平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角(教學(xué)設(shè)計)

1、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角陳 芳 山東省濱州市濱城區(qū)第二中學(xué)1教材依據(jù)本節(jié)課選自人民教育岀版社出版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修（4）第二章“平而向量”中2.4.2平而向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角.2設(shè)計思想（-）教材分析1. 平而向量”在必修（4）中安排在第一章三角函數(shù)”之后，它在整套教材中起著關(guān)鍵的 紐帶作用.在本套教材必修1、2中已經(jīng)研究了簡單的初等函數(shù)和平而解析幾何、立體幾何知識， 他們是分別從數(shù)和形兩個角度來研究數(shù)學(xué)，而把數(shù)形緊密聯(lián)系起來的工具就是三角和向量.向量是 一個既有大小又有方向的量，它直接融代數(shù)、幾何于一身，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之 一，它是溝通代數(shù)

2、、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中有 著廣泛的應(yīng)用.在向量系中，平面向量又是基礎(chǔ)，平而向量數(shù)量積的坐標表示為解決“形”中的長 度、角度問題等問題帶來了方便.因此它在整個向量系乃至整個數(shù)學(xué)學(xué)科中占據(jù)非常重要的地位.2. 數(shù)學(xué)思想方法分析：本節(jié)課在教學(xué)中力圖向?qū)W生展示類比、聯(lián)系、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù) 學(xué)思想方法.（二）學(xué)情分析：知識上，學(xué)習(xí)過向量加減法的坐標運算和數(shù)量積左義、性質(zhì)、運算律等.方法上，研究過向量 加減法運算的推導(dǎo)過程.思維上，從經(jīng)驗型抽象思維開始上升到理論型抽象思維能力上，主動遷 移、主動重組、整合的能力較弱.三、教學(xué)目標根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析

3、，考慮到學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)、心理特征，本節(jié)課制左如下教學(xué) 目標：1. 知識目標：掌握平而向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角，掌握向量垂直的充要條件.并能運 用平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角等知識進行簡單的訃算和證明.2. 能力目標：培養(yǎng)學(xué)生類比、聯(lián)系、轉(zhuǎn)化等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想方法， 培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)，提岀問題、分析問題、解決問題的能力.3. 情感目標：體驗探索的樂趣，認識世間萬物之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.讓學(xué)生在民主、和諧的共同 活動中感受學(xué)習(xí)的樂趣.四、教學(xué)重點.難點：重點：數(shù)量積坐標表示的推導(dǎo)過程.難點：公式的建立與應(yīng)用.五. 教學(xué)準備為節(jié)省時間，提髙課堂效率制作了課件，提前分好學(xué)

4、習(xí)小組.教學(xué)流程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計意圖雙邊活動一、新課導(dǎo)入在學(xué)生思維的最近發(fā)學(xué)生：自己設(shè)計，電腦出示：問題1展區(qū)提供材料，讓學(xué)然后小組討論.已知兩個向量D =（5,2）,5 = （3,4）,你能設(shè)計什么生發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)學(xué)教師：巡視觀察學(xué)問題？生提出問題、分析問生反應(yīng)并適當點題、解決問題的自主撥，在學(xué)生討論的探究能力和創(chuàng)新意基礎(chǔ)上，做適當引識.導(dǎo).引導(dǎo)：1.坐標給定：與坐標對應(yīng)的從原點岀發(fā)的向量唯一確學(xué)生：繼續(xù)設(shè)計，定.滲透數(shù)形結(jié)合意識，然后小組內(nèi)交流.2.向量的兩個要素：模、夾角隨之確定.突出向量的兩個要可設(shè)計求|可=? b =?素.教師：巡視學(xué)生的設(shè)計.ZAOB=?等回顧舊知：1.數(shù)量積的定義:a

