專題四：如何構建 相遇問題的數(shù)學模型

1、專題四：如何構建 相遇問題的數(shù)學模型執(zhí)教劉雯 東營市實驗學校設計魏瑞霞東營市實驗學校本專題研究的基本理念：這里的“數(shù)學應用問題”是指運用數(shù)學知識和方法解決生活的實際問題。1建立數(shù)學模型是解決數(shù)學應用問題的本質。數(shù)學建模是20 世紀下半葉， 隨著計算機技術的發(fā)展而形成的數(shù)學思想方法，是數(shù)學應用問題的基本模式。 我國著名教育專家張奠宙教授指出： “解決數(shù)學應用問題的本質是數(shù)學建模?！?數(shù)學課程標準明確指出： “義務教育階段的數(shù)學課程不僅要考慮學生自身的特點， 更要遵循學生學習數(shù)學的心理規(guī)律， 強調從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)， 讓學生親身經(jīng)歷將數(shù)學實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程”。所謂數(shù)

2、學模型， 是指現(xiàn)實世界的某一事物系統(tǒng)， 為了一個特定的目的， 根據(jù)事物系統(tǒng)特有的內(nèi)在規(guī)律， 采用形式化的數(shù)學語言或數(shù)學符號， 概括或近似地表達出來的一種數(shù)學結構。簡單地說，數(shù)學模型就是對實際問題的一種數(shù)學表述，是對現(xiàn)實原型的概括，是數(shù)學基礎知識與數(shù)學實際應用之間的橋梁。小學階段的數(shù)學建模通常是從實際生活原型或提供的實際背景出發(fā)， 充分運用觀察與實驗、操作與比較、分析與綜合、抽象與概括等思維方式，去掉非本質的東西，用數(shù)學語言或數(shù)學符號表述出數(shù)學模型， 再運用數(shù)學模型解決一些實際問題。簡單地說，就是將當前的問題轉化為數(shù)學模型，然后用數(shù)學的方法去求解。數(shù)學課程標準解讀中指出：數(shù)學建模的建立過程大致如

3、下框圖:由此可知，數(shù)學建模的過程即解決問題的過程，解決問題是數(shù)學建模的載體， 數(shù)學建模是解決問題的本質。在具體的教學實踐中，我們根據(jù)小學生的認知規(guī)律、 年齡特點和教學內(nèi)容的特征，遵照“問題情境一一建立模型一一應用拓展” 的基 本步驟，設計了構建應用問題的數(shù)學模型的基本思路：創(chuàng)設問題情境，發(fā)現(xiàn)提出問題一一建立模型準備；自主整理信息，探究解決問題一一建立數(shù)學模型； 解釋 應用拓展，體驗數(shù)學價值一一應用數(shù)學模型。2.落實兩個轉化是建立數(shù)學應用問題模型的途徑。數(shù)學建模的過程實質上就是解決問題的過程。我國著名的小學數(shù)學教育專家 周玉仁教授指出：解決問題是一個系統(tǒng)工程。小學生解決問題的過程，實質上是 完成

4、認識上的兩個轉化：第一個轉化是從紛雜的實際問題中，篩選出有用信息， 從而抽象成數(shù)學問題一一從生活原型中抽象出數(shù)學問題是“數(shù)學建?！钡钠瘘c； 第二個轉化是根據(jù)已抽象出來的數(shù)學問題， 全面分析其中的數(shù)量關系，探索出解決問題的方法并求解， 必要時回顧反思解決問題的過程分析數(shù)學問題， 建立 數(shù)學模型是 “數(shù)學建?！?的核心。 解決問題的 “兩個轉化” 相輔相成， 缺一不可。反思傳統(tǒng)“應用題”的教學不難發(fā)現(xiàn)：過去教學特別重視第二個轉化，引導學生分析條件和問題間的關系， 根據(jù)數(shù)量關系列式解答并檢驗這是解決數(shù)學應用問題必須具備的基本能力。 但是， 最大的缺失是忽視第一個轉化， 問題采用文字形式由教材或教師直

