線性代數(shù)第六章二次型試題及答案

1、齊一次線性函數(shù)第六章 二次型、基本概念n個(gè)變量的二次型是它們的二次齊次多項(xiàng)式函數(shù)，一般形式為2 2f(X1,X2,，Xi)= aiixi +2ai2XlX2+2ai3XlX3 +2ainXlXn+ a22X2 +2a23XlX3+n22+2ainXlXn+ +anXn=送 aii X +2送 VjXXj .i =1iujX1X2Xn它可以用矩陣乘積的形式寫(xiě)出：構(gòu)造對(duì)稱(chēng)矩陣Aaiiai2-c11 y1-C21 y1=Cn1 y1-皿丫2GnYn-Sy2 C2nYn-Cn2y2Cnnynn nf(Xi,X2, Xn) aij Xi Xj =(Xi,X2,Xn)7 j壬a2ia22a2nX2代入f(

2、X1,x2，,x)得到y(tǒng)1,y2,y的二次型gM,y2,y).把上述過(guò)程稱(chēng)為對(duì)二次型 f(x 1,X2,溝作了線性變量替換，如果其中的系數(shù)矩陣廠C11 C12C1心C=C21 C22 C2n0,稱(chēng)二次型f（Xl，X2，Xi）稱(chēng)為正定二次型如果實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A所決定的二次型正定，則稱(chēng)A為正定矩陣，于是A為正定矩 陣也就是滿足性質(zhì)：當(dāng)X-0時(shí),一定有X TAX0,且A 一定是是對(duì)稱(chēng)矩陣。二次型的正定性是在可逆線性變量替換中保持不變的.即實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正定性在合同變換時(shí)保持不變.（2）性質(zhì)與判斷實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A正定二合同于單位矩陣.即存在可逆矩陣 Q使QtAQ=E，或者存在可逆矩陣P，使得PTEP二A對(duì)任

3、意可逆矩陣 C, CtAC正定（即合同的矩陣，有相同的正定性）。=A的正慣性指數(shù)等于其階數(shù)n.=A的特征值都是正數(shù).=A的順序主子式全大于0.順序主子式：一個(gè)n階矩陣有n個(gè)順序主子式，第r個(gè)（或稱(chēng)r階）順序主子式即A的左上角的r階矩陣A的行列式| A|.判斷正定性的常用方法：順序主子式法，特征值法，定義法.A = 0= A不可逆r （A） n=Ax=0有非零解0是A的特征值二A的列（行）向量組線性相關(guān)A是n階可逆矩陣：A -o (是非奇異矩陣)；:二r(A) =n (是滿秩矩陣)二A的行(列)向量組線性無(wú)關(guān)； 二齊次方程組 Ax = 0只有零解；=Rn，Ax =b總有唯一解；=A與E等價(jià)；=A

4、可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積;=A的特征值全不為 0；二ATA是正定矩陣；B可由ai, a,，an惟一線性表示滬X iai + X2 a+ +Xn an二 Ax= B有惟一解 X=(X1,X2,Xn)T,A=( a , a,an)二 r(A)=r(A : =n=|A|m 0=Ax= 0只有零解=?=0不是A的特征值、概念型題21.寫(xiě)出二次型 f（X1,X2,X3）= 2X1X2 X2 *2X1X3 -6X2X3 的矩陣2X1x2x1X3X1X1X22X2X3X2XXX2X32X31-0=1一 J11-31-32題答案:12022100130000022. 二 次型 f（X1,X2,X3,X4）

5、= X122-2x2 - 3x3 4x1x2 - 2x2x3 的矩陣是3.矩陣A二1 242 2-1413對(duì)應(yīng)的二次型是2 2 2答案：x-i 2x2 3x3 4x1x2 8x3 -2x2x3.2234.已知二次型 f（X-X2 ,x3）=ax2x2）4x.,x24x.,x34x2x3 經(jīng)正交變換x=Py可化成標(biāo)準(zhǔn)型f = 6y；，則a =AB=O二 A(bi,b2,bs)=0, B=( bi, b2,bs)Abj=0, j=1,2,s=bi,b2,bs均為 Ax= 0 的解(=r(A)+r(B)w n)二 若匕工0且A為n階方陣時(shí)，bj為對(duì)應(yīng)特征值 心0的特征向量 =A的列向量組線性相關(guān)，B

