33.分布列的合成方法

1、 高考數(shù)學(xué)母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話數(shù)學(xué)叢書,給您一個智慧的人生！高考數(shù)學(xué)母題 母題(三-33):分布列的合成方法(803) 0279 分布列的合成方法 母題(三-33):(2010年江蘇高考試題)某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)甲產(chǎn)品一等品80%,二等品20%;生產(chǎn)乙產(chǎn)品;一等品90%;二等品10%.生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品,如果是一等品可獲利4萬元,若是二等品則要虧損1萬元;生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品,如果是一等品可獲利6萬元,若是二等品則要虧損2萬元.設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立.()記x(單位:萬元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤,求x的分布列;()求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品

2、所獲得的利潤不少于10萬元的概率.解析:()設(shè)生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的利潤分別為、,則、的分布列分別為:由x=+x的所有可能取值為:-3,2,5,10,且p(x=-3)=p(=-1)p(=-2)=0.02,p(x=2)=p(=4)p(=-2)=0.08,p(x=5)=p(=-1)p(=6)=0.18,p(x=10)=p(=4)p(=6)=0.72x的分布列為:()設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件,則二等品有(4-n)件,由題設(shè)知4n-(4-n)10n3生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率p=c430.83(1-0.8)+0.84=0.8192.點(diǎn)評:若分布列已知,可利用定義

3、直接求數(shù)學(xué)期望和方差,因此,分布列是隨機(jī)變量問題的基礎(chǔ),如何列分布列是解決隨機(jī)變量問題的關(guān)鍵,常用方法可分為:直接法:根據(jù)已知,直接求隨機(jī)變量每個取值的概率,列分布列;間接法:分析待求隨機(jī)變量是由哪些基本隨機(jī)變量所決定的,然后,由基本隨機(jī)變量的分布列去合成待求隨機(jī)變量的分布列;其合成方法是間接法的關(guān)鍵;合成基本結(jié)論有:p(=a或=b)=p(=a)+p(=b);p(x=a且y=b)=p(x=a)p(y=b);若=x+y=k的所有可能解:(x,y)=(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),則p(=k)=p(x1)p(y1)+p(x2)p(y2)+p(xm)p(ym). 子題(1):(200

4、9年全國高考試題)某車間甲組有10名工人,其中有4名女工人;乙組有5名工人,其中有3名女工人.現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣),從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核.()求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù);()求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率;()設(shè)表示抽取的3名工人中男工人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.解析:()從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)分別為2,1;()從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率p=;()設(shè)從甲組抽取的2名工人中,男工人的個數(shù)為x,從乙組抽取的1名工人中,男工人的個數(shù)為y,則p(x=k)=(k=0,1,2)x的分布列為:同理可得y的分布列為:由=x+y的取值范圍是

5、0,1,2,3;且p(=0)=p(x=0且y=0)=p(x=0)p(y=0)=,p(=1)=p(x=1)p(y=0)+p(x=0)p(y=1)=,p(=2)=p(x=1)p(y=1)+p(x=2)p(y=0)=,p(=3)=p(x=2)p(y=1)=的分布列為:e=ex+ey=. 注:若隨機(jī)變量=x+y,則由x,y的分布列去合成的分布列的關(guān)鍵是:對所有給定的隨機(jī)變量的值=k,分析x+y=k的所有可能解(x,y),其中,要特別關(guān)注x與y的取值范圍. 子題(2):(2012年山東高考試題)現(xiàn)有甲、乙兩個靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒有 0280 母題(三-32):分布列的合

6、成方法(802) 命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.()求該射手恰好命中一次得的概率;()求該射手的總得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望ex.解析:設(shè)該射手向乙靶射擊兩次,命中的次數(shù)為y,向甲、乙靶射擊的得分分別為、,則p(y=k)=c2k()k(1-)2-k,且=2y、的分布列為分別為:e=,e=2ey=22=;()該射手恰好命中一次得的概率=p(=1)p(y=0)+p(=0)p(y=1)=;()由x=+x的所有可能取值為:0,1,2,3,4,5;p(x=0)=p(=0)p(=0)=,p(x=1)=