5、接出示，學生搜集、整理、加工信息的能力，及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力薄弱這也是我國傳統(tǒng)應用題教學中的一大弊病。鑒于此，在教學數(shù)學應用問題時，我們既重視“解決問題”的第一個轉化：從學生的生活實際出發(fā)， 創(chuàng)設與學生的日常生活緊密聯(lián)系的上學情境， 且采用動畫形式呈現(xiàn)， 學生在現(xiàn)實而有趣的、 富有挑戰(zhàn)性的問題情境的吸引下， 主動發(fā)現(xiàn)問題、 提出問題， 進而提煉生成完整的數(shù)學問題， 幫助學生順利完成解決問題的第一個轉化；同時，我們也重視“解決問題”的第二個轉化：即放手讓學生自主整理信息理清數(shù)量關系；借助直觀圖形探明解題思路；明確解題方法，獨立列式解答自主建構應用問題的數(shù)學模型， 幫助學生順利完成解決問題的

6、第二個轉化。這樣，同時重視并扎實完成“兩個轉化”，讓學生有效經(jīng)歷“解決問題” 的全過程， 從而大面積提高學生解決問題的能力， 達到增強解決問題實效性的目的。3獲得數(shù)學思想方法是構建數(shù)學應用問題模型的核心。數(shù)學課程標準 在課程總體目標中明確指出： 通過義務教育階段的數(shù)學學習， 學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識 （包括數(shù)學事實、 數(shù)學活動經(jīng)驗） 以及基本的數(shù)學思想方法和必需的應用技能； 初步學 會運用數(shù)學的思維方式去觀察、 分析現(xiàn)實社會， 去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數(shù)學的意識?？灼笃较壬?小學數(shù)學課程與教學論 一書中也指出： 解決問題活動的價值不

7、只是獲得具體的結論，主要價值在于使學生初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題、 提出問題和解決問題； 綜合運用數(shù)學知識方法解決簡單的實際問題； 獲得分 析和解決問題的一些基本方法， 并在此基礎上形成解決問題的基本策略， 掌握其思想方法。因此， 教學數(shù)學應用問題時， 我們著眼于學生的發(fā)展需要， 根據(jù)課程標準的要求， 設計了一明一暗兩條線： 明線是指數(shù)學基礎知識和基本技能， 即結合解決應用問題，理解運算順序，掌握運算方法，并應用解決實際問題；暗線是指數(shù)學思想方法， 即在解決應用問題的過程中， 學生運用并形成的模擬與實驗、 操作與畫圖、摘錄與列表、分類與比較、綜合與分析等解決問題的一些基本方法策略，及數(shù)形結合

8、、 數(shù)學模型等數(shù)學思想方法。 這樣， 在落實數(shù)學雙基教學的過程中突出數(shù)學思想方法的教學， 并將數(shù)學思想方法的教學有機地融合于基礎知識和基本技能的教學之中，實現(xiàn)數(shù)學思想方法教學與雙基教學的和諧統(tǒng)一。本課題教與學的內(nèi)容、目標及設計：46 頁?！窘虒W內(nèi)容】：青島版義務教育課程標準實驗教科書小學數(shù)學四年級上冊第【內(nèi)容簡析】：相遇問題隸屬于行程問題的范疇， 是一種典型的數(shù)學應用問題。 相遇問題的學習是建立在學生已學“路程、時間、速度”的概念及其數(shù)量關系的基礎上，從研究一個物體的運動情況擴展到研究兩個物體的運動情況展開的。 同時， 學生學會解決兩、三步簡單實際問題的基礎知識、基本技能、解題經(jīng)驗、方法策略等