6、的行向量組線性相關(guān)。AB=C = A(bi, b2,br)=(Ci, C2,Cr)=Abj=Cj,j=1,2，,r= bj 為 Ax = Cj 的解.二C1, C2,Cr可由A的列向量組ai, a,as線性表示二 r(C)=r(AB) r(A)或 r(B)C的行向量組可由 B的行向量組線性表示。解:aA =5.已知二次型T222x Ax=捲-5x2 x3 2ax1x2 2x1x3 2bx2x3 的秩為 2,(2, 1 , 2) T是A的特征向量，那么經(jīng)正交變換后二次型的標(biāo)準(zhǔn)型是 解：二次型對(duì)應(yīng)的矩陣 A為：_1 a 11a -5 bT 0b 1 一PA 二a1【-（5+a2 ） b-ab-a0

7、因?yàn)?2,1, 2) T是A的特征向量，所以1aJa-5a1円日,“ 3,2A-，E - ，6 ，-3 =0= =0, 2=33 -6,2 2f = 3yi - 6y2二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型1用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并判斷正、負(fù)慣性指數(shù)的個(gè)數(shù)，然后寫(xiě)出其 規(guī)范形。X = yi - 丫2_i-i0* X2 = yi + y2 ,X=Cy , c =ii0 X3 = y3i00i設(shè)：Zi =yi - y3,Z2 =y2,Z3 = y3 ,22f =一2% - y3) + 2y2 +2y2(1) f (片，x2,x3) = X： x； _x； 2%x2 2xx3 _2x2x3iy =C2 z

8、= 00解：先集中含有xi的項(xiàng)，湊成一個(gè)完全平方，再集中含有X2的項(xiàng)，湊成完全平方標(biāo)準(zhǔn)型：f - -2z2 2z| - 2z；,規(guī)范性:f (X!,X2,X3)=(X；22%x2 2x! x3) x22X3-2X2X32 2 2 2 2=XiX2X3_X2 _X3 -2X2X3X2 -X3 -2X2X32 2 2= (Xi +X2 +X3 ) 2(X2 +X3 )+2X2XiX2X3 二 yi設(shè) 0)，其中 A 的特征值之和 為i,特征值之積為-i2.(i)求a,b.(2)用正交變換化f(Xi,x2,X3)為標(biāo)準(zhǔn)型。a 0 b j解：二次型的矩陣：I c c ，因?yàn)閍 + 2 - 2 = i,

9、A= 020b 0 -2A 4a-2b2 i2二 b2(2) A _ 九E =(丸 _ 2丸 + 3)= 0n 丸i=2 = 2，丸3= 3i2=冷 3= (iQ-2)T 5規(guī)范性：f 二 Zi2 -z； zf2 2(2) f(x i,X2,X3)= Xi +2X2 +2XiX2-2XiX3+2X2X3.解：f(xi,x2,X3)= (xi2+2xiX2-2xiX3)+2x22+2x2X3= xix2 - x3亠x22x3 - 5xfi=2：i=0,i,0T ：2=2,0,iT 33：3=i,0,-2T因?yàn)樗鼈円呀?jīng)兩兩正交，所以只需要單位化。2-X3f = yi222y2 -5y3Xi X2

