全國(guó)高中物理競(jìng)賽復(fù)賽試題及答案

1、題號(hào)第二十屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷一二三四五六七總計(jì)得分復(fù)核人全卷共七題，總分為140分。（一、15分）圖中a為一固定放置的半徑為r的均勻帶電球體，o為其球心己知取無(wú)限遠(yuǎn)處球的電勢(shì)為零時(shí)，表面處的電勢(shì)為u=1000v在離球心o很遠(yuǎn)的o點(diǎn)附近有一質(zhì)子b，它以ek2000ev的動(dòng)能沿與oo平行的方向射向a以l表示b與oo線之間的垂直距離，要使質(zhì)子b能夠與帶電球體a的表面相碰，試求l的最大值把質(zhì)子換成電子，再求l的最大值二、（15分）u形管的兩支管a、b和水平管c都是由內(nèi)徑均勻的細(xì)玻璃管做成的，它們的內(nèi)徑與管長(zhǎng)相比都可忽略不計(jì)己知三部分的截面積分別為s=1.010-2cm2，as=3.010-2

2、cm2，s=2.010-2cm2，在c管中有一段空氣柱，兩側(cè)被水銀封閉當(dāng)溫度bc為t=27時(shí)，空氣柱長(zhǎng)為l30cm（如圖所示），c中1氣柱兩側(cè)的水銀柱長(zhǎng)分別為a2.0cm，b3.0cm，a、b兩支管都很長(zhǎng)，其中的水銀柱高均為h12cm大氣壓強(qiáng)保持為p76cmhg不變不考慮溫度變化時(shí)管和水0銀的熱膨脹試求氣柱中空氣溫度緩慢升高到t97時(shí)空氣的體積三、（20分）有人提出了一種不用火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星的設(shè)想其設(shè)想如下：沿地球的一條弦挖一通道，如圖所示在通道的兩個(gè)出口處a和b，分別將質(zhì)量為m的物體和質(zhì)量為m的待發(fā)射衛(wèi)星同時(shí)自由釋放，只要m比m足夠大，碰撞后，質(zhì)量為m的物體，即待發(fā)射的衛(wèi)星就會(huì)從通道口b

3、沖出通道；設(shè)待發(fā)衛(wèi)星上有一種裝置，在待發(fā)衛(wèi)星剛離開出口b時(shí)，立即把待發(fā)衛(wèi)星的速度方向變?yōu)檠卦撎幍厍蚯芯€的方向，但不改變速度的大小這樣待發(fā)衛(wèi)星便有可能繞地心運(yùn)動(dòng)，成為一個(gè)人造衛(wèi)星若人造衛(wèi)星正好沿地球表面繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，則地心到該通道的距離為多少？己知m20m，地球半徑r64000km假定地球是質(zhì)量均勻分布的球體，通道是光滑的，兩物體間的碰撞是彈性的四、(20分)如圖所示，一半徑為r、折射率為n的玻璃半球，放在空氣中，平表面中央半徑為h的區(qū)域被涂黑一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆蓋整個(gè)表面ox為以球心o為原0點(diǎn)，與平而垂直的坐標(biāo)軸通過計(jì)算，求出坐標(biāo)軸ox上玻璃半球右邊有光線通過的各點(diǎn)（有光線

4、段）和無(wú)光線通過的各點(diǎn)（無(wú)光線段）的分界點(diǎn)的坐標(biāo)五、(22分)有一半徑為r的圓柱a，靜止在水平地面上，并與豎直墻面相接觸現(xiàn)有另一質(zhì)量與a相同，半徑為r的較細(xì)圓柱b，用手扶著圓柱a，將b放在a的上面，并使之與墻面相接觸，如圖所示，然后放手己知圓柱a與地面的靜摩擦系數(shù)為0.20，兩圓柱之間的靜摩擦系數(shù)為0.30若放手后，兩圓柱體能保持圖示的平衡，問圓柱b與墻面間的靜摩擦系數(shù)和圓柱b的半徑r的值各應(yīng)滿足什么條件？六、(23分)兩個(gè)點(diǎn)電荷位于x軸上，在它們形成的電場(chǎng)中，若取無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，則在正x軸上各點(diǎn)的電勢(shì)如圖中曲線所示，當(dāng)x0時(shí)，電勢(shì)u：當(dāng)x時(shí)，電勢(shì)u0；電勢(shì)為零的點(diǎn)的坐標(biāo)x,電勢(shì)為極小值-