9、，都為構建相遇問題的數(shù)學模型提供了重要基礎。是今后進一步學習其它行程問題、工程問題等問題的基礎。【教學目標】：1 借助生活事例，運用模擬表演策略幫助學生理解“兩個物體”、“兩個地方”、“同時出發(fā)”、“相對而行”、“最后相遇”等關鍵詞的含義，逐步 提煉形成相遇問題，理解相遇問題的基本結構特征；2結合具體情境，運用摘錄、表格、畫圖等策略引導學生整理信息、分析相遇問題的數(shù)量關系，初步構建起相遇問題的數(shù)學模型，進而自主解決問題；3在解決問題的過程中，引導學生親身經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題提出問題研究問題解決問題” 的過程， 形成解決問題的策略， 積累解決問題的活動經(jīng)驗，增強學生的數(shù)學應用意識及運用知識方法解決簡單

10、實際問題的能力?！窘虒W重點】：用畫線段圖的方法分析“相遇問題”的數(shù)量關系，構建數(shù)學模型；【教學難點】：理解相遇問題的基本特征，構建“速度和x時間=總路程”這一數(shù)學模型;【教具準備】： 多媒體課件；【教學設計過程】：一、借助身邊事例，復習引入新知喚醒舊知模型，激活認知經(jīng)驗。1教師出示問題，學生獨立解決，并回憶其數(shù)量關系。教師： 在我們的身邊、 在我們的生活中處處都有數(shù)學。 如： 王明步行去上學，每分鐘走 70 米,5 分鐘到達學校。王明家到學校相距多少米？2學生獨立解決后，集體反饋意見，并揭示其數(shù)量關系。出示：速度x時間二路程3教師小結，引入新知。教師： 這是過去學習的一個物體運動的問題， 我們

11、今天一來起研究兩個物體運動的問題?！?設計意圖： 從學生的生活實際出發(fā)， 設計一個與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系的上學情境，從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，喚起學生對舊知模型一一“速度x時間=路程”的回憶， 既激活學生已有的認知經(jīng)驗， 了解學生的學習起點， 又幫助學生準確把握新舊問題的銜接點，找準新問題的生長點。以舊引新，導入新課。 】二、創(chuàng)設現(xiàn)實情境，發(fā)現(xiàn)提出問題喚喚 實現(xiàn)解決問題的第一個轉化（一）初次觀看兩物體的運動過程，尋找新知學習的切入點一一喚起相遇問題的生活經(jīng)驗。1媒體播放王明和李華上學的動畫情景，誘發(fā)學生觀察他們的運動過程。（動畫情景的內(nèi)容大致如下： 王明和李華分別住在學校的兩側， 兩人同時從家出發(fā)，

12、相對而行，經(jīng)過5 分鐘兩人同時到達學校。）2結合觀察到的運動現(xiàn)象，引導學生用語言描述他們兩人的運動過程?！?設計意圖： 借助動畫情景，一方面誘導學生初次感知兩個物體的運動，從直觀的角度感知“相遇問題”的特征；二方面借助學生的觀察和描述，了解學生對“相遇問題” 已有經(jīng)驗和認知基礎， 幫助教師尋找新知學習的切入點和生長點；三方面通過觀察和用語言描述兩個物體的運動過程， 培養(yǎng)學生的觀察、 想象和語言表達能力。 】（二）模擬兩物體的運動過程，理解相遇問題的基本特征構建相遇問題的運動模型。1媒體再次播放上述動畫情景，教師和一名學生模擬情境，現(xiàn)場表演王明和李華的運動過程。（ 1）教師和學生在同一個位置。學