7、p(=1)p(=0)=,p(x=2)=p(=0)p(=2)=,p(x=3)=p(=1)p(=2)=,p(x=4)=p(=0)p(=4)=,p(x=5)=p(=1)p(=4)=x的分布列為:ex=e(+)=e+e=. 注:利用分布列的合成方法求隨機(jī)變量分布列的關(guān)鍵是分析待求隨機(jī)變量是由哪些基本隨機(jī)變量x、y、z、決定的,即=x+y+z+,然后,由隨機(jī)變量x、y、z、的分布列,利用合成基本結(jié)論,求的分布列. 子題(3):(2010年福建高考試題)設(shè)s是不等式x2-x-60的解集,整數(shù)m,ns.()記使得“m+n=0成立的有序數(shù)組(m,n)”為事件a,試列舉a包含的基本事件;()設(shè)=m2,求的分布列

8、及其數(shù)學(xué)期望e.解析:()由x2-x-60s=x|-2x3;又由整數(shù)m,ns且m+n=0a包含的基本事件為:(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0);()由m的所有不同取值為:-2,-1,0,1,2,3,且m的分布列為:由=m2的所有不同取值為:0,1,4,9,且p(=0)=p(m=0)=,p(=1)=p(m=-1或1)=p(m=-1)+p(m=1)=,p(=4)=p(m=-2或2)=p(m=-2)+p(m=2)=,p(=9)=p(m=3)=的分布列為:e=0+1+4+9=. 注:若隨機(jī)變量與x滿足:=x2,且x的分布列已知,則根據(jù)下述基本結(jié)論,由x的分布列去合成的分

9、布列:若滿足:x2=a的x僅有一解xi,則p(=a)=p(x=xi);若滿足:x2=b的x恰有兩解xi和-xi,則p(=a)=p(x=xi)+p(x=-xi);由x的分布列去合成x2的分布列,是解決方差問題的基礎(chǔ)之一. 子題系列:1.(2009年湖北高考試題)一個盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片,分別標(biāo)有數(shù)2,3,4,5;另一個盒子里也裝有4張大小形狀完全相同的卡片,分別標(biāo)有數(shù)3,4,5,6.現(xiàn)從一個盒子中任取一張卡片,其上面的數(shù)記為x;再從另一盒子里任取一張卡片其上面的數(shù)記為y,記隨機(jī)變量=x+y,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.2.(2009年重慶高考試題)某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹

10、各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和,且各株大樹是否成活互不影響,求移栽的4株大樹中:()兩種大樹各成活1株的概率;()成活的株數(shù)的分布列與期望. 子題詳解: 母題(三-32):分布列的合成方法(802) 0281 1.解:由p(x=2)=p(x=3)=p(x=4)=p(x=5)=x的分布列為:同理可得y的分布列為:由=x+y的所有可能取值為:5,6,7,8,9,10,11;p(=5)=p(x=2)p(y=3)=,p(=6)=p(x=2)p(y=4)+p(x=3)p(y=3)=,p(=7)=p(x=2)p(y=5)+p(x=3)p(y=4)+p(x=4)p(y=3)=,p(=8)=p(

11、x=2)p(y=6)+p(x=3)p(y=5)+p(x=4)p(y=4)+p(x=5)p(y=3)=,p(=9)=p(x=3)p(y=6)+p(x=4)p(y=5)+p(x=5)p(y=4)=,p(=10)=p(x=4)p(y=6)+p(x=5)p(y=5)=,p(=11)=p(x=5)p(y=6)=的分布列為:由ex=(2+3+4+5)=,ey=(3+4+5+6)=e=e(x+y)=ex+ey=+=8.2.解:()設(shè)甲、乙兩種大樹各2株,各成活1株的事件分別為a、b,則a與b相互獨(dú)立,且p(a)=c21(1-)=,p(b)=c21(1-)=兩種大樹各成活1株的概率=p(ab)=p(a)p(b)=;()設(shè)甲、乙兩種大樹各2株,成活的株數(shù)分別為x、y,則p(x=k)=c2k()k(1-)2-k,p(y=k)=c2k()k(1-)2-k,k=0,1,2xb(2,)、yb(2,)ex=2=,ey=2=1,x、y