5、u的00點(diǎn)的坐標(biāo)為ax（a2）。試根據(jù)圖線提供的信息，確定0這兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶電荷的符號(hào)、電量的大小以及它們?cè)趚軸上的位置七、(25分)如圖所示，將一鐵餅狀小物塊在離地面高為h處沿水平方向以初速v拋出己知物塊碰地彈起時(shí)沿豎直方向0的分速度的大小與碰前沿豎直方向的分速度的大小之比為e（1又知沿水平方向物塊與地面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為m（0）：每次碰撞過程的時(shí)間都非常短，而且都是“餅面”著地求物塊沿水平方向運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離mv2=mv2+eu（1）22第二十屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題參考解答、評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、參考解答令m表示質(zhì)子的質(zhì)量，v和v分別表示質(zhì)子的初速度和到達(dá)a球球面處的速度，e表示0元電荷，由能

6、量守恒可知110因?yàn)閍不動(dòng)，可取其球心o為原點(diǎn)，由于質(zhì)子所受的a球?qū)λ撵o電庫(kù)侖力總是通過a球的球心，所以此力對(duì)原點(diǎn)的力矩始終為零，質(zhì)子對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。所求l的最大值對(duì)應(yīng)于質(zhì)子到達(dá)a球表面處時(shí)其速度方向剛好與該處球面相切（見復(fù)解20-1-1）。以lmax表示l的最大值，由角動(dòng)量守恒有mv0lmax=mvr（2）由式（1）、（2）可得lmax=1-eumv2/20r（3）代入數(shù)據(jù)，可得lmax=22r（4）若把質(zhì)子換成電子，則如圖復(fù)解20-1-2所示，此時(shí)式（1）中e改為-e。同理可求得lmax=62r（5）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分。式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。二、參考解

7、答在溫度為t=(27+273)k=300k時(shí)，氣柱中的空氣的壓強(qiáng)和體積分別為1p=p+h，（1）10v=ls1c（2）當(dāng)氣柱中空氣的溫度升高時(shí)，氣柱兩側(cè)的水銀將被緩慢壓入a管和b管。設(shè)溫度升高到t2時(shí)，氣柱右側(cè)水銀剛好全部壓到b管中，使管中水銀高度增大dh=bsc（3）sb由此造成氣柱中空氣體積的增大量為dv=bsc（4）與此同時(shí)，氣柱左側(cè)的水銀也有一部分進(jìn)入a管，進(jìn)入a管的水銀使a管中的水銀高度也應(yīng)增大dh，使兩支管的壓強(qiáng)平衡，由此造成氣柱空氣體積增大量為dv=dhsa（5）1t所以，當(dāng)溫度為t時(shí)空氣的體積和壓強(qiáng)分別為2v=v+dv+dv（6）21p=p+dh（7）21由狀態(tài)方程知pvpv1

8、1=22（8）t2由以上各式，代入數(shù)據(jù)可得t=347.7k（9）2此值小于題給的最終溫度t=273+t=370k，所以溫度將繼續(xù)升高。從這時(shí)起，氣柱中的空氣作等壓變化。當(dāng)溫度到達(dá)t時(shí)，氣柱體積為2（10）v=tt2v代入數(shù)據(jù)可得v=0.72cm3（11）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分。求得式（6）給6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。三、參考解答位于通道內(nèi)、質(zhì)量為m的物體距地心o為r時(shí)（見圖復(fù)解20-3），它受到地球的引力可以表示為f=gmmr2，（1）式中m是以地心o為球心、以r為半徑的球體所對(duì)應(yīng)的那部分地球的質(zhì)量，若以r表示地球的密度，此質(zhì)量可以表示為m=43rpr3（

9、2）于是，質(zhì)量為m的物體所受地球的引力可以改寫為4f=pgrmr（3）3作用于質(zhì)量為m的物體的引力在通道方向的分力的大小為f=fsinq（4）sinq=xr（5）r0（7）物體將以c為平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)周期為t=2pr/g。取x=0處為“彈性勢(shì)能”22q為r與通道的中垂線oc間的夾角，x為物體位置到通道中點(diǎn)c的距離，力的方向指向通道的中點(diǎn)c。在地面上物體的重力可以表示為mg=gm0m（6）20式中m是地球的質(zhì)量。由上式可以得到04g=pgrr3由以上各式可以求得f=mgx（8）r0可見，f與彈簧的彈力有同樣的性質(zhì)，相應(yīng)的“勁度系數(shù)”為k=mg（9）r00的零點(diǎn)，設(shè)位于通道出口處的質(zhì)量為m

