圓錐曲線專題(求離心率的值、離心率的取值范圍)

1、 圓錐曲線專題圓錐曲線專題 求離心率的值求離心率的值 師生互動環(huán)節(jié)師生互動環(huán)節(jié) 講課內(nèi)容：講課內(nèi)容：歷年高考或模擬試題關(guān)于離心率的求值問題分類精析與方法歸納點撥。 策略一：根據(jù)定義式求離心率的值策略一：根據(jù)定義式求離心率的值 在橢圓或雙曲線中，如果能求出的值，可以直接代公式求離心率；如果不能得到ca、 的值，也可以通過整體法求離心率：橢圓中；雙曲線中.ca、 2 2 1 a b a c e 2 2 1 a b a c e 所以只要求出值即可求離心率. a b 例 1.（20102010 年全國卷年全國卷 2 2）己知斜率為 1 的直線 與雙曲線： 22 22 100 xy ab ab ，相交于

2、lc 兩點，且的中點為，求曲線的離心率.db、bd)3 , 1 (mc 解析：解析：如圖，設(shè)，則),(),( 2211 yxdyxb、 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 1 2 2 2 2 2 2 b y a x -整理得0 )()( 2 2121 2 2121 b yyyy a xxxx 又因為為的中點，則，且，代入得)3 , 1 (mbd6, 2 2121 yyxx 21 xx ，解得，所以.1 3 2 2 21 21 a b xx yy kbd3 2 2 a b 2311 2 2 a b e 方法點撥：方法點撥：此題通過點差法建立了關(guān)于斜率與的關(guān)系，解得的值，從而整體代入求出

3、a b 2 2 a b 離心率 .當然此題還可以通過聯(lián)立直線與曲線的方程，根據(jù)韋達定理可得，e),( 21 baxx 或者，從而解出的值，最后求得離心率.2),(ba),( 21 bayy6),(ba 2 2 a b 【同類題型強化訓練同類題型強化訓練】 1.（呼市二中模擬）已知中心在原點，焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為，x032 yx 則雙曲線的離心率為（ ）. 3 13 . a 2 13 .b 3 15 .c 2 10 .d 2.（衡水中學模擬）已知中心在原點，焦點在軸上的一橢圓與圓交于x 222 ) 1()2(ryx 兩點，恰是該圓的直徑，且直線的斜率，求橢圓的離心率.ba、abab

4、2 1 k 3.（母題）已知雙曲線，雙曲線上一動點到兩條漸近線的距離乘積為)0( 1: 2 2 my m x cp ，求曲線的離心率. 2 1 c 【強化訓練答案強化訓練答案】 1.答案：答案：由雙曲線焦點在上，則漸近線方程，又題設(shè)條件中的漸近線方程為x0aybx ，比較可得，則.032 yx 3 2 a b 3 13 9 4 11 2 2 a b e 2.答案：答案：設(shè)橢圓方程為，則)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ),(),( 2211 yxbyxa 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 1 2 2 2 2 2 2 b y a x -整理得0 )()( 2 2121

5、2 2121 b yyyy a xxxx 因為恰是該圓的直徑，故的中點為圓心，且abab) 1 , 2( 21 xx 則，代入式整理得2, 4 2121 yyxx 2 2 21 21 2 a b xx yy k 直線的斜率，所以，解得ab 2 1 k 2 12 2 2 a b k 4 1 2 2 a b 所以離心率. 2 3 4 1 11 2 2 a b a c e 3.答案：答案：曲線的漸近線方程分別為和，設(shè)，則c0: 1 ymxl0: 2 ymxl),( 00 yxp 點到直線 的距離，),( 00 yxp 1 l m ymx d 1 00 1 點到直線的距離，),( 00 yxp 2 l

6、 m ymx d 1 00 2 m myx m ymxymx dd 11 2 0 2 0 0000 21 因為在曲線上，所以，故，解得),( 00 yxpcmmyx 2 0 2 0 2 1 1 21 m m dd1m 所以.2e 策略二：構(gòu)造策略二：構(gòu)造的關(guān)系式求離心率的關(guān)系式求離心率ca, 根據(jù)題設(shè)條件，借助之間的關(guān)系，溝通的關(guān)系（特別是齊次式） ，進而得到cba,ca、 關(guān)于 的一元方程，從而解方程得出離心率 .ee 例 2.已知是雙曲線的兩焦點，以線段為邊作正三角形 21,f f)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 21f f ，若邊的中點在雙曲線上，求雙曲線的離心率.