13、生會發(fā)現(xiàn)應該從兩個不同的地方出發(fā)，板書“兩個地方”。（ 2）師比學生晚走了一會兒，大約 3 步的時間。學生會發(fā)現(xiàn)兩個人應該同 時出發(fā)，板書“同時出發(fā)”。3）教師走的方向不對，拐彎走了。學生會發(fā)現(xiàn)兩人應該面對面走。教師指出“面對面”在數(shù)學上稱之為“相對而行”，板書“相對而行” 。（ 4）師生最后走一遍正確的，兩人同時到達學校，也就是說兩人在學校相遇了，板書“最后相遇”。2現(xiàn)場模擬表演后，引導學生用上“兩個物體”、“兩個地方、”“同時出發(fā)”、 “相對而行”、“最后相遇”這幾個關鍵詞描述他們的運動過程。3同桌兩人邊打手勢演示邊用上“兩個物體”、“兩個地方、”“同時出發(fā)”、 “相對而行”、“最后相遇”

14、等關鍵詞描述他們兩人的運動過程?！?設計意圖： 這是建立數(shù)學模型的必要階段。 我們都知道， 數(shù)學模型是關于現(xiàn)實世界為某種目的的一個抽象的、 簡化的數(shù)學結構。 同時， 建立數(shù)學模型的目的是為了科學、有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，進而解決實際問題。因此，任何數(shù)學模型的建立都有具體的現(xiàn)實情境。 教學這節(jié)課時， 教師要創(chuàng)造學生比較熟悉的、且親身經(jīng)歷的、含有數(shù)學問題的上學情景。這樣，從學生熟悉的生活實例入手創(chuàng)設問題情境， 采用模擬表演、 打手勢等直觀生動的演示方式描述王明和李華的運動過程，一是激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，調動學生眼、耳、手、口等多種感官并用， 吸引學生積極主動地投入到探究學習活動中來； 二是

15、借助學生已有的生活經(jīng)驗和認知基礎， 讓學生了解數(shù)學問題的實際背景， 并引導學生理解 “同時出發(fā)”、“相對而行”、“最后相遇”等關鍵詞的含義，掌握相遇問題的基本特征， 初步建立相遇問題的模型雛形， 為建立數(shù)學模型做好準備； 三是引導學生學會用數(shù)學的眼光觀察自己的生活， 感受到生活中處處有數(shù)學， 數(shù)學能幫助我們解決許許多多簡單的實際問題，體驗數(shù)學的意義和價值?！浚ㄈ┨砑酉嚓P信息，提煉生成相遇 問題構建相遇問題的語言模型 。1在動畫情境中添加王明和李華的速度信息，引導學生填上信息，并再次描述兩人的運動過程。速度信息為：王明每分鐘走70 米，李華每分鐘走60 米。2根據(jù)動畫情境中的相關信息，引導學生

16、提出相關的數(shù)學問題。教師：根據(jù)情境中的相關信息，誰能提出一個數(shù)學問題？學生可能會提出以下幾方面的問題：問題1：王明走了多少米？問題2：李華走了多少米？問題3：王明比李華多走了多少米？問題4：王明和李華一共走了多少米？問題5：他們兩家相距多少米？3教師定向，提煉生成完整的相遇問題。教師： 同學們真了不起！ 發(fā)現(xiàn)并提出了這么多的數(shù)學問題， 下面我們先來研究解決“他們兩家相距多少米？”這一問題。多媒體出示該問題：王明和李華同時從家出發(fā)，相對而行。王明每分鐘走70 米， 李華每分鐘走60 米。 經(jīng)過 5 分鐘兩人在學校相遇， 他們兩家相距多少米？學生讀題后， 教師揭示課題： 這個問題就是這節(jié)課我們要研

17、究解決的相遇問題。教師板書課題：相遇問題【 設計意圖： 在初步理解相遇問題基本特征的基礎上， 添加相應的數(shù)學信息，提煉生成完整的數(shù)學問題， 一方面幫助學生把 “生活問題” 轉化為 “數(shù)學問題” ，順利完成解決問題的第一個轉化；二方面幫助學生構建起相遇問題的語言模型；三方面培養(yǎng)學生根據(jù)數(shù)學信息發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題、提出數(shù)學問題的能力?！咳?、自主解決問題，構建數(shù)學模型 實現(xiàn)解決問題的第二個轉化（一）運用解題策略，自主整理信息構建起相遇問題的圖形模型。1放手讓學生運用已有的解決問題的策略，自主進行信息整理。教師： 這個問題中的信息較多， 且數(shù)量之間的關系不易發(fā)現(xiàn)。 下面請同學們用自己喜歡的方法將信息加以整理