10、的靜止物體到達(dá)x=0處的速度為v，則根據(jù)能量守恒，0有11mv2=k(r2-h2)（10）00式中h表示地心到通道的距離。解以上有關(guān)各式，得v2=0r2-h20r0g（11）22220（14）222u2=g（16）可見，到達(dá)通道中點(diǎn)c的速度與物體的質(zhì)量無(wú)關(guān)。設(shè)想讓質(zhì)量為m的物體靜止于出口a處，質(zhì)量為m的物體靜止于出口b處，現(xiàn)將它們同時(shí)釋放，因?yàn)樗鼈兊恼駝?dòng)周期相同，故它們將同時(shí)到達(dá)通道中點(diǎn)c處，并發(fā)生彈性碰撞。碰撞前，兩物體速度的大小都是v，方向相反，剛碰撞后，質(zhì)量為m的物體的速度為v，質(zhì)量0為m的物體的速度為v，若規(guī)定速度方向由a向b為正，則有mv-mv=mv+mv，（12）001111mv2

11、+mv2=mv2+mv2（13）00解式（12）和式（13），得3m-mv=vm+m質(zhì)量為m的物體是待發(fā)射的衛(wèi)星，令它回到通道出口b處時(shí)的速度為u，則有111k(r2-h2)+mu2=mv2（15）0由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得8m(m-m)r2-h20(m+m)2r0u的方向沿著通道。根據(jù)題意，衛(wèi)星上的裝置可使u的方向改變成沿地球b處的切線方向，如果u的大小恰能使小衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，則有=m（17）gmmu20r2r00由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到rh=027m2-10mm-m22m(m-m)（18）已知m=20m，則得h=0.925r=5920km

12、（19）0評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。求得式（11）給7分，求得式（16）給6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。四、參考解答圖復(fù)解20-4-1中畫出的是進(jìn)入玻璃半球的任一光線的光路（圖中陰影處是無(wú)光線進(jìn)入的區(qū)域），光線在球面上的入射角和折射角分別為i和i，折射光線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在p。令軸上op的距離為x，mp的距離為l，根據(jù)折射定律，有sinisini=n（1）在domp中l(wèi)x=sinisini（2）l2=r2+x2-2rxcosi（3）由式（1）和式（2）得x=nl再由式（3）得x2=n2(r2+x2-2rxcosi)設(shè)m點(diǎn)到ox的距離為h，有h=rsinircosi=r2-r2

13、sin2i=r2-h2得nx22=r2+x2-2xr2-h2x2(1-1n2)-2xr2-h2+r2=0（4）解式（4）可得n2r2-h2nr2-n2h2x=（5）n2-1為排除上式中應(yīng)舍棄的解，令h0，則x處應(yīng)為玻璃半球在光軸ox上的傍軸焦點(diǎn)，由上式r=r或rxn(n1)nnn2-1n-1n+1由圖可知，應(yīng)有xr，故式（5）中應(yīng)排除號(hào)中的負(fù)號(hào)，所以x應(yīng)表示為n2r2-h2+nr2-n2h2x=（6）n2-1上式給出x隨h變化的關(guān)系。因?yàn)榘肭蚱奖砻嬷行挠型亢诘拿娣e，所以進(jìn)入玻璃半球的光線都有hh，其中折射光線0與ox軸交點(diǎn)最遠(yuǎn)處的坐標(biāo)為n2-1（7）x=0n2r2-h2+nr2-n2h200在

14、軸上xx處，無(wú)光線通過。0隨h增大，球面上入射角i增大，當(dāng)i大于臨界角i時(shí)，即會(huì)發(fā)生全反射，沒有折射光線。c與臨界角i相應(yīng)的光線有ch=rsini=rcc這光線的折射線與軸線的交點(diǎn)處于1nx=cn2r1-n2-11n2=nrn2-1（8）0（9）的一段為有光線段，其它各點(diǎn)屬于無(wú)光線段。x與x就是所要求的分界點(diǎn)，如圖復(fù)解20-4-2在軸ox上rxx處無(wú)光線通過，給10分；求得式（8）并指出在ox軸上xmn，這一點(diǎn)將要發(fā)生滑動(dòng)。111圓柱a在地面上不發(fā)生滑動(dòng)的條件是12+cosj+2sinjm1fcosj1=n（17）由圖復(fù)解20-5可知cosj=r-rr+r（18）sinj=1-cos2j=2r

