非線性偏微分方程的數(shù)值分析（幾何分析）及應(yīng)用

1、非線性偏微分方程的數(shù)值分析（幾何分析）及應(yīng)用-非小振幅振動下弦振動方程及近似解摘 要本文在非攀枝花學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）非線性偏微分方程的數(shù)值分析（幾何分析）及應(yīng)用-非小振幅振動下弦振動方程的及近似解學(xué)生姓名： 姚 徐 學(xué)生學(xué)號： bxxjs02016 院（系）： 計 算 機 學(xué) 院 年級專業(yè)： 信 息 與 計 算 科 學(xué)指導(dǎo)教師： 蒲 利 春 教 授 助理指導(dǎo)教師： ： 劉立新 講 師副教授 二六年五月攀枝花學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 5 結(jié)束語摘 要根據(jù)我們對弦振動的研究，本文在非小振幅振動下，推導(dǎo)出弦振動的非線性偏微分方程：在特定條件: 、和下，將上述方程簡化并運用了行波法和和數(shù)學(xué)map

2、le軟件求出行了的行波解：，（其中q,c為待定系數(shù), ,為胡克系數(shù),為固定拉直時弦的長度,弦的質(zhì)量），并應(yīng)用maple程序圖象討論了其解的物理性質(zhì)當(dāng)。摘 要本文在非小振幅振動下，推導(dǎo)出弦振動的非線性偏微分方程組，在特定條件下，將方程組轉(zhuǎn)簡化為方程，運用了數(shù)學(xué)maple軟件分析和求解。并討論出 方程無雙曲函數(shù)解關(guān)鍵詞 非小弦振幅弦振動，偏微分方程，非線性，近似解 abstractthe oscillation amplitude vibration in non-small, the study of nonlinear partial differential equation of stri

3、ng vibration:in specific terms,with the ，and, will simplify the equation for equation: . and the use of the law and mathematics wave of the wave of maple software derive xie of : .xie of discussed by maple procedures of the physical nature.keywords : non-small oscillation amplitude string vibration,

4、 being differential equation, nonlinear, similar xie目 錄摘 要 abstract 1 緒論 2 1.1 課題背景21.1.1題目來源及研究目的 21.1.2研究意義 3 1.2課題所涉及的問題在國內(nèi)外研究 22 方程推導(dǎo) 52.1 方程推導(dǎo)52.2 方程簡化討論及分析 93 方程求解 113.1 行波法求解 103.2雙曲函數(shù)法求解123.2.1雙曲函數(shù)法介紹 123.2.2雙曲函數(shù)法求解 133.3方程（17）的求解143.3.1行波解求解 143.3.2雙曲函數(shù)法求解 154 討論 1445 結(jié)束論語 19參考文獻20附 錄a21致 謝

5、231 緒論1.1課題背景1.1.1 題目來源及研究目的 題目來源：蒲利春教授給我們提出了非線性偏微分方程的數(shù)值分析的畢業(yè)設(shè)計課題，即非線性偏微分方程的數(shù)值分析（幾何分析）及應(yīng)用，課題來源與于攀枝花學(xué)院自然科學(xué)科研項目：非線性理論的應(yīng)用研究（項目：編號zx2005-2）。 我們通過查閱資料，查找了整個圖書館的數(shù)學(xué)物理庫和在中國知網(wǎng)上些有點關(guān)非線性偏微分理論的資料，再加上對2004年對印度尼西亞等國海嘯的聯(lián)想能否檢測地震的具體振動強度，最后縮小到一般振幅下的弦振動，確定了對弦振動的研究題目：非小振幅振動下弦振動方程及近似解。研究目的：通過畢業(yè)設(shè)計，能夠了解自己對已學(xué)知識的掌握、運用情況，同時也提

6、高了我綜合運用知識能力。首先想對非線性理論、偏微分方程、maple(mathematics、matlab)等知識的更深入地學(xué)習(xí)，達到如何在現(xiàn)實生活中建立非線性偏微分方程，再怎樣利用數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)程序工具（如maple、mathematics、matlab等）求解其方程。其次，檢測我們大學(xué)四年所學(xué)知識，同時訓(xùn)練我們綜合運用知識的能力，提高理論運用于實踐的能力水平。再次，選擇很有一個有難度的研究性的題目，來提升畢業(yè)論文的質(zhì)量，為我下一步讀取研究生奠定堅實的理論的基礎(chǔ)。1.1.2 研究意義非線性偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，無論在理論中還是在實際應(yīng)用中，非線性偏微分方程被用來描述力學(xué)、控制過程