18、， 比比看誰整理信息的方法最好， 能將題中信息最簡潔明了地呈現(xiàn)給大家。學生自主整理信息，教師巡視指導，順便了解學生整理信息的基礎。根據(jù)以前解決問題的基礎和經(jīng)驗，學生可能用到以下整理信息的策略:策略1 :摘錄王明i 7。米/分李華：6。2分,，都走5分鐘.共米“策略2:列表。速度時間分路程總路程王明70米/分5分70x570 x 5+60 x 5李華60米/分5分60x5策略3:畫示意圖策略4:畫草圖。（略）策略5:操作法一一擺紙條亦2 .組織學生以小組為單位交流各自整理信息的方法，互相學習，取長補短;同時，組長做好記錄，看本組內(nèi)出現(xiàn)了幾種不同的整理信息的方法。3 .以小組為單位匯報整理信息的方

19、法，教師適時組織學生互相質疑問難，補充完善。4 .引導學生對各種整理信息的方法加以分析與比較，溝通各種方法的內(nèi)在 聯(lián)系，理清各種方法的異同點，突出畫線段圖整理信息的優(yōu)越性和必要性。教師：同學們真了不起，想到了這么多整理信息的方法。仔細比較這些方法, 你認為哪種方法最直觀形象，讓我們一眼就能看明白題目的意思？在學生獨立思考的基礎上，小組內(nèi)交流意見，達成共識后向全班匯報。5 .重點講解畫線段圖整理信息的方法，幫助學生構建相遇問題的圖形模型。教師：這些整理信息的方法雖然所表達的題意相同， 但畫圖的方法更能直觀 想象地表示出題意。其中，畫線段圖尤為簡潔明了。教師邊將畫線段圖的要領，邊在黑板上畫出線段圖

20、。?瞥？3學校4.必相壬明案,j l季華家,相距?一【設計意圖：整理信息的過程即分析數(shù)量關系的過程， 而分析數(shù)量關系則是解決問題的關鍵?；顒又?，放手讓學生運用已有的知識基礎、方法策略和活動經(jīng)驗，用自己喜歡的方法對問題情境中相關聯(lián)的信息加以梳理。一方面借助整理信息， 將抽象難懂的文本信息轉化為形象易懂的圖畫、 圖表信息， 幫助學生直觀形 象地理清信息之間的關系， 架構起信息與信息之間、 信息與問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，為有效解決問題做好鋪墊； 二方面加強對各種解題策略的分析與比較， 重在梳理已有的解題策略， 溝通各種方法的聯(lián)系， 理清各種方法的異同， 突出畫線段圖整理信息的優(yōu)越性和必要性；三方面在“自

21、主整理組內(nèi)交流展示匯報分析比較提煉升華”等一系列活動中，有意識地引導學生獲得解決問題的策略，積累解決問題的經(jīng)驗，提高解決問題的能力?！浚ǘ┆毩⒘惺接嬎?，自主解決問題一一構建相遇問題的算式模型。教師：“兩家相距多少米”這個問題，該怎樣解決呢？2） 學生獨立列式計算，教師挑選解法不同的學生板演。主要出現(xiàn)以下兩種解法：解法 1:70 x5+60x 5解法 2: (70 + 60) x 5=350300=130x5(米)2請解法不同的學生向大家說明自己的解題思路。學生可能出現(xiàn)兩種分析、解決問題的思路：=650=650 （米）思路1:從已知信息入手，逐步求得要解決的問題，即綜合法思路2:從要求問題入手

