（2004年北京朝陽(yáng)區(qū)模擬題）如下圖，正四面體SABC中，D為SC的中點(diǎn)，則BD與SA所成角的余弦值是A. B. C. D.解析：取AC的中點(diǎn)E，連

5、結(jié)DE、BE，則DESA，BDE就是BD與SA所成的角.設(shè)SA=a，則BD=BE= a，DE= a，cosBDE= .答案：C4.如下圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a， 那么（1）哪些棱所在直線與直線BA1成異面直線？_.（2）直線BA1與CC1所成角的大小為_(kāi).（3）直線BA1與B1C所成角的大小為_(kāi).（4）異面直線BC與AA1的距離為_(kāi).（5）異面直線BA1與CC1的距離是_.答案：（1）D1C1、D1D、C1C、C1B1、DC、AD （2）45 （3）60 （4）a （5）a5.（2002年全國(guó)）正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，則這個(gè)棱柱

6、的側(cè)面對(duì)角線E1D與BC1所成的角是_.解析：連結(jié)FE1、FD，則由正六棱柱相關(guān)性質(zhì)可得FE1BC1，在EFD中，EF=ED=1，F(xiàn)ED=120，F(xiàn)D=.在EFE1和EE1D中，易得E1F=E1D=，E1FD是等邊三角形，F(xiàn)E1D=60.而FE1D即為E1D與BC1所成的角.答案：60說(shuō)明：本題主要考查正六棱柱的性質(zhì)及異面直線所成角的求法.典例剖析【例1】 如下圖，四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23.求證：EF、GH、BD交于一點(diǎn).證明：連結(jié)GE、HF，E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，GEAC.又DFFC=23，DHHA=2

7、3，HFAC.GEHF.故G、E、F、H四點(diǎn)共面.又EF與GH不能平行，EF與GH相交，設(shè)交點(diǎn)為O.則O面ABD，O面BCD，而平面ABD平面BCD=BD.EF、GH、BD交于一點(diǎn).評(píng)述：證明線共點(diǎn)，常采用證兩直線的交點(diǎn)在第三條直線上的方法，而第三條直線又往往是兩平面的交線.【例2】 A是BCD平面外的一點(diǎn)，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，（1）求證：直線EF與BD是異面直線；（2）若ACBD，AC=BD，求EF與BD所成的角.（1）證明：用反證法.設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾.

8、故直線EF與BD是異面直線.（2）解：取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則EGBD，所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角.在RtEGF中，求得FEG=45，即異面直線EF與BD所成的角為45.特別提示證明兩條直線是異面直線常用反證法；求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為90；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作（找）證算”.注意，異面直線所成角的范圍是（0，.【例3】 長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且ab，求：（1）下列異面直線之間的距離：AB與CC1；AB與A1C1；AB

9、與B1C.（2）異面直線D1B與AC所成角的余弦值.（1）解：BC為異面直線AB與CC1的公垂線段，故AB與CC1的距離為b.AA1為異面直線AB與A1C1的公垂線段，故AB與A1C1的距離為c.過(guò)B作BEB1C，垂足為E，則BE為異面直線AB與B1C的公垂線，BE=，即AB與B1C的距離為.（2）解法一：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)F，連結(jié)OF、AF，則OFD1B，AOF就是異面直線D1B與AC所成的角.AO=，OF= BD1=，AF=，在AOF中，cosAOF=.解法二：如下圖，在原長(zhǎng)方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)同樣的長(zhǎng)方體，連結(jié)BG、D1G，則ACBG，D1BG（或其補(bǔ)角）為D1B與AC所

10、成的角.BD1=，BG=，D1G=，在D1BG中，cosD1BG=，故所求的余弦值為.深化拓展利用中位線平移和利用補(bǔ)形平移是處理長(zhǎng)方體中異面直線所成角的重要方法.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.兩條相交直線l、m都在平面內(nèi)且都不在平面內(nèi).命題甲：l和m中至少有一條與相交，命題乙：平面與相交，則甲是乙的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件解析：若l和m中至少有一條與相交，不妨設(shè)l=A，則由于l，A.而A，與相交.反之，若=a，如果l和m都不與相交，由于它們都不在平面內(nèi)，l且m.la且ma，進(jìn)而得到lm，與已知l、m是相交直線矛盾.因此l和m中至少有一條與相交.答案：C2.（

11、2004年天津，6）如下圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于A. B. C. D.解法一：取面CC1D1D的中心為H，連結(jié)FH、D1H.在FHD1中，F(xiàn)D1=，F(xiàn)H=，D1H=.由余弦定理，得D1FH的余弦值為.解法二：取BC的中點(diǎn)G.連結(jié)GC1FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連結(jié)HE、OH，則OEH為異面直線所成的角.在OEH中，OE=，HE=，OH=.由余弦定理，可得cosOEH=.答案：B3.如下圖，四面體ABCD中，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，若CD=2AB=2，EFAB，則E