10、_X3 =比設(shè)* x2 +2x3 =y2 , x=Cy，標(biāo)準(zhǔn)型:y3正慣性指數(shù)：P =2，負(fù)慣性指數(shù)：q = i，規(guī)范性：f = z： z| -zf(3) f(x i,X2,X3)= -2x iX2+2XiX3+2X2X3.解：像這種不含平方項(xiàng)的二次型，應(yīng)先做線性變換:Q = i, 2, 3 Q AQ = Q AQ =，i yi，2 丫23 丫3ryrr3. 已知二次型 f(x i,X2,X3)=(i-a)xi +(i-a)X2+2x3+2(i+a)xiX2 的秩為 2.(i)求a.(2)求作正交變換 X= QY，把f(xi,X2,X3)化為標(biāo)準(zhǔn)形.求方程f(Xi,X2,X3)=0的解.解：本

11、題綜合考查了特征值、特征向量、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型以及方程組求解等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，特別是第三部分比較新穎。二次型的矩陣A為：A二1 -a1 a1 +a1 -a.0 01 -aA=1+a01 a1 -a0=0 得 a=0這里A二,可求出其特征值為A-a0-1A-aJLa01I0ilTAE- =0A-a1!0JL-a1=(2-引0A-a1-11 z-a + 1-11A -a +1-11 A-a + 110=（兌-町0 A0a1A-a + 1=1譏（久-a+l)-2解（2E -A）x =0，得特征向量為：:二 0,0,1解（0E -A）x =0，得特征向量為：3 =1,_1,0由于1,2 ：3已經(jīng)正交，直接

12、將1,2， 3單位化,得:1 1叫=石牡0八=(0,0,1化=石(1,-1,0)令Q - I, 2即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy ,（山）由 f （X1，X2，X3）= 2y； 2y； =0,得 =02 =03 二 k（ k 為任意常數(shù)）.可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：Jy；.01cl0-cLa0 一，其中c為任意常數(shù)。從而所求解為：x=Qy= 1232 224.設(shè)二次型 fx-!,x2,x3=a%ax2亠a-1x32x1x3-2x2x3（I）求二次型 f的矩陣的所有特征值;=（z - ? 11 X ?.a+ a _右_? （ /. G A 所以兄，二 & 2 二 0. 口二 2.2 2n） 若規(guī)

13、范形為y1y2，說(shuō)明有兩個(gè)特征值為正，一個(gè)為 0。則若 r=a = 0 ,貝U ，2i2：0 ,，3 = 1 ，不符題意若鼻二。，即a=2，則1=20 ,30，符合若 3=0 ，即 a - -1，則 r - -1 ： 0 ,，2 - 一 3 ： 0 ,不符題意綜上所述，故a = 25.已知向量:-（1, -1, 0）T是二次型f（X1,X2,x3）=xTAx 二ax： xf -2X1X2 2X1X3 2bx2x3 的矩陣 A 的特征向量，求正交變 換化該二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。a -1 1 1解：A= 10 b，又因?yàn)? = （1, -1, 0）T是A的特征向量，I1 b b設(shè)所對(duì)應(yīng)的特征值為，有A

14、=（n）若二次型 f的規(guī)范形為yf yf，求a的值。a +1、_1!b丿a即-1-10bA =(h1)(f 3)，則A的特征值為 九=1，為=島,3+1 =丸k = 10-11即一1 = 一丸o*a = 0 ,貝y A =-101J -b =0Jb TJ1bJ計(jì)算A的特征多項(xiàng)式，3 =-.3，其基礎(chǔ)解系為:=(1, 1, 13)T =(1, 1, 1I3)T 。1 b 11 b2A= b31 t0 3-b111一.01-b錚征值島二1的持社向雖対處=(1.-1.MUEftA = 0的特征向量為耳=(L O.-lf.噸曲亠曲環(huán)-匸因?yàn)?個(gè)向量已經(jīng)正交，只需要將其單位化因?yàn)椋骸? 已經(jīng)正交，所以只