22、，找尋已知信息，逐步解決問題，即分析法?！驹O計意圖：這是建立數(shù)學模型的關鍵階段。 即在學生自主整理信息，理清 數(shù)量關系，明確解題思路，探究計算方法的基礎上，學生獨立列式解答，建構起 了相遇問題的算式模型?！浚ㄈ┓治霰容^解法，抽出數(shù)量關系一一構建相遇問題的本質模型。1 .結合學生的不同解法和分析思路，引導學生抽出相應的數(shù)量關系。即：王明走的路程+李華走的路程=總路程；速度和x時間=總路程2 .利用多媒體課件重點動態(tài)演示第二種解法的分析思路，直觀形象地幫助學生理解5個（70+60）的意義，進一步理解這種解題方法。最后的成像如下：3 .總結：引導學生從基礎知識的學習、方法策略的獲得，解題經(jīng)驗的積累

23、 等方面談談自己的收獲和體會?！驹O計意圖：這是建立數(shù)學模型的重要階段。即根據(jù)相遇問題的結構特征和 建立相遇模型的目的，引導學生對分析解決問題的過程進行觀察與比較、 分析與 綜合、抽象與概括，引領學生提煉出相遇模型背后所蘊含著的結構性知識，并運用形式化的數(shù)學符號刻畫出這種數(shù)學結構一一“速度和x時間 二總速度”，從而 建立相遇問題的基本模型?！克?、解釋應用拓展，解決實際問題一一運用數(shù)學 模型，體驗數(shù)學的價值?！驹O計意圖：建立數(shù)學模型的目的是更好的描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，從而幫助人們更好地去認識自然、認識社會，改造自然、改造社會。通過建立數(shù)學模 型可以教給學生一些數(shù)學思想方法，為將來進一步學習和將來

24、的社會實踐打下堅 實的基礎；對所建立的數(shù)學模型進行合理的解釋、應用，才能使所建立的數(shù)學模 型具有生命活力。因此，設計了 “基本練習一一鞏固新知，拓展練習一一揭示 本質和延伸練習一一靈活運用”三個層次，對相遇問題進行解釋和應用。這樣， 學生在生活化的內(nèi)容，數(shù)學化的探索中獲得的知識、方法、經(jīng)驗等。數(shù)學模型只 有在解釋和應用于生活中時，才能煥發(fā)出數(shù)學的魅力和價值?！? .基本練習，鞏固新知。兩輛客車分別從濟南和青島同時出 發(fā)，相向而行，大約2小時相遇.一濟青高速公路全長的多少千米？ 【設計意圖：引導學生運用新學到的知識技能、 解題方法、解題策略等解決 與例題相類似的相遇問題?！? .拓展練習，揭示本

25、質教師：生活中，除了走路能相遇，還有一些相遇的例子。例如工程隊挖水渠、修公路、鑿隧道等問題（引出工程問題）。兩鳳同時施工，g個月開通.這條隧道長多少米？-學生獨立解決問題后，課件揭示該題的數(shù)量關系：工效和x時間=工作總量?！驹O計意圖：引導學生將相遇問題的解題策略和解題經(jīng)驗進行遷移， 解決與 之類似的工程問題，豐富相遇問題的內(nèi)涵，揭示該類問題的本質，構建該類問題 的數(shù)學模型，促使學生形成該類問題的認知結構體系。】3 .延伸練習，靈活運用。教師：相遇問題在我們的生活中處處可見，你還能舉出一個相遇問題的例子 嗎？學生舉例后，媒體展示以下問題，時間不足可留給學生課下探究解決。(1)放學了，張紅和王青同時從學校出發(fā)，背向而行,5分鐘后兩人到家(如下圖)兩家相距多少米?相距?米口米6/壬普索一(2)兩艘輪船同時從上海和武漢相對