(完整版)高考概率大題專項(xiàng)訓(xùn)練

1、第3頁(共 24頁)2017年01月23日概率大題一解答題(共18小題)1 某年級星期一至星期五每天下午排 3節(jié)課，每天下午隨機(jī)選擇1節(jié)作為綜合 實(shí)踐課(上午不排該課程)，張老師與王老師分別任教甲、乙兩個(gè)班的綜合實(shí)踐 課程.(1) 求這兩個(gè)班 在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率；(2) 設(shè)這兩個(gè)班 在一周中同時(shí)上綜合實(shí)踐課的節(jié)數(shù)”為X,求X的概率分布表 與數(shù)學(xué)期望E (X).2 甲、乙兩人組成 星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對，則星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對，則星 隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對，則 星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對的概率是一，4乙

2、每輪猜對的概率是二；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響假設(shè) 星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：(I) 星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率；(II) 星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX3. 某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1, 2, 3的人數(shù)分別為3, 3, 4,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).(1) 設(shè)A為事件 選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為 4”，求事件A發(fā)生的概 率；(2) 設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量 X的分布 列和數(shù)學(xué)期望.4. 某商場一號電梯從1層出發(fā)后可以在2、3、4層?？?已知該電梯在1層載

3、有4位乘客，假設(shè)每位乘客在2、3、4層下電梯是等可能的.(I)求這4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的概率；(n)用X表示4名乘客在第4層下電梯的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.5. 集成電路E由3個(gè)不同的電子元件組成，現(xiàn)由于元件老化，三個(gè)電子元件能 若三個(gè)電子元件中至少有 2 個(gè)正常工作， 則 E 能正常工作， 否則就需要維修， 且 維修集成電路E所需費(fèi)用為100元.正常工作的概率分別降為寺，寺，尋，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立,(I )求集成電路E需要維修的概率；(U)若某電子設(shè)備共由2個(gè)集成電路E組成，設(shè)X為該電子設(shè)備需要維修集成 電路所需的費(fèi)用，求X的分布列和期望.6某商場舉行

4、優(yōu)惠促銷活動(dòng)，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種， 方案一：每滿 200 元減 50元：方案二：每滿 200 元可抽獎(jiǎng)一次具體規(guī)則是依次從裝有 3 個(gè)紅球、1 個(gè)白球的 甲箱，裝有 2個(gè)紅球、2個(gè)白球的乙箱，以及裝有 1 個(gè)紅球、 3個(gè)白球的丙箱中 各隨機(jī)摸出 1 個(gè)球，所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表： (注：所有小球僅顏色有區(qū) 別)紅球個(gè)數(shù) 3210實(shí)際付款 半價(jià) 7 折 8折 原價(jià)(I)若兩個(gè)顧客都選擇方案二，各抽獎(jiǎng)一次，求至少一個(gè)人獲得半價(jià)優(yōu)惠的概 率；(U)若某顧客購物金額為320元，用所學(xué)概率知識比較哪一種方案更劃算？ 7為豐富中學(xué)生的課余生活，增進(jìn)中學(xué)生之間的交往與學(xué)習(xí)，某市甲乙兩

5、所中 學(xué)舉辦一次中學(xué)生圍棋擂臺(tái)賽 比賽規(guī)則如下， 雙方各出 3名隊(duì)員并預(yù)先排定好 出場順序， 雙方的第一號選手首先對壘， 雙方的勝者留下進(jìn)行下一局比賽， 負(fù)者 被淘汰出局， 由第二號選手挑戰(zhàn)上一局獲勝的選手， 依此類推， 直到一方的隊(duì)員 全部被淘汰， 另一方算獲勝 假若雙方隊(duì)員的實(shí)力旗鼓相當(dāng) (即取勝對手的概率 彼此相等)(I )在已知乙隊(duì)先勝一局的情況下，求甲隊(duì)獲勝的概率.(U)記雙方結(jié)束比賽的局?jǐn)?shù)為 g求E的分布列并求其數(shù)學(xué)期望EE8M 公司從某大學(xué)招收畢業(yè)生，經(jīng)過綜合測試，錄用了 14名男生和 6名女生， 這 20 名畢業(yè)生的測試成績?nèi)缜o葉圖所示(單位：分) ，公司規(guī)定：成績在 180