5、-b=a cos32.數(shù)量積的性質(zhì)：學(xué)生：小組內(nèi)討論，(1)萬丄 B O iib = 0復(fù)習(xí)回顧舊知為得出派代表回答.(2)當7與S同向時,a b = ab .新知做準備.當&與b反向時，N 亦=0同教師：把以上內(nèi)容板書到黑板上.特別地， = !或冋= jaN （3）c 云 bCOS e = -r-引導(dǎo)：若能求出：a *b = ?則a = y/a N或” =y/b b 可解.N b從而cos e = 可解.砒所以問題的關(guān)鍵是如何用坐標表示a方=?突岀重點，為后而建 立模、夾角公式做鋪 墊，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí) 數(shù)量積坐標表示的積 極心理傾向.學(xué)生：在教師的引 導(dǎo)下思考.教師：引導(dǎo)學(xué)生思 考.電腦出示

6、：問題2：已知兩個非零向量習(xí)=（X,兒汕=（%2，丁2），怎樣用ab的坐標表示運呢？教學(xué)信息的模糊性最 能引起學(xué)生思維上不 確左性觀念的產(chǎn)生， 促使學(xué)生形成求異心 理狀態(tài).為了突出教學(xué)重 點，突破教學(xué)難點， 遵循新課標中提岀的 重視學(xué)生的自主活 動，強調(diào)學(xué)生的親身 體驗關(guān)注學(xué)生的興 趣，讓學(xué)生主動探究” 這一教學(xué)指導(dǎo)思想.學(xué)生:思考解決.教師：激勵學(xué)生去思， 啟發(fā)學(xué)生去想， 引導(dǎo)學(xué)生去疑， 鼓勵學(xué)生去探.1. N 方=（心）（*22）=（心兀222. a b =（心，必）（*22）=小*2 +兀2 + *2必+歹23. a b =（旺）心22）=心尤2+川2使學(xué)生突破關(guān)鍵，得 岀正確結(jié)果并從中

7、體 驗樂趣.學(xué)生：進行自我評 價.教師：引導(dǎo)學(xué)生評 價總結(jié).解決問題，得出公式電腦出示：問題3已知兩個非零向量a = （!，!）, = （x29y2）f求N b = ?使學(xué)生對問題有明確學(xué)生：思考理解認解：設(shè)亍,j分別是兩個與X、y軸的方向相同的單位的認識，理解問題的同.向量，則實質(zhì)，抓住重點.教師：投影出示學(xué)（和+川譏切+兒力二生的解題過程.ab=2 + xxyjj + x2yjj + yyj2教師：板書課題到=可勺+兒為黑板上，在課題下即 a 不=xxx2 +yxy2方書寫這就是說，兩個向量的數(shù)疑積等于他們對應(yīng)坐標的a . b乘積的和.心勺+丿2兩個向坐標表示的實質(zhì)：雖:的數(shù)量積等于他表示

8、了坐標英運算必須按照向雖:的運算法則來進行，且滿足向量的運算律.們對應(yīng)坐標的乘積的和.1. 向量的模公式:若 N = (x9y)9 則襯=乂2+，2 或任| = y/x2 + y22. 平而內(nèi)兩點間的距離公式：若表示向量N的有向線段的起點和終點的坐標分別為(心，兒丄(*22)，那么= Jg-X)2 +G2-J1)2 3. 兩向呈:夾角的余弦公式：cos O = 2 abxlx2yly2 h y； . 722 4-j/4. 兩非零向量垂直的充要條件：ii Lbxxx2 + yxy2 =0.5 、 兩向量平行的充要條件：a / b xxy2 -x2yx =0聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.學(xué)生：上黑板書寫 以上公式，

9、然后共 同評價.教師：巡視指導(dǎo)，師 生總結(jié)歸納.運用公式、解決問題例 1.已知 A(l, 2), B(2,3),C(2,5),1. 求 |ab|, zabc.2. 你能判斷AABC的形狀嗎？3. K為何值時,向量貢+而與就而互相垂直：4. K為何值時，向量(k + 0麗與k就互相平行:1、緊緊圍繞“數(shù)形結(jié) 合”這根主線.2、注意前后知識的區(qū) 別與聯(lián)系.進一步強 化“數(shù)形結(jié)合”意識， 突岀坐標運算經(jīng)常解 決的問題.學(xué)生：獨立完成然 后討論總結(jié).教師：投影展示學(xué) 生的解法，并與學(xué) 生一起討論訂正得 正確結(jié)論，總結(jié)解 題規(guī)律等并書寫到 黑板上.例2. 一條河的兩岸平彳的速度 Vj = lQkm /l