7、、生態(tài)與經(jīng)濟系統(tǒng)、化工循環(huán)系統(tǒng)及流行病學(xué)等領(lǐng)域的問題。因而在現(xiàn)實中有許許多多非線性偏微分方程，需要求近似解或精確解并對其解的存在唯一性進行分析，這對上述問題有更好的指導(dǎo)意義，而且會更進一步促使非線性分析理論的發(fā)展。由于非線性偏微分方程存在的復(fù)雜性，對其其進行解析求解和數(shù)值求解需要不斷運用新的方法，也促使著應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和非線性理論的發(fā)展創(chuàng)新。這些問題的研究方法的發(fā)展既能促使偏微分方程理論的發(fā)展又能促使許多實際問題的解決。本文研究的弦振動方程也有廣泛的實際意義，它的研究方法，可以推廣到比如：導(dǎo)線振動，、桿振動，、推廣到房屋的抗振分析等等領(lǐng)域。通過畢業(yè)設(shè)計，能夠了解自己對已學(xué)知識的掌握情況，學(xué)習(xí)了非

8、線性理論、偏微分方程、maple(mathematics、matlab)等一系列理論知識，同時也提高了我綜合運用知識能力。這些對我以后的學(xué)習(xí)和工作有不可漠視的幫助。1.2 課題所涉及的問題在國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在20世紀中人類科學(xué)界爆發(fā)了三次最偉大的革命，非線性科學(xué)是誕生于20世紀末的第三次偉大變革。與前兩次革命（量子力學(xué)和相對論）相比，非線性科學(xué)所導(dǎo)致的科學(xué)變革是最震撼人心的。它所涉及到的學(xué)科遍及數(shù)學(xué)、物理學(xué)、電子學(xué)、生命學(xué)、信息科學(xué)、天文學(xué)、氣象學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等眾多領(lǐng)域，它的應(yīng)用前景非常廣闊。自然界從本質(zhì)上講，都是非線性的，線性只是非線性的近似，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，自然科學(xué)和工程中的非線性問題日益突

9、出，非線性理論的應(yīng)用已經(jīng)成為當(dāng)今世界前沿的研究熱點學(xué)科，是“復(fù)雜的系統(tǒng)、物理學(xué)應(yīng)用于生物學(xué)和醫(yī)學(xué)”研究的一個重要領(lǐng)域。非線性的發(fā)現(xiàn)是由許多人做出的，它的出現(xiàn)是由3個相互獨立的進展匯合而成的。第一個是科學(xué)注重點的變化，從簡單模式趨向更復(fù)雜的模式。第二個是計算機，它使得我們能夠容易和快速地找到動力學(xué)方程的近似解（或精確解）。第三個是關(guān)于動力學(xué)的數(shù)學(xué)新觀點幾何觀點而非數(shù)值觀點。正是由于這三方面的發(fā)展促進了非線性科學(xué)的飛速發(fā)展：第一個進展提供了動力，第二個進展提供了技術(shù)，第三個進展則提供了認識，。正是由于這三方面的發(fā)展促進了非線性科學(xué)的飛速發(fā)展。自然界從本質(zhì)上講，都是非線性的，線性只是非線性的近似，隨

10、著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，自然科學(xué)和工程中的非線性問題日益突出，非線性理論的應(yīng)用已經(jīng)成為當(dāng)今世界前沿的研究熱點學(xué)科，是“復(fù)雜的系統(tǒng)、物理學(xué)應(yīng)用于生物學(xué)和醫(yī)學(xué)”研究的一個重要領(lǐng)域。早在1834年，英國著名科學(xué)家羅素（j.scotet.russell）發(fā)現(xiàn)非線性偏微分方程的孤立波現(xiàn)象。近二十多年來，人們對這一現(xiàn)象的興趣與日俱增?，F(xiàn)在，數(shù)值計算和理論分析均已證明：一大批非線性演化方程具有孤立子解。當(dāng)前，非線性理論及其應(yīng)用正處于世界科學(xué)的研究前沿，其基本理論尚待進一步完善，并有較多的課題正待進一步探索。國內(nèi)數(shù)學(xué)界學(xué)科帶頭人博士生導(dǎo)師王亞光教授結(jié)合了一些重要的物理模型，抓住偏微分方程的特點進行研究。主要涉及非線