6、分以上者到 “甲部門”工作； 180分以下者到“乙部門”工作另外只有成績高于 180 分的男生才能擔(dān)任 “助理工作 ”(I )如果用分層抽樣的方法從 甲部分”人選和乙部分”人選中選取8人，再從 這8人中選3人，那么至少有一人是 甲部門”人選的概率是多少？(U )若從所有 甲部門”人選中隨機(jī)選3人，用X表示所選人員中能擔(dān)任 助理 工作”的人數(shù)，寫出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望.男女8 8 6168 240,第二種方案比較劃算.(12分)7. （2016?商丘校級模擬）為豐富中學(xué)生的課余生活，增進(jìn)中學(xué)生之間的交往與 學(xué)習(xí)，某市甲乙兩所中學(xué)舉辦一次中學(xué)生圍棋擂臺(tái)賽. 比賽規(guī)則如下，雙方各出 3名隊(duì)

7、員并預(yù)先排定好出場順序，雙方的第一號選手首先對壘，雙方的勝者留下 進(jìn)行下一局比賽，負(fù)者被淘汰出局，由第二號選手挑戰(zhàn)上一局獲勝的選手， 依此 類推，直到一方的隊(duì)員全部被淘汰，另一方算獲勝.假若雙方隊(duì)員的實(shí)力旗鼓相 當(dāng)（即取勝對手的概率彼此相等）（I ）在已知乙隊(duì)先勝一局的情況下，求甲隊(duì)獲勝的概率.（U）記雙方結(jié)束比賽的局?jǐn)?shù)為 g求E的分布列并求其數(shù)學(xué)期望EE【解答】解：（I ）在已知乙隊(duì)先勝一局的情況下，相當(dāng)于乙校還有 3名選手， 而甲校還剩2名選手，甲校要想取勝，需要連勝 3場，或者比賽四場要?jiǎng)偃龍觯?且最后一場獲勝，所以甲校獲勝的概率是! + - 一（U ）記雙方結(jié)束比賽的局?jǐn)?shù)為 g貝U g

8、 =3 4，卯（g二3）二（+）今P（E 二4XC婿P（E二5XC；晡&盧令所以g的分布列為g345P1334SS數(shù)學(xué)期望二二-二+三.-三十.8. （2016?武昌區(qū)模擬）M公司從某大學(xué)招收畢業(yè)生，經(jīng)過綜合測試，錄用了 14 名男生和6名女生，這20名畢業(yè)生的測試成績?nèi)缜o葉圖所示（單位：分），公司 規(guī)定：成績在180分以上者到 甲部門”工作；180分以下者到 乙部門”工作.另 外只有成績高于180分的男生才能擔(dān)任 助理工作”.(I)如果用分層抽樣的方法從 甲部分”人選和乙部分”人選中選取8人，再從 這8人中選3人，那么至少有一人是 甲部門”人選的概率是多少？(U )若從所有 甲部門”人選中隨

9、機(jī)選3人，用X表示所選人員中能擔(dān)任 助理 工作”的人數(shù)，寫出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望.161718 19【解答】解：(I)用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率為一，20 5根據(jù)莖葉圖，有 甲部門”人選10人，乙部門”人選10人，所以選中的 甲部門”人選有10 X=4人，乙部門”人選有10 X二=4人，55用事件A表示 至少有一名甲部門人被選中”，則它的對立事件口表示 沒有一名甲 | |部門人被選中”貝U P (A) =1 - P (2) =1-弓=1-旦里.C3 56 14因此，至少有一人是 甲部門”人選的概率是；14(U)依據(jù)題意，所選畢業(yè)生中能擔(dān)任 助理工作”的人數(shù)X的取值分別為0,