7、 21f mf 1 mfp 解析：解析：如圖 1，的中點為，則點的橫坐標為. 1 mfpp 2 c 由，cffpf 211 2 1 焦半徑公式aexpf p 1 有，a c a c c) 2 ( 即022 22 acac 有022 2 ee 解得，或（舍去）.31e31e 方法點撥：方法點撥：此題根據(jù)條件構(gòu)造關(guān)于的齊次式，通過齊次式結(jié)合離心率的定義整理成ca, a c e 關(guān)于 的一元方程，從而解出離心率的值.注意解出的結(jié)果要做驗證，取符合離心率的范圍的e 結(jié)果：.), 1 (),1 , 0( 雙曲線橢圓 ee 【同類題型強化訓練同類題型強化訓練】 1.（2011 新課標）已知直線 過雙曲線的

8、一個焦點，且與的對稱軸垂直， 與交于、lcclca 兩點，為的實軸長的 2 倍，則的離心率為（ ）b|abcc 2 3. a2.b3.c.d 2.（2008 浙江）若雙曲線的兩個焦點到一條準線的距離之比為 3：2,則雙曲線的1 2 2 2 2 b y a x 離心率是（ ） 3 5 . a.b.c3.d5 【同類題型強化訓練答案同類題型強化訓練答案】 1.答案：答案：依據(jù)題意，解得.a a ac ab2 22 22 2e 2.答案：答案：依據(jù)題意，整理得，所以.2:3)( : )( 22 c a c c a c 22 3ac 3 a c e 策略三：根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求離心率（第二定義）策

9、略三：根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求離心率（第二定義） 由圓錐曲線的第二定義，知離心率 是動點到焦點的距離和動點到準線的距離之比，適e 用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題，即.e d mf 例 3.（2010 年遼寧卷）設(shè)橢圓的左焦點為，過點的直線與橢圓 22 22 :1(0) xy cab ab ff 相交于兩點，直線 的傾斜角為,求橢圓的離心率.cba,l602affb c 解法一：解法一：作橢圓的左準線,過作的垂線，垂足為；過作的垂線，垂足為baaba a bb b .過作的垂線，垂足為.如圖 2. b ba a m 由圖，由橢圓的第二定義，則 ，e aa af e af aae bb bf e

10、 bf bb 1 2 : e bf e af bbaabbaa2 且,所以是的中點aabmma a 又因為直線 的傾斜角為，即，l6060afxbam 所以在中，,故.bamrtaaamab 2 3 2 3 2 ab ab aa af e 解法二：解法二：設(shè)，由題意知，. 1122 ( ,), (,)a x yb xy 1 0y 2 0y 直線 的方程為 ，其中.l3()yxc 22 cab 聯(lián)立得 22 22 3(), 1 yxc xy ab 22224 (3)2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3(2 )3(2 ) , 33 b cab ca yy abab 因為，所以

11、.2affb 12 2yy 即 22 2222 3(2 )3(2 ) 2 33 b cab ca abab 得離心率 . 2 3 c e a 方法點撥：方法點撥：該題對于課標地區(qū)選擇第二種代數(shù)法處理，對于自主命題對圓錐曲線的第二定義 要求的地區(qū)，兩種方法都可以給學生講講。對于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思維，對 計算要求不高；對于方法二：對學生的計算能力有較高的要求，重在計算。 【同類題型強化訓練同類題型強化訓練】 1.（2010 全國卷二）已知橢圓 22 22 :1(0) xy cab ab 的離心率為 3 2 ，過右焦點f且斜率為 (0)k k的直線與c相交于ab、兩點若3affb ，則

12、（ ）k 1 2 3 2. a.b.c.d 2.已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且fcbbfcd ，則的離心率為 .fdbf2c 【強化訓練答案強化訓練答案】 1. 答案：答案：設(shè)直線 為橢圓的右準線， 為離心率，過分別作,垂直于 ，leba、a a b b l 為垂足，過作垂直于與，如圖 3 所示，ba 、 bbea a m 由橢圓第二定義，則 ,，由,得 e af aa e bf bbfbaf3 e bf aa 3 所以， 3 3 2 1 4 2 cos ebfe bf ab ae bae ，所以.故選.21 cos 1 tan 2 bae bae2kb 2.答

13、案：方法一：答案：方法一：如圖 4，, 22 |bfbca 作軸于點,則由，得,所以, 1 ddy d fdbf2 |2 |3 ofbf ddbd 33 | 22 ddofc 即,由橢圓的第二定義得 3 2 d c x 22 33 |() 22 acc fdea ca 又由,得,整理得.| 2|bffd 2 3 2 c ca a 22 320caac 兩邊都除以,得,解得. 2 a 2 320ee 1()e 舍去，或 2 3 e 方法二：方法二：設(shè)橢圓方程為：第一標準形式，分線段所成的比為 2，fbd ，帶入 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb

14、xxxc yy ，. 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 課時課時 2 2、離心率的取值范圍、離心率的取值范圍 一、師生互動環(huán)節(jié)一、師生互動環(huán)節(jié) 講課內(nèi)容：講課內(nèi)容：歷年高考或模擬試題關(guān)于離心率的取值范圍問題分類精析與方法歸納點撥。 策略一：利用曲線中變量的范圍求離心率的范圍策略一：利用曲線中變量的范圍求離心率的范圍 用曲線中變量的范圍，在橢圓中，；在雙曲線中 22 22 10 xy ab ab （）axa 中，或. 22 22 10,0 xy ab ab （）axax 例 1.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，如果橢圓上存在點， 22 22 10 xy ab ab （）ff 12 、

15、p 使，求離心率 的取值范圍. 12 90fpfe 解析：解析：設(shè)，又知，則),(yxp 12 0(0)fcfc(，) ， ，),( 1 ycxpf),( 2 ycxpf 因為，則，即 12 90fpfpfpf 21 0)( 2 21 ycxcxpfpf 所以 222 cyx 聯(lián)立方程，消，解得 222 2 2 2 2 1 cyx b y a x y 2222 2 22 a ca b x ab 又因為，故， 12 90fpf 22 0ax 2222 2 22 0 a ca b a ab 即 解不等式，結(jié)合橢圓的離心率范圍為，可得.) 1 , 0(e 2 1 2 e，） 方法點撥：方法點撥：由題

16、知，根據(jù)限制條件用表示，即，然后代入不axacba,x),(cbax 等式，結(jié)合整理得關(guān)于的齊次不等式，從而求出離心率的取acbaa),( 222 cbaca, 值范圍.當然此題解決的辦法絕不止這一種，根據(jù)幾何關(guān)系或基本不等式等都能很好的解決. 【同類題型強化訓練同類題型強化訓練】 1.（2007 湖南）設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準線 12 ff， 22 22 1 xy ab 0ab 上存在點使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）,p 1 pf 2 f . a 2 0 2 ，.b 3 0 3 ，.c 2 1 2 ，.d 3 1 3 ， 2.(2008 福建)雙曲線的兩個

17、焦點為,若為其上一點，且 22 22 1 xy ab )0, 0(ba 21 ff、p ,則雙曲線離心率的取值范圍為（ ） 21 2pfpf (1,3) (3,+) . a.b1,3.c.d3, 3.（2010 四川）橢圓的右焦點，其右準線與軸的交點為a，在橢圓 22 22 1() xy ab ab fx 上存在點p滿足線段ap的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是( )5*u.c o*mf . a 2 0, 2 .b 1 0,2 .c2 1,1 .d 1,1 2 【強化訓練答案強化訓練答案】 1. 答案：答案：如圖, ,c c a af 2 2 因為線段的中垂線過點，則 1 pf 2 f

18、 22121 afffff ,即，解得cffpf2 212 c c a c 2 2), 3 3 e 又橢圓的離心率，綜上.) 1 , 0(e 3 1 3 e ， 2.答案：答案：分別為左右焦點，設(shè)在雙曲線的右支上，則 21 ff、),( 00 yxp ，aexpfaexpf 0201 , 由，則解得 21 2pfpf )(2 00 aexaex e a x 3 0 因為在雙曲線的右支上，則，即，解得.),( 00 yxpax 0 a e a 3 31 e 3.答案：答案：由題意，橢圓上存在點，使得線段的垂直平分線過點，papf 即點到點與點的距離相等w_w w. k#s5_u.c o*mfpa

19、 而 w_w_w.k* 22 ab fac cc ,cacapf 于是 即 2 b c ,caca w*又，故. 222 222 cacca cacac 1 1 1 2 c a cc aa 或 ) 1 , 0(e) 1 , 2 1 e 策略二：正、余弦定理在求離心率范圍問題中的應(yīng)用策略二：正、余弦定理在求離心率范圍問題中的應(yīng)用 例 1.已知為橢圓的焦點，為橢圓上一點，則橢 21 ff、)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x m,60 21 mff 圓的離心率的范圍為 . 解析：解析：如圖,為橢圓上一點，設(shè)，則m),( 00 yxm 0201 ,examfexamf 在中，由余弦定理，