11、性偏微分方程定型與定量研究、在非線性偏微分方程解的奇性分析、廣義解理論、非線性光學(xué)的等領(lǐng)域作了較系統(tǒng)的研究，尤其在微波與非線性高頻振蕩波的干擾問題建立了關(guān)于一維激波的非線性幾何光學(xué)理論，引起了國內(nèi)外的關(guān)注?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)物理界有著一批致力于非線性理論的應(yīng)用研究。我的指導(dǎo)教師蒲利春教授及其領(lǐng)導(dǎo)的課題組成員，就是近年來進入該領(lǐng)域的新生研究力量。近幾年來，他們?nèi)〉昧丝上驳某煽儯簩Ψ蔷€性schrodinger方程組和非線性“l(fā)oop”孤立方程的精確解研究文章131，214，發(fā)表在物理學(xué)報上，同時被sci、ei收錄。我校2005年就非線性理論的應(yīng)用研究建立了一個致力于非線性理論的應(yīng)用研究小組，對非線性schr

12、odinger方程組、非線性“l(fā)oop”孤立方程等有研究出了其精確解。弦振動方程是數(shù)學(xué)物理方程中的經(jīng)典方程之一，對弦振動，其方程雖早已獲得1，但其推導(dǎo)大都是固定弦在自身張力下做小幅弦振動。而方民強在對彈性弦非小振幅振動的初步分析一文中，推導(dǎo)出了非小振幅振動的方程組，但其中的弦密度和張力t對橫坐標(biāo)x而言是均勻，本文以此為著眼點，開始了新的推導(dǎo)。弦振動方程是數(shù)學(xué)物理方程中的經(jīng)典方程之一，對弦振動，其方程雖早已獲得3，但其推導(dǎo)大都是固定弦在自身張力下做小幅弦振動。而方明強在對彈性弦非小振幅振動的初步分析一文中，推導(dǎo)出了非小振幅振動的方程組，但其中的弦密度和張力t對橫坐標(biāo)x而言是均勻，本文以和張力t對

13、橫坐標(biāo)不均勻為著眼點，在非小振幅振動下，推導(dǎo)出弦振動的非線性偏微分方程：在特定條件 ，和下，將上述方程簡化為方程，并運用行波法和數(shù)學(xué)maple軟件求出了的行波解：用maple程序討論了解的物理性質(zhì)。2 方程推導(dǎo)大部分文獻中，在介紹數(shù)理方程中遇到的小振幅弦振動的時候，都會以固定弦在自身條件下做小振幅振動為例，推導(dǎo)出其偏微分的弦振動運動方程：其中t為弦內(nèi)彈性張力，為弦的線密度（均勻），u為振動幅度變量。在一般文獻中，很少見到非微小振幅弦振動方程的推導(dǎo)及振動情況的形描述。而且在很多資料中，即使考慮了弦的其他振動（，如文獻24考慮弦的切變引起的振動），也沒有考慮由于振動帶來弦的加長拉長效應(yīng)。方明強在文

14、獻31中在對彈性弦非小振幅振動的初步分析中，考慮的t和都只是時間t的函數(shù) ，而本文還考慮了t和是同時是時間t和x的函數(shù)，即：，2.1方程推導(dǎo)假設(shè)弦的加長拉長沒有改變弦的彈性性質(zhì)，不忽略掉弦的振動導(dǎo)致的拉加長效應(yīng)（從而導(dǎo)致線密度變?。?。，則假設(shè)弦的靜止（無張力）長度為，線密度為,被固定拉直時的長度為,，線密度為（一般情況下），。假設(shè)弦的張力為和線密度都是和的函數(shù)；假設(shè)，弦在靜止和拉直時的線密度和是常量，即此時線密度是均勻的。由質(zhì)量守恒定律知： 式（2.1）考慮弦振動的傳輸過程，設(shè)是從左向右一點一點地傳輸，當(dāng)傳輸?shù)近cx時，圖2.1 弦的振動點處受力分析圖示弦的振動如圖2.1。在到的長度之間，弦滿足

