空間向量與空間角練習(xí)題

1、課時(shí)作業(yè)（二十）學(xué)業(yè)水平層次、選擇題1.若異面直線(xiàn)11與12所成的角為（1i的方向向量與12的方向向量的夾角為150,則）A . 30B. 150C. 30或 150D .以上均不對(duì)【解析】ll與12所成的角與其方向向量的夾角相等或互補(bǔ)，且異面直線(xiàn)所成角的范圍為o, n.應(yīng)選A.【答案】A2.已知 A(0,1,1), B(2,1,0), C(3,5,7), D(1,2,4),則直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD所成角的余弦值為（)A返A(chǔ). 66B 返B. 66C換C. 22D 返D. 22【解析】AB = (2 , 2,1), CD =(2, 3,-3),cosAB,CD AB CD _5_ 5屆_ 3X 2

2、2 66 ， |AB|CD|直線(xiàn)AB、CD所成角的余弦值為5、2266【答案】 A3. 正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P, PA丄平面ABCD，若FA =AB,則平面FAB與平面PCD的夾角為（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) PA = AB= 1.則A(0,0,0), D(0,1,0), P(0,0,1).于是AD = (0,1,0).取PD中點(diǎn)為E, 1則 E 0, 2,AE= 0,2，2，易知AD是平面FAB的法向量，AE是平面 PCD的法向量，二f fJ2cos AD , AE =,平面FAB與平面PCD的夾角為45【答案】 B4.

3、 （2014陜西師大附中高二檢測(cè)）如圖3-2-29,在空間直角坐標(biāo)系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1為長(zhǎng)方體，A = AB= 2AD，點(diǎn)E、F分別為C1D1、A1B的中點(diǎn)，則二面角B1-A1B-E的余弦值為（）圖 3-2-292 C. 3Ai E m= 0,A1B m= 0,所以x + y= 0,2y- 2z= 0,y=x, 所以y=z,取x= 1,則y=z= 1,所以平面AiBE【解析】設(shè)AD = 1,則Ai(1,0,2), B(1,2,0),因?yàn)镋、F分別為CiDi、AiB 的中點(diǎn)，所以 E(0,1,2), F(1,1,1),所以 AiE = (- 1,1,0), AiB=(0,

4、2, - 2),設(shè)m= (x,y,z)是平面AiBE的法向量，則的一個(gè)法向量為m= (1,1,1),又DA丄平面AiBiB，所以DA = (1,0,0)是平面AiBiB的一個(gè)法向量,所以 cos m, DAm DA|m|DA|又二面角Bi-AiB-E為銳二面角，所以二面角Bi-AiB-E的余弦值為三3, 故選C.【答案】C二、填空題5. 棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AiBiCiDi中，M、N分別為AiBi、BBi的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AM與CN所成角的余弦值是 .【解析】依題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則 A(1,0,0),1 1m i, 2，1, c(0,i,0), ni,i,2,TiT1 am=

5、0,2，i , cn =i,0,2,1/. cos AM ,CN2 _ 25= 5,2 2故異面直線(xiàn)AM與CN所成角的余弦值為2.52【答案】56. (2014臨沂高二檢測(cè))在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(1,2,0)、B(2,1,，貝卩向量AB與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為.【解析】 設(shè)平面xOz的法向量為n= (0, t,0)(t工0), AB = (1,3,n ab of6），所以 cos = 4|f|,因?yàn)閚, AB 0, n,|n| |AB| 所以 sin =両両 _ 7T所以平面AEF與平面ABC所成的二面角的平面角 a滿(mǎn)足cos a_ 曽,sin口二嶋* 1 2,所以

6、tan a_J.圖 3-2-30【解】(1)證明：連結(jié)0C,由題意知BO= DO , AB = AD, AO丄 BD.又 BO= DO, BC= CD，二 CO丄BD.在厶AOC中，由已知可得 AO= 1, CO= 3, 又 AC= 2,二 AO2 + CO2= AC2, / AOC = 90 即 AO丄OC.v BD n OC = O,. AO丄平面 BCD.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則 B(1,0,0), D(- 1,0,0), C(0,3, 0), A(0,0,1),E1 二E 2, 2 , BA= (- 1,0,1), CD = (- 1,- 3, 0), cosBA,C