10、 1, 2, 3,c?c1D / Vi 2clc3 id貢,P( X=1)-10=10P( X=0) 1，P(X=2)=c?0i_3 0 嚎- ，P(X=3)=；30+3XCio因此，X的分布列如下:X0123p1311301026所以X的數(shù)學(xué)期望EX=0X丄+1+2X3030 (2016?洛陽二模)生產(chǎn) A，B兩種元件，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大 于或等于82為正品，小于82為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測,檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:測試指標(biāo)70，76)76, 82)82，88)88， 94)94，100元件A81240328元件B71840296(I)試分別估計(jì)元件A，兀件B為正

11、品的概率；(n)生產(chǎn)件兀件A，若是正品可盈利40兀，若是:次品則虧損5元；生產(chǎn)一件兀件B,若是正品可盈利50兀，若是次品則虧損10兀.在(I)的前提下，(i)記X為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤，求隨機(jī)變量 X的分 布列和數(shù)學(xué)期望；(ii )求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于140元的概率.【解答】解：(I)元件A為正品的概率約為曲；鶯世 冷.元件B為正品的概率約為1004(n) ( i ) V生產(chǎn)1件元件A和1件元件B可以分為以下四種情況：兩件正品，A次B正，A正B次，A次B次.隨機(jī)變量X的所有取值為90，45，30，- 15.v p( x=90)-=：544;P( X=30) =；

12、P( X=45)=丄54 20P (X=- 15) =| 丄.5420隨機(jī)變量X的分布列為:(ii)設(shè)生產(chǎn)的5件元件B中正品有n件，貝U次品有5 - n 件.依題意得50n- 10 (5-n)140，解得6所以 n=4或n=5.設(shè)生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于140元”為事件A,128則 P (A)=二10. (2016?蚌埠一模)一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球， 從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱出它們的重量(單位：克)，重量分組區(qū)間為5,第13頁(共24頁)即 E (X) =0X最罔件磊心需=1（如15 , （15, 25 , （25, 35 , （35, 45，由此得到

13、樣本的重量頻率分布直方圖 圖），（1）求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；（2）從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量在5，15內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為X，的分布列和數(shù)學(xué)期望.（以直方圖中的頻率作為概率）.瞬至第#頁（共24頁）解得 a=0.03;又由最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為20，可估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)約為 20，而50個(gè)樣本小球重量的平均值為：X=0.2X 10+0.32X 20+0.3 X 30+0.18 X 40=24.6 （克）故估計(jì)盒子中小球重量的平均值約為 24.6克.（2）利用樣本估計(jì)總體，該盒子中小球的重量在5，15內(nèi)的 0.2;(3,），X=0, 1,2, 3;

14、(X=0)=叫X3= (x=1)(X=2)(X=3)=坊X2X 1=485125X(和2=3_ L125 712125 7125-)-)(一)(丄)014S1252 X的分布列為:3112511. （2016?新余三模）某企業(yè)準(zhǔn)備招聘一批大學(xué)生到本單位就業(yè)，但在簽約前要對他們的某項(xiàng)專業(yè)技能進(jìn)行測試在待測試的某一個(gè)小組中有男、女生共10人（其中女生人數(shù)多于男生人數(shù)），如果從中隨機(jī)選2人參加測試，其中恰為一男 一女的概率為；15（1）求該小組中女生的人數(shù)；（2）假設(shè)此項(xiàng)專業(yè)技能測試對該小組的學(xué)生而言，每個(gè)女生通過的概率均為 一，4每個(gè)男生通過的概率均為一；現(xiàn)對該小組中男生甲、男生乙和女生丙 3個(gè)人