15、質(zhì)量守恒定律，得：圖一：傳輸?shù)絰處時 式（2.2） 式（2.3）由（2.2），（2.3）得： 式（2.4）考查在點x處的一小段弦，如圖2.2所示：圖2.2 一小段弦的分析圖二假設(shè)弦在點x處的張力與從o到x這段弦的長度變化相關(guān)。由胡克定律得：在x處的張力： = 式（2.5）在x+處的張力：= 式（2.6）下面推導(dǎo)弦振動方程，在推導(dǎo)過程中忽略弦的重力影響，如圖二。由牛頓定律得： 式（2.7）把（2.5）、（2.6）式代入（2.7）式得：= *= k* sin- k* sin =k* sin+k* sin-(k*) = k*（sin- sin）-k* 式（2.8）由于是非小幅振動， 式（2.9）所以

16、：cos=,sin= （9）因為：所以：sin- sin=cos*= cos*=*= （微分定理） 式（2.10）* （微分定理）（10）將（2.9）、（2.10）式代入（2.8）式，應(yīng)用積分中值定理得： =（其中xx+）*= k*+k*= k*+k*（應(yīng)用積分中值定理，其中xx+）等式兩邊同時除以，并在0時求極限：式子 式（2.11）將（2.1），（2.4）式代入（2.11）式得： 式（2.12）*= k*+ k* （12）經(jīng)變形整理得：=*設(shè)=為曲率，為切線與x方向的夾角，再將（2.9）代入得：=*cos令和=*則有： 式（2.13）為u方向的加速度同樣可得沿x方向的質(zhì)點的加速度： =-=

17、*sin 式（2.14）所以加速度分解成和合成一個加速度,大小為，如圖2.3：圖三：和的合成分析圖三 圖2.3 和的合成分析 由（2.12）及（2.14）得方程組： 式（2.15）從上式可以看到，弦內(nèi)質(zhì)點的運動不僅和動力狀況（主要是弦的彎曲程度）有關(guān)，而且和弦的長度有關(guān)。2.2方程的化簡由于方程組（2.15）比較復(fù)雜，則對方程組（2.15）第一式變形： = +*- +=+*-+ 式（2.16） 針對式（2.16）討論分析，情況一：考慮 ，即=x,（2.16）變形為（利用泰勒展式）而，因為： = ， ()當(dāng)（橫坐標(biāo)x在時間t上無速度）時，同時（即無橫向振動）。即物理現(xiàn)象為弦沒有變形，所以弦振動方

18、程不存在，也就是說：符合實際。情況二：考慮當(dāng)*+=0時；式（16）變?yōu)椋?而，因為：=(+)*+*+ =*+*+*+*+ ()當(dāng)=0（橫坐標(biāo)x在時間t上無速度）時，=，同時=0（橫坐標(biāo)x在時間t上無加速度）。綜上所述：方程組（2.15）最終綜變成：當(dāng)*+=0和=0時，則有： 式（2.17） 此就為我們在非小振幅振動下推導(dǎo)，但讓它做小振幅振動（因為=0）的弦振動方程組。 3 方程求解3.1行波法求解對方程組（17）： = 求解，由于，可以看到直接求解不是一件容易事（首先是含有對x的一階導(dǎo)數(shù)和對t的二階導(dǎo)數(shù)，其次還有導(dǎo)數(shù)代數(shù)式的開方）。現(xiàn)在我們對處理，假設(shè)u表示微小振幅的弦振動變量，則可以用泰勒公

19、式處理有：=1+于是原方程組變?yōu)椋? （令=）(1+)*=* 式（183.1）由于u是含2個獨立變量x,t的函數(shù)，針對（183.1）這樣的方程我們考慮其行波法求解：令=，=*-*+，則有： ， =*，=*式（193.2）把（193.2）代入方程（183.1）得： 式（203.3）再令=，可得：=*=* 對上式變形處理得： = 式（213.4）對上式（213.4）兩邊分別積分得： *+*=+ （為積分常數(shù)） 式（223.5） 對式（223.5）用手工解出是很困難的，則用數(shù)學(xué)軟件maple可解出： 式（233.6）是滿足這樣一個條件的函數(shù)： 設(shè)，則有：令，則有：所以有： 式（3.7）將代入（3.6