10、i 訐與石的夾角多;*才能使行駛航程解：如圖建立坐標irf, 一艘船丿，水流速度時，最短系，由題意|，X人A處出發(fā)，已知船石=4km/h9那么可得：=10 |Fz|=4（0感悟數(shù)學(xué)是與生活，與苴他學(xué)科緊密聯(lián)系 的，感受數(shù)學(xué)實質(zhì)上 是一種深刻的人類文 化.教師：投影展示學(xué) 生的解法并予以訂 正，然后岀示正確 的解題過程，總結(jié) 解題規(guī)律等并書寫 到黑板上.5 =(7兒)弼 2 =(4 論八可_叭2=5vsy,0) 且 Vj4x4 +j0 10x4歸納小結(jié)，提煉觀點1. 知識上：數(shù)量積的坐標表示，模、夾角公式，用坐標 表示的向量垂直、平行的充要條件.2. 方法上：數(shù)量積的坐標表示為解決幾何中長度、角

11、度 問題提供了方便.3. 情感上：養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣.發(fā)展學(xué)生對知識的組 織、整合、詮釋的能 力學(xué)生:代表回答，其 他學(xué)生補充.教師：組織引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)1學(xué)生討論，歸納以下幾種題型：（變習(xí)題為問題）（1）已知兩個向疑的坐標，求數(shù)量積、模、夾角等.（2）已知一個向量的坐標和它與另一向量的數(shù)量積及 平行、垂直等條件，求另一向量的坐標.（3）已知三角形、四邊形頂點的坐標，判斷它為直角 三角形，矩形，直角梯形等.（4）已知矩形三個頂點的坐標，求第四個頂點的坐標.新課改要求，教師必 須關(guān)注每一個學(xué)生的 發(fā)展，作業(yè)的靈活性 是根據(jù)學(xué)生發(fā)展狀況 的差異而泄：而由學(xué) 生梳理題型發(fā)展學(xué)生 對知識的歸

12、納、重組、學(xué)生：在課堂上學(xué)生做1,課下做2、3.學(xué)生做1,師生共同 總結(jié)歸納.2課本 Pi=i7. & 9、11.整合能力.板書設(shè)計給學(xué)生起示范作用， 重點內(nèi)容的板書充分 調(diào)動學(xué)生的有意注 意，加深對知識的理 解.板書設(shè)計:2. 4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角1. a b = ab cos&ab =.皿+心例1:規(guī)律：2. (1)N 丄 5 o5 = 0ci / b a = Ab(2) 0心一3 =萬丄 /? o xxx2 + yxy2 = 0 a / h a = AbXi = AxsLh =以0)，2一尤2 力=當云與方同向時， a-b =同艸.N與方反向時，a-b = 1|/?|

13、.特別地，a a =問 $ 或同=”=乂2 +尹?或 a = y/x2 -h y2.0二竝-訂+()例2:規(guī)律：2-小結(jié)：六、教學(xué)反思優(yōu)點：1從實際的教學(xué)效果來看，本課設(shè)計較好地落實了既左的三維目標，學(xué)生思維活躍，發(fā)散性較 好，教師又能用適當?shù)膯l(fā)和疑問引領(lǐng)學(xué)習(xí)活動沿著一泄的主線進行.學(xué)生能夠?qū)⒄趯W(xué)習(xí)的知識 與生活實踐緊密聯(lián)系，解決了不少困惑，也產(chǎn)生了不少新的問題.整節(jié)課氣氛活躍，師生互動、生 生互動都很好，較好地實現(xiàn)了生生之間和師生之間的對話和交流，體現(xiàn)了學(xué)生主體性.2. 本節(jié)課主要運用了探究性教學(xué).對于公式的教學(xué)，不是生硬地告訴學(xué)生公式，而是通過設(shè)宜 一個個問題，層層不斷的闡釋，最后讓學(xué)生推導(dǎo)岀公式，這樣不但讓學(xué)生對公式有準確