15、進(jìn)行3_ 8測試，記這3人中通過測試的人數(shù)為隨機(jī)變量 E求E的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解答】解：（1）設(shè)該小組中有n個(gè)女生，根據(jù)題意, 解得n=6，n=4 （舍去）， 該小組中有6個(gè)女生；（2）由題意，E的取值為0，1, 2, 3； E的分布列為:0123丄11236363636 EE =X12. （2016?可北區(qū)一模）某大學(xué)準(zhǔn)備在開學(xué)時(shí)舉行一次大學(xué)一年級學(xué)生座談會(huì)， 擬邀請20名來自本校機(jī)械工程學(xué)院、海洋學(xué)院、醫(yī)學(xué)院、經(jīng)濟(jì)學(xué)院的學(xué)生參加,各學(xué)院邀請的學(xué)生數(shù)如下表所示:（I ）從這20名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生發(fā)言，求這3名學(xué)生中任意兩個(gè)均不學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院海洋學(xué)院醫(yī)學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院人數(shù)4646第19

16、頁(共24頁)屬于同一學(xué)院的概率;（n）從這20名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生發(fā)言，設(shè)來自醫(yī)學(xué)院的學(xué)生數(shù)為求隨機(jī)變量E的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.【解答】解：（I）從20名學(xué)生隨機(jī)選出3名的方法數(shù)為悶口,選出3人中任意兩個(gè)均不屬于同一學(xué)院的方法數(shù)為:所以1 4C1 4C1 6C+11 6C819-(n ) E可能的取值為0, 1, 2, 3,321 八 c165X7X1628“匕一八丿佰J 8X15X43P角二二歹二豁2QI9二麗 鞏 冷)-卬二 4 二20P(E _2)_C 來才 -16 X 63-、二3二巴 33X20X19-%v20所以E的分布列為285718953285所以 t- -Tx13.

17、（2016?可南校級二模）甲、乙兩名同學(xué)參加 漢字聽寫大賽”選拔測試，在相 同測試條件下，兩人5次測試的成績（單位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595(I )請畫出甲、乙兩人成績的莖葉圖你認(rèn)為選派誰參賽更好？說明理由(不用計(jì)算)；(n)若從甲、乙兩人5次的成績中各隨機(jī)抽取一個(gè)成績進(jìn)行分析， 設(shè)抽到的兩 個(gè)成績中，90分以上的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望EX【解答】解：(I )莖葉圖如圖所示，由圖可知，乙的平均成績大于甲的平均成 績，且乙的方差小于甲的方差，因此應(yīng)選派乙參賽更好.(n)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1, 2卩Cx二0匸吾

18、尹二茹，p仗二D二頁尹=茹，尹近,隨機(jī)變量X的分布列是：X0116252種情況發(fā)生的概率分別為丄,T I；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20%，甲,乙5 S565678g175295也可能損失20%,這兩種情況發(fā)生的概率分別為a和B( a+B =1.(1)如果把10萬元投資甲項(xiàng)目，用E表示投資收益(收益=回收資金-投資資 金),求E的概率分布及Eg(2)若把10萬元投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，求的取值范圍.【解答】解：(1)依題意，E的可能取值為1, 0,- 1,P (E =),P (E =0,4P ( E- 1)丄,4 E的分布列為：(2)設(shè)n表示10萬元投資乙項(xiàng)目的收益

19、,則n的可能取值為2,- 2,P (n =2 = aP ( n=- 2) = B,n的分布列為n2paEn =2 2 B =4 2,把10萬元投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益, 4 a- 24解得：(12分)15. (2016?興慶區(qū)校級二模)袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為 丄.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸， 乙后取，然后甲再取，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止.每枚棋 子在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的.用X表示取棋子終止時(shí)所需的取棋子的 次數(shù).(1) 求隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望 E (X);(2) 求甲取到白球