20、）式得：上式對積分得：特定條件下，此，對對上式積分把和代入上式得：式9 式（3.8）（24）（24）設(shè)，所以： （利用泰勒公式）把上式代入（23）可得：對上式積分：將代入上式得： （24）上式即為我們所求的在和下的數(shù)學(xué)表達式。其中, ,為待定系數(shù)，都是積分常數(shù), ,為胡克系數(shù), 為固定拉直時弦的長度（忽略弦被拉直時的增加長度，即）, 弦的質(zhì)量。4 討論對所求出的解： 進行分析。，都是積分常數(shù),。在（243.8）式中，則利用和（為加速度即）初始條件，求和得和得： 式（4.1） 式（4.2），。把、代入（243.8）式解得： 式（4.35）考慮條件 分析上式得：由第一式和第四式等價 式（4.4）由

21、，而，所以令。將（4.1）代入（4.4）得： 式（4.5）表示以為變量方程的根根據(jù)（為胡克系數(shù),為固定拉直時弦的長度,弦的質(zhì)量），這里可以取,令,為求出，令得：方程的根（因代入求得=0，故舍）。把上述值代入（4.55）得：（因的值很大不合實際，故舍）。把所有常數(shù) 代入（4.3）式得：利用maple數(shù)學(xué)工具，繪出上式圖象，如圖4.1：maple程序： restart; l:=100;p:=0.1;q:=0.1;l0:=30;c:=1.4; d1 := 1/2*(-l*c2-2*l*p*q+2*ln(2*1/(c2+2*p*q)*c2)/p/q; d2 := -2/(c2+2*p*q)*c2*ex

22、p(1/2*(c2*q*l0+2*p*q2*l0+2*ln(2*1/(c2+2*p*q)*c2)/c2); u(x,t):= 2/(c2+2*p*q)*c2*exp(1/2*(q*x-c*t+l)*c2+2*(q*x-c*t+l)*p*q-l*c2-2*l*p*q+2*ln(2*1/(c2+2*p*q)*c2)/c2)-2/(c2+2*p*q)*c2*exp(1/2*(c2*q*l0+2*p*q2*l0+2*ln(2*1/(c2+2*p*q)*c2)/c2); plot3d(u(x,t),x=0.30,t=0.40);圖4.1表明：在區(qū)域，當(dāng)時，變化大，從0值逐漸減小到最小值-9.2；，取的最

23、大值0。當(dāng)時，變化比較平穩(wěn)，趨于-9.2。圖4.1：取，時，圖象當(dāng)，變化時，利用maple數(shù)學(xué)工具，繪出上式圖象，如圖4.2：maple程序： restart; t:=10;u(x,t):=1.979797980*exp(.5051020410e-1*x+.7071428570*t+.1005033575e-1)-9.100699394; plot(u(x,t),x=0.30);圖4.2: 取，變化時，函數(shù)圖圖4.2表明在時，隨時間的增加，趨于一定值-9.09。當(dāng)，變化時，利用maple數(shù)學(xué)工具，繪出上式圖象，如圖4.3：maple程序： restart; x:=2; u(x,t) := 1.

24、979797980*exp(.5051020410e-1*x-.7071428570*t+.1005033575e-1)-9.100699394; plot(u(x,t),t=0.40);圖4.3:取，變化時,的圖象圖4.3表明在時，隨時間的增加，趨于一定值 -9.14。驗證在區(qū)域趨于0。利用maple數(shù)學(xué)工具，繪出上式圖象，如圖4.4：maple程序： restart;ux(x,t):=diff(1.979797980*exp(.5051020410e-1*x-.7071428570*t+.1005033575e-1)-9.100699394,x); plot3d(ux(x,t),x=0.3