12、F與CD所成的角等于_.解析：取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，易知EG=1，F(xiàn)G=.由EFAB及GFAB知EFFG.在RtEFG中，求得GEF=30，即為EF與CD所成的角.答案：304.（2003年上海）在正四棱錐PABCD中，若側(cè)面與底面所成二面角的大小為60，則異面直線PA與BC所成角的大小等于_.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）答案：arctan25.如下圖，設(shè)不全等的ABC與A1B1C1不在同一平面內(nèi)，且ABA1B1，BCB1C1，CAC1A1.求證：AA1、BB1、CC1三線共點(diǎn).證明：不妨設(shè)ABA1B1，AA1BB1=S，BCB1C1，BB1面BCC1B1，S面BBC1B1.同理，S面

13、ACC1A1.SCC1，即AA1、BB1、CC1三線共點(diǎn)于S.6.在三棱錐ABCD中，AD=BC=2a，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF=a，求AD與BC所成的角.解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)ME、MF，則MEBC，MFAD，所以EMF（或其補(bǔ)角）是直線AD與BC所成的角.在EMF中，ME=BC=a，MF=AD=a，EF=a，cosEMF=，EMF=120，因此異面直線AD與BC所成的角為60.培養(yǎng)能力7.如下圖，在三棱錐PABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分別是PC和AB上的點(diǎn)且PEEC=AFFB=32.（1）求證：PABC；（2）設(shè)EF與PA、BC所成的角分別為、，求證：+=90.證明

14、：（1）取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD、PD.則BC平面ADP，AP平面ADP，APBC.（2）在AC上取點(diǎn)G，使AGGC=32，連結(jié)EG、FG，則EGPA，F(xiàn)GBC，從而EGF為PA與BC所成的角，由（1）知EGF=90，而GEF、GFE分別是EF與PA、EF與BC所成的角、，+=90.8.如下圖，設(shè)ABC和A1B1C1的三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，且= .試求的值.解：依題意，因?yàn)锳A1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，且=，所以ABA1B1，ACA1C1，BCB1C1.由平移角定理得BAC=B1A1C1，ABC=A1B1C1，ABCA1B1C1，所以=（）2=.說(shuō)明：利用

15、平移定理，可證明空間兩個(gè)角相等或兩個(gè)三角形相似、全等；利用平行公理，可證明空間兩條直線平行，從而解決相關(guān)問(wèn)題.探究創(chuàng)新9.如下圖，已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC=10，BD=6，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，MN=7，求異面直線AC與BD所成的角.解：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)EN、EM，MEN是異面直線AC與BD所成的角或其補(bǔ)角.在EMN中，EN=3，EM=5，MN=7，cosMEN=，MEN=120.異面直線AC與BD所成的角是60.思悟小結(jié)1.本節(jié)重點(diǎn)問(wèn)題是證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)以及求異面直線所成的角.2.證明三點(diǎn)均在兩個(gè)平面的交線上，可以推證三點(diǎn)共線；求異面直線所成的角，一般先取一個(gè)特殊

16、點(diǎn)作它們的平行線，作出所求的角或其補(bǔ)角，再解三角形.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛首先要使學(xué)生掌握本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容：平面的基本性質(zhì)、異面直線的定義及判斷、異面直線所成的角，其次結(jié)合例題講清求異面直線所成的角的方法步驟.拓展題例【例1】 設(shè)異面直線a與b所成的角為50，O為空間一定點(diǎn)，試討論，過(guò)點(diǎn)O與a、b所成的角都是（090）的直線l有且僅有幾條?解：過(guò)點(diǎn)O作a1a，b1b，則相交直線a1、b1確定一平面.a1與b1夾角為50或130，設(shè)直線OA與a1、b1均為角，作AB面于點(diǎn)B，BCa1于點(diǎn)C，BDb1于點(diǎn)D，記AOB=1，BOC=2（2=25或65），則有cos=cos1cos2.因?yàn)?190，所以0coscos2.當(dāng)2=25時(shí)，由0coscos25，得2590；當(dāng)2=65時(shí)，由0coscos65，得6590.故當(dāng)25時(shí)，直線l不存在；當(dāng)=25時(shí)，直線l有且僅有1條；當(dāng)2565時(shí)，直線l有且僅有2條；當(dāng)=65時(shí)，直線l有且僅有3條；當(dāng)6590時(shí)，直線l有且僅有4條；當(dāng)=90時(shí)，直線l有且僅有1條.說(shuō)明：異面直線所成的角就是選點(diǎn)、平移后的平面角.上述解答首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求過(guò)點(diǎn)O與a1、b1均成角的直線的條數(shù)，進(jìn)而通過(guò)討論的范圍去確定直線l的條數(shù).【例2】 已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD