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線性代數(shù)綜合練習(xí)題（五）參考答案一、填空題1. ， 2. ， 3. 4. 3 ， 5. .二、選擇題1. d 2. c 3. b 4. b 5. d三、計(jì)算題1. 解：， （1）當(dāng)且時(shí)，此時(shí)方程組有惟一解. 當(dāng)時(shí)，增廣矩陣，顯然系數(shù)矩陣的秩為2，增廣矩陣的秩為，此時(shí)方程組無解. 當(dāng)時(shí)，增廣矩陣 ，所以 ,令，得，此為時(shí)對(duì)應(yīng)方程組的通解. （2）系數(shù)矩陣的秩小于3時(shí)，線性方程組有非零解，此時(shí)存在三階矩陣，使得.由得或. 2. 解：（1）特征多項(xiàng)式的特征值為，. 當(dāng)時(shí)，解方程組，得基礎(chǔ)解系，于是得到對(duì)應(yīng)的單位特征向量. 當(dāng)時(shí)，解方程組，得基礎(chǔ)解系，于是得到對(duì)應(yīng)的單位特征向量. 令，此時(shí). （2）先求，所以， 故 . 3. 解：（1）設(shè)對(duì)應(yīng)于2的一個(gè)特征向量為，則與正交，即，其基礎(chǔ)解系為，這是對(duì)應(yīng)于2的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量. （2）令，令，則. 所以， . 4. 解：， 所以，向量組線性相關(guān)，為最大無關(guān)組，并且 四、證明題1. 證：因?yàn)?，所以可逆?因而 ，即，所以與相似. 2. 證：為正定矩陣，則特征值全為正數(shù). 設(shè)的全部特征值為，則，由于為正定矩陣，所以存在正交矩陣，使得，即 所以

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