25、0,t=0.40);圖4.4：的圖象圖4.4表明在時，趨于0.47，在區(qū)域，趨于0。綜上所述，當(dāng)趨于某值時，趨于某一定值，即當(dāng)時，趨于 -9.2。5 ？把最后得的解來驗證上述條件：我們在驗證的過程中發(fā)現(xiàn)：第一個和第三個條件是等價的，但第三個和第二個是矛盾的（剛好相反），請蒲老師幫我們看看呢，謝謝本文在非小振幅振動下，推導(dǎo)出弦振動方程組?；谧髡叩幕A(chǔ)，本文只在特殊條件下，運用行波法和雙曲函數(shù)法求解方程。結(jié)束語本文是在主要參考文獻3，在方明強3推導(dǎo)的方程上做了改進，推導(dǎo)出了一般振幅下的弦振動方程組并對方程組做了簡化。只在特定條件下求出了一個行波解，運用maple數(shù)學(xué)軟件繪出了其解的圖象，并對圖象

26、做了討論。我們還用了雙曲函數(shù)法求解，由于得出的非線性方程組太復(fù)雜，沒能求出解，詳細內(nèi)容可見附錄。本文主要優(yōu)點：l 在更寬泛的情況下（更貼近實際），推導(dǎo)出了弦振動的非線性偏微分方程。l 在用行波法求解的過程中，對做的特殊處理。1 但我們知道該方程組還有許多需要改進和發(fā)展的地方，但由于現(xiàn)階段的知識和時間有限，沒不做詳細的分析。我們相信在非線性發(fā)展中，很快會有該方程組更多解法；該方程組在實際生活中，有極其重要的現(xiàn)實意義；考慮到更多的內(nèi)外界的因素，會推導(dǎo)出更精確的弦振動方程及其解。參考文獻致謝推導(dǎo)籍再頭首先，感謝指導(dǎo)老師蒲利春教授。本論文是在蒲教授的悉心指導(dǎo)和幫助下完成的，他對本論文的理論分析、方程選

27、定和求解等給予了許多深入的指導(dǎo)，使得論文得以順利的完成；蒲教授在平時的指導(dǎo)工作中，認真負責(zé)的工作態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，都深深的觸動了我，使我在思想作風(fēng)、學(xué)習(xí)毅力和治學(xué)方法上受到一次洗禮。劉立新、感謝同學(xué)們在畢業(yè)設(shè)計時給我們的幫助。感謝班主任袁雙云老師給予的關(guān)心和幫助。 感謝學(xué)校給我們鍛煉自己的機會，提高了我們獨立分析問題和解決實際問題的能力。2 日谷內(nèi)峻彌，西原功修。非線性波m,張福元，張家森，丁啟明 譯。北京：原子能出版社，1987.99-173。1 呂克璞，洪學(xué)仁，石玉仁等非線性弦的變分原理與減縮攝動解法。西北師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），第37卷2001年第四期，vol.37 2001 n

28、o.4。 3 方明強對彈性弦非小振幅振動的初步分析。學(xué)與實踐，2005年第27卷第6期4 呂克璞，王紅艷非線性彈性桿中的速度孤立子波j.西北師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1999 35（4）：3335。5 饒文濤弦振動數(shù)學(xué)模型用于導(dǎo)線振動時的改進。南民族學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），第20卷增刊，2001年9月6 徐小樹，王海燕對建立弦的橫振動方程時的一個近似條件的分析。學(xué)物理，第17卷第7期1998年7月，vol.17 no.7 july.19987 石玉仁，洪學(xué)仁，段文山等。非線性弦振動方程的精確解。西北師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），第38卷2002年第2期 vol.38 2002 no.2。8 d

29、avydov a s 1979 solitions in moleculax phys. scr. 20 3872 黎捷 maple 9.0 符號處理及應(yīng)用。北京：科學(xué)出版社，2004.83 張桂戌 李志斌 段一士 非線性波方程的精確孤立波解j，中國科學(xué)（a輯），30(12)：110311084 陸金甫、關(guān)治 偏微分方程數(shù)值解法，清華大學(xué)出版社，2004。5 黃象等 非線性數(shù)值分析的理論與研究，武漢大學(xué)出版社，2004。6 蒲利春 張學(xué)蜂 徐麗君 非線性“l(fā)oop”孤子方程的確定解 物理學(xué)報2005.9 第54卷 第9期蒲利春 林宗兵 張學(xué)蜂 王本菊 姜毅 嚴天艷 ，非線性schrodinger方程的精確解組 物理學(xué)報2005.10 第54卷 第10期附 錄 a 對 （令）進行變形處理得： 式（a1