15、需要把它們單位化。成石丿1、212三、關(guān)于正定的判斷則P為正交矩陣，作正交變換6 2_ 31、3.6 2 3x = py，得；6-2、31.6-2=313623 /1.判斷解:f =xTAx =(py)T A(py) =yT(pTAp)y= yj3y - 3y2。6. - - -3 元二次型 f = X： 5x； X3 4XM2-4X2X3 的正定性A=10【21，用順序主子式判斷大于0,所以是正定的。f (Xt,x2,X3)= x； x； 5x| 2gx2 2xtX3 * 4x2x3是正定的-1 t -I1 t、解：A =t 125t 1i-1 2 52.當(dāng)時(shí)，實(shí)二次型=1 - t20,訃丸

16、欄關(guān)絆tftiTF裡=4一柬血方的館知亦0狐陣P.解:_i b r_0 0 oy=p矩陣衛(wèi)二b a 1B =0 1 02J * 11 1 10 0 4郴似.1t-15t2 4t ： 0,t 05a 2=14= a=34 : r： 0時(shí)，二次型是正定的53設(shè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A特征值分別為1,2,n,則當(dāng)t 時(shí)，tE - A是正定的.所以，1 礙 o01週0 0 0耳00解：tE-A的特征值為t-1,t-2,_,t- n.若tE-A是正定的，則t -10,t - 20, t - n024. 設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，滿足 A 2A二0，并且r(A)=2.(1) 求A的特征值( 2)當(dāng)實(shí)數(shù)k滿足什么條件時(shí)

17、kA E正定？2解：A 2A = 0= A A 2 =0 -0,，= -2因?yàn)閞 A =2,所以特征值為0, -2，-21(2) kA E 的特征值為 1,1-2k,1 -2k 0- k 0， (AxJ(Ax)ro，當(dāng)0時(shí)，任意的x = 0，有xT Bx二x Tx AxT Ax 0，所以B為正定矩陣。矩陣的合同、相似、等價(jià)都有自反性，對(duì)稱(chēng)性，傳遞性。矩陣A與B等價(jià)記作：A二B= A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為 B，即A與B是同型矩陣二r(A)二r(B)=存在可逆矩陣P與Q,使得A = PBQA與B合同，記為B=存在n階可逆陣P使得PT AP二B，即A與B都是方陣二xTAx與xT Bx的正、負(fù)慣性指數(shù)

18、相等.=r(A)二r(B)=合同的矩陣一定等價(jià)，但等價(jià)的矩陣不一定合同矩陣A與B相似，記作As B，- 存在n階可逆矩陣P.使P，AP=B，即A與B都是方陣=r(A) = r(B)=相似的矩陣一定等價(jià)，但等價(jià)的矩陣不一定相似。=相似的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定合同，但合同的對(duì)稱(chēng)矩陣不一定相似。因?yàn)閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正(負(fù))慣性指數(shù)就是它的正(負(fù))特征值的個(gè)數(shù)，相似的矩陣 有相同的特征值，所以相似的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣有相同的正，負(fù)慣性指數(shù)，所以相似的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定合同。對(duì)任意實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A都存在正交矩陣 P，使P，AP二PTAP二上，即任意實(shí) 對(duì)稱(chēng)矩陣都和對(duì)角陣即相似又合同。若矩陣不是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，相似的矩陣不一定合同，合同的矩陣也不一定相似。相似的矩陣一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩陣不一定等價(jià)。 特征值相同的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A和B一定相似，因?yàn)閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣都能相 似對(duì)角化，特征值相同的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似于同一個(gè)對(duì)角陣，根據(jù)相似的 傳遞性，A和B 一定相似。特征值相同的普通矩陣 A和B可能相似，也可能不相似。若A和B都能相似對(duì)角化，一定相似。若一個(gè)能對(duì)角化，一個(gè)不能對(duì)角化，一定不相似。若都不能對(duì)角化，可能相似，也可能相似。A和B有相同的特征值,A能對(duì)角化，B不能對(duì)角化，所以 A和B不相似。例題：已知矩陣 A和B，判斷能否相似，-2 -6 11 2 1A =0-10B =2 3 03