20、的概率.【解答】解：設(shè)袋中白球共有x個(gè)，則依題意知:2笨，即忖專,即 x2-x-6=0,解之得 x=3, (x=- 2 舍去).( 1 分)(x=3)(1)袋中的7枚棋子3白4黑，隨機(jī)變量X的所有可能取值是1, 2, 3, 4, 5.(x=4)(x=5)A沁肩A沁,(5分)=M.3A77(x=1)27(x=2)A沁 有(注：此段(4分)的分配是每錯(cuò)1個(gè)扣(1分)，錯(cuò)到4個(gè)即不得分.)隨機(jī)變量X的概率分布列為：所以E (X)2=1X 二+2X 丄 +3X7735+4X+5X43_35135=2. (6 分)(2)記事件A=甲取到白球”，則事件A包括以下三個(gè)互斥事件:Ai=甲第1次取球時(shí)取出白球A

21、2=甲第2次取球時(shí)取出白球甲第3次取球時(shí)取出白球依題意知：P( A1)=-A3=寸，P( A2)=,P(A3)A； (9 分)(注：此段(3分)的分配是每錯(cuò)1個(gè)扣(1分)，錯(cuò)到3個(gè)即不得分.)所以，甲取到白球的概率為 P (A) =P (A1) +P (A2) +P (A3)=(10分) 3516. （2016?湖南一模）小王為了鍛煉身體，每天堅(jiān)持 健步走”并用計(jì)步器進(jìn)行 統(tǒng)計(jì)小王最近8天 健步走”步數(shù)的頻數(shù)分布直方圖（如圖）及相應(yīng)的消耗能量 數(shù)據(jù)表（如表）.健步走步數(shù)（千卡）16 17 18 19消耗能量（卡路里）400 440 480 520（I ）求小王這8天 健步走”步數(shù)的平均數(shù);（U

22、）從步數(shù)為16千步，17千步，18千步的幾天中任選2天，設(shè)小王這2天通過健步走消耗的 能量和”為X,求X的分布列.【解答】（本小題滿分13 分）第21頁（共24頁）解：（I）小王這8天 健步走”步數(shù)的平均數(shù)為:- （千步）（II） X的各種取值可能為 800，840，880，920.3 1C上bP（X二 840）clc!+c? 4P（X二炎 0） 7u6_2_15X的分布列為:800I8408809202.A_2.引15157.（13分）17. （2016?雅安模擬）某校從參加某次數(shù)學(xué)能力測試的學(xué)生中中抽查 36名學(xué)生, 統(tǒng)計(jì)了他們的數(shù)學(xué)成績（成績均為整數(shù)且滿分為 120分），成績的頻率直方圖

23、如圖所示，其中成績分組間是：80, 90），90，100），100，110），110，120（1）在這36名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求同時(shí)滿足下列條件的概率：（1）有 且僅有1名學(xué)生成績不低于110分；（2）成績在90，100）內(nèi)至多1名學(xué)生；（2）在成績是80, 100）內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取3名學(xué)生進(jìn)行診斷問卷，設(shè)成績在90，100）內(nèi)的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得;10a=1（士X 10=，解得a-;成績在80, 90）分的學(xué)生有36X需X 10=3人,成績在90, 100）分的學(xué)生有36X亠X 10=6人，60成績在100, 110）分

24、的學(xué)生有36XX 10=18人,成績在110, 120）分的學(xué)生有36X X 10=9人；40記事件A為 抽取3名學(xué)生中同時(shí)滿足條件的事件 包括事件A1= 抽取3名學(xué)生中，1人成績不低于110分，0人在90, 100）分之 間” 事件A2二抽取3名學(xué)生中，1人成績不低于110分，1人在90, 100）分之間” 且A1、A是互斥事件；no85=1=34Cc P (A) =P (A1+A2) =P (Ai) +P (A2)=I比(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0, 1, 2, 3; P (X=0) 一sic3 x的分布列為(X=3)一！.721314數(shù)學(xué)期望為EX=（X3旦21x2+2乂些 +3 X141528521=2.=曲=