7、D BA CD 2_ 4 .|BA| |CD|異面直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值為 詩(shī).9 .四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD丄底面ABCD，點(diǎn)E在棱 PB 上.(1) 求證：平面AEC丄平面PDB;(2) 當(dāng)PD = 2AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求 AE與平面PDB所成的角的大小.【解】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz，設(shè)AB = a,PD= h,貝卩A(a,O,O), B(a, a,0), C(0, a,0), D(0,0,0), P(0,0, h).(1) t AC= ( a, a,0), DP = (0,0, h), DB = (a, a,0), AC DP = 0, A

8、C DB = 0, AC丄 DP, AC丄DB，又 DP A DB= D, AC丄平面PDB,又AC?平面AEC,.平面 AEC丄平面PDB.(2)當(dāng) PD = 2AB 且 E 為 PB 的中點(diǎn)時(shí)，P(0,0,2a), 1 2E 2a, 2a, 2a a設(shè) AC A BD = O, 0刁 2, 0 ,連結(jié) OE,由(1)知 AC丄平面 PDB于O, / AEO為AE與平面PDB所成的角，t 11 2 2t ea= 2a,a, 2 a , EO = 0, 0, ? a , cos/ AEO=EA EO =血t = 2 ,|EA| |EO| / AEO= 45即AE與平面PDB所成的角的大小為45

9、能力提升層次1 .已知在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB= BC= 1, AA1 = 2, E是側(cè)棱BBi的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AE與平面AiEDi所成角的大小為()A. 60B. 90C. 45D .以上都不對(duì)【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DDi所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由題意知，Ai(1,0,2), E(1,1,1), Di(0,0,2), A(1,0,0),所以 AiE =(0,1,1), DiE= (1,1,- 1), EA= (0,1, 1).設(shè)平面A1ED1的一個(gè)法向量為n= (x, y, z),n AE = 0,y z= 0,則？tx+

10、y z= 0.n D1E = 0令 z= 1,得 y= 1, x = 0,所以 n= (0,1,1),cos n,EAn EA 2武2廠(chǎng)1所以n, EA= 180.所以直線(xiàn)AE與平面A1ED1所成的角為90【答案】B2.在空間中，已知平面a過(guò)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a0),如果平面a與平面xOy的夾角為45則a=.【解析】平面xOy的法向量為n= (0,0,1),設(shè)平面a的法向量5 AA. 55巧C旗C. 5d3【解析】不妨設(shè) CA= CC1= 2CB= 2,則ABi = (-2,2,1), CiB= (0, 2,1),為 u= (x, y, z)，則3x+

11、4y= 0,3x+ az= 0,即 3x = 4y= az,取z= 1u =a aa, a, 1 .而 cos n,u1. a2 a2 廠(chǎng) 2 ?9 + 16+ 1又: a0,12a=5 -【答案】1253.三棱柱 ABC-AiBiCi,CA= CCi = 2CB,則直線(xiàn)BCi與直線(xiàn)ABi夾角的余弦值為（所以 cosAB1, GB= AB1 C1B|AB1|GB|_ 2 x 0 + 2X 2 +1X1_5=L廠(chǎng)=5.因?yàn)橹本€(xiàn)BCi與直線(xiàn)ABi夾角為銳角，所以所求角的余弦值為 壬5【答案】 A4.如圖，在直三棱柱 AiBiCi-ABC中，AB丄AC, AB= AC = 2,AiA = 4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).AAi B Ci D|AiB|CiD|i8 = 3 JO 20X i8= iO ,所以異面直線(xiàn)AiB與CiD所成角的余弦值為3i00.(2)設(shè)平面 ADCi 的法向量為 ni = (x, y, z),因?yàn)锳D = (i,i,0), AC=(0,2,4),所以 ni AD = 0, ni ACi = 0,即 x+ y= 0且 y+ 2z= 0,取 z=i,得x = 2, y= 2,所以ni= (2, 2,i)是平面ADCi的一個(gè)法向量.取平面 AAiB的一個(gè)法向量為 n2 = (0,1,0)，設(shè)平面ADCi與平面AB