20、則 21f mf 2 1 2 60cos 21 2 21 2 2 2 1 mfmf ffmfmf amfmf2 21 聯(lián)立解得因為在橢圓中，則, 3 4 2 22 2 0 e ac x 22 0 0ax ，解不等式得. 2 2 22 3 4 0a e ac ) 1 , 2 1 e 方法點撥：方法點撥：根據(jù)正、余弦定理結(jié)合橢圓的焦半徑公式，用表示，即，根據(jù)ca, 0 x),( 0 cax 變量解出離心率，但是此題要構(gòu)成，故點不能在軸上，所以此acaa),( 21f mfmx 題結(jié)合橢圓的范圍可求出離心率的范圍.acaa),() 1 , 0(e 【自我評價自我評價】 1. 已知橢圓的左右焦點分別為

21、，若橢圓上存在點使)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0 ,() 0 , ( 21 cfcf、p ，則該橢圓離心率的取值范圍為 . 1221 sinsinfpf c fpf a 2. (衡水調(diào)研卷)從一塊短軸長為的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的b2 取值范圍是，則橢圓離心率的取值范圍是 .4 ,3 22 bb 3.3.橢圓的焦點為，兩條準線與軸的交點分別為，若 22 22 1(0) xy ab ab 1 f 2 fxmn， ，則該橢圓離心率的取值范圍是（） 12 mnff . a 1 0 2 ，.b 2 0 2 ，.c 1 1 2 ，.d 2 1 2 ， 【自我

22、評價答案自我評價答案】 1.答案：答案：如圖，在中，由正弦定理，則 21pf f 2 1 12 21 12 2 21 1 sin sin sinsinpf pf fpf fpf fpf pf fpf pf 又 c a fpf fpf fpf c fpf a 12 21 1221 sin sin sinsin 所以，且，則 2 2 2 1 )( cac aaca x exa exa pf pf c a axa ，解不等式得或（舍去）a cac aaca a 2 2) ( 12 e12 e 又橢圓的離心率，綜上所述.) 1 , 0(e) 1 , 12(e 2.答案：答案：設(shè)橢圓的標準方程為)0(

23、1 2 2 2 2 ba b y a x 在第一象限內(nèi)取點，由橢圓的參數(shù)方程知),( 00 yx) 2 0( sin cos 0 0 by ax 則橢圓的內(nèi)接矩形長為，寬為，cos2asin2b 所以內(nèi)接矩形面積為2sin2sincos4abab 面積的取值范圍為，則4 ,3 22 bb 22 422sin23bababb 所以，即， 22 423babbbab423 不等式同時平方得，即且 222 1649bab)(164)(9 22222 caaca a c e 整理解得. 2 3 , 3 5 e 3.答案：答案：.d 【本課總結(jié)本課總結(jié)】 對于求離心率問題常常有以下辦法 1.直接求出，或

24、求出，代公式求解.ca, a b 2 2 2 2 11 a b a c e a b a c e 雙曲線橢圓 ， 常見的與相關(guān)的一些題設(shè)條件： a b 設(shè)是橢圓的一條弦，且為弦的中點，則所在的ab)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ),( 00 yxmabab 直線方程的斜率； 0 2 0 2 ya xb kab 設(shè)是雙曲線的一條弦，且為弦的中點，則所在ab)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ),( 00 yxmabab 的直線方程的斜率； 0 2 0 2 ya xb kab 雙曲線的漸近線方程或.x a b yx b a y 2.構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式，利用離

25、心率轉(zhuǎn)化成關(guān)于 的一元方程或不等式求值或ca, a c e e 求范圍. 3.根據(jù)圓錐曲線的第二定義（到定點的距離比上到定直線的距離等于離心率）可以 d mf e 求離心率的值. 4.根據(jù)正、余弦定理或借助于橢圓、雙曲線的焦半徑公式得到， （為曲線上),( 0 cbax 0 x 的點的橫坐標） ，再根據(jù)曲線中的取值范圍可求離心率的取值范圍. 0 x 5.對于求離心率的范圍問題，其本質(zhì)在曲線中變量的范圍，通過變量的范圍構(gòu)造不等式解不 等式即可. 圓錐曲線離心率家庭作業(yè)圓錐曲線離心率家庭作業(yè) 1.若雙曲線的離心率是，則實數(shù)的值是（ ） 22 1xky2k . a3.b 1 3 .c3.d 1 3

26、2.橢圓（）的兩個焦點分別為、，以、為邊作正三角形，若 22 22 1 xy ab 0abf 2 f 1 f 2 f 橢圓恰好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率 為 （ ）e a b c d 31 2 314(23 ) 32 4 3.已知雙曲線的左、右焦點分別為，若在雙曲線的右支上存在)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 21,f f 一點，使得，則雙曲線的離心率 的取值范圍為 p 21 3pfpf e 4.已知雙曲線（）的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線 1 2 2 2 y a x 0a xy6 2 的離心率為（ ） . a 2 3 .b 2 3 .c 2 6 .d

27、3 32 5.若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為、，則其離心率為（ ） 0 , 1 1 f0 , 3 2 f . a 4 3 .b 3 2 .c 2 1 .d 4 1 6.如果雙曲線的實半軸長為2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為（ ） . a 2 3 .b 2 6 .c 2 3 .d2 7.點 p（-3，1）在橢圓（）的左準線上，過點且方向為的 1 2 2 2 2 b y a x 0 bap 5, 2 a 光線，經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為（ ） 2y . a 3 3 .b 3 1 .c 2 2 .d 2 1 8.已知、是雙曲線（）的兩焦點，以線段為邊作正三角形 1 f 2 f 1

28、 2 2 2 2 b y a x 0, 0ba 21f f ，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ） 21f mf 1 mf . a324 .b 13 .c 2 13 .d 13 9.設(shè)雙曲線（）的半焦距為 ，直線 過，兩點.已知原點到1 2 2 2 2 b y a x ba 0cl0 , ab, 0 直線的距離為，則雙曲線的離心率為( )c 4 3 . a2.b3.c2.d 3 32 10.雙曲線虛軸的一個端點為，兩個焦點為、，則雙曲線的離心率m 1 f 2 f 0 21 120mff 為（ ） . a3.b 2 6 .c 3 6 .d 3 3 11.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢

29、圓長軸的垂線交橢圓于點，若為 1 f 2 f 2 fp 21pf f 等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。 12.設(shè)橢圓（）的右焦點為，右準線為，若過且垂直于軸的1 2 2 2 2 b y a x 0, 0ba 1 f 1 l 1 fx 弦的長等于點到的距離，則橢圓的離心率是. 1 f 1 l 13.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準線的距離為 ，則該橢 21 圓的離心率為（ ） . a 2 .b 2 2 .c 2 1 .d 4 2 14.設(shè)，則二次曲線的離心率的取值范圍為（ ） 4 , 0 1tancot 22 yx a. b. c. d. 2 1 2 2 , 2 1 2

30、 , 2 2 , 2 15.如圖，已知梯形中，點分有向線段所成的比為，雙曲線過abcdcdab2eac 、三點，且以、為焦點當時，求雙曲線離心率 的取值范圍。cdeab 4 3 3 2 e 【家庭作業(yè)參考答案家庭作業(yè)參考答案】 1.答案：答案：先將方程化成標準形式，然后確定、，再根據(jù)求出的值故選 2 a 2 b 2 2 2 1 b e a k.b 2.答案：答案：設(shè)點為橢圓上且平分正三角形一邊的點，如圖，p 由平面幾何知識可得， 2112 |:|:| 1:3:2pfpfff 所以由橢圓的定義及得： c e a ，故選 12 12 |22 31 2|31 ffc e apfpf .b 3. 答案

31、：答案：如圖，由及雙曲線第一定義 21 3pfpf 式，得： 12 | 2pfpfa ，又 1 | 3pfa 2 |pfa 12 | 2ffc 因為點在右支上運動，所以，p 1212 | |pfpfff 得，即，又，故填42ac2 c a 1e 12e 4.答案：答案：拋物線的準線是，即雙曲線的右準線，則 xy6 2 2 3 x 2 31 22 c c c a x ，解得，故選 0232 2 cc2c3a3 32 a c e .d 5.答案：答案：由、知 ，又橢圓過原點， 0 , 1 1 f0 , 3 2 f 132c1c1ca ，所以離心率.故選 3ca2a1c2 1 a c e .c 6.

32、答案：答案：由題設(shè)，則，因此選2a62 c3c 2 3 a c e.c 7.答案：答案：由題意知，入射光線為，關(guān)于的反射光線（對稱關(guān)系）為3 2 5 1xy2y ，則解得，則，故選0525yx 055 3 2 c c a 3a1c 3 3 a c e. a 8.答案：答案：如圖，設(shè)的中點為，則的橫坐標為， 1 mf pp2 c 由焦半徑公式， aexpf p 1 即，得，解得 a c a c c 2 022 2 a c a c （舍去） ，故選 31 a c e 31.d 9.答案：答案：由已知，直線 的方程為，由點到直線的距離公式，得l0abaybx ，c ba ab 4 3 22 又, ,兩邊平方，得，整理得， 222 bac 2 34cab 4222 316caca016163 24 ee