15、rr+r（19）由式（17）、（18）和式（19）以及m0.20，可以求得11rr（20）91即只有當(dāng)rr時(shí)，圓柱a在地面上才能不滑動(dòng)。9最后討論兩圓柱的接觸點(diǎn)。接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)要求mf31+sinjn由式（18）、（19）以及m0.30，可解得333=cosj（21）rr=0.29r（22）7213顯然，在平衡時(shí)，r的上限為r?？偨Y(jié)式（20）和式（22），得到r滿足的條件為rr0.29r（23）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題22分。求得式（7）、（12）、（13）、（14）、（15）各2分，式（16）3分，求得式（23）9分。六、參考解答在點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)中一點(diǎn)的電勢(shì)與離開該點(diǎn)電荷的距離成反比。因?yàn)槿o(wú)限遠(yuǎn)

16、處為電x勢(shì)的零點(diǎn)，故正電荷在空間各點(diǎn)的電勢(shì)為正；負(fù)電荷在空間各點(diǎn)的電勢(shì)為負(fù)?，F(xiàn)已知=x處0的電勢(shì)為零，故可知這兩個(gè)點(diǎn)電荷必定是一正一負(fù)。根據(jù)所提供的電勢(shì)的曲線，當(dāng)考察點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)很近時(shí)，電勢(shì)為正，且隨x的減小而很快趨向無(wú)限大，故正的點(diǎn)電荷必定位于原點(diǎn)o處，以q表示該點(diǎn)電荷的電量。當(dāng)x從0增大時(shí)，電勢(shì)沒有出現(xiàn)負(fù)無(wú)限大，即沒有經(jīng)過負(fù)的1點(diǎn)電荷，這表明負(fù)的點(diǎn)電荷必定在原點(diǎn)的左側(cè)。設(shè)它到原點(diǎn)的距離為a，當(dāng)x很大時(shí)，電勢(shì)一定為負(fù)，且趨向于零，這表明負(fù)的點(diǎn)電荷的電量的數(shù)值q應(yīng)大于q。即產(chǎn)生題目所給的電勢(shì)21的兩個(gè)點(diǎn)電荷，一個(gè)是位于原點(diǎn)的正電荷，電量為q；另一個(gè)是位于負(fù)x軸上離原點(diǎn)距離a處1的負(fù)電荷，電量的

17、大小為q，且qq。按題目所給的條件有2210x+akqq1-k2x0=0（1）kq1-k0ax+aaxq20=-u0（2）kq0（4）因x=ax時(shí)，電勢(shì)為極小值，故任一電量為q的正檢測(cè)電荷位于x=ax處的電勢(shì)能也為00極小值，這表明該點(diǎn)是檢測(cè)電荷的平衡位置，位于該點(diǎn)的檢測(cè)電荷受到的電場(chǎng)力等于零，因而有q21-k=0（3）(ax)2(ax+a)200由式（1）、（2）和（3）可解得a=a(a-2)xq=1axu00（5）a-2ka-2ka(a-1)2ux00q=（6）2式中k為靜電力常量。u=2gh（1）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題23分。式（1）、（2）各4分，式（3）6分，式（4）、（5）、（6）各3分。

18、七、參考解答設(shè)物塊在a點(diǎn)第一次與地面碰撞，碰撞前水1平速度仍為v，豎直速度為00碰撞后物塊的豎直速度變?yōu)閡，根據(jù)題意，有1u=eu10（2）設(shè)物塊的質(zhì)量為m，碰撞時(shí)間為dt，因?yàn)榕鲎矔r(shí)間極短，物塊與地面間沿豎直方向的作用力比重力大得多，可忽略重力的作用，這樣，物塊對(duì)地面的正壓力的大小為n=1mu+mu01（3）dt水平方向動(dòng)量的變化是水平摩擦力的沖量作用的結(jié)果，設(shè)水平方向速度變?yōu)関，則有1mv-mv=-mndt（4）101由以上各式得v=v-(1+e)mu100（5）同理，在落地點(diǎn)a2，a3，an其碰撞后的豎直分速度分別為u=e2u20u=e3u30un=enu0（6）其水平速度分別為v=v-

19、(1+e)m(1+e)u200v=v-(1+e)m(1+e+e2)u300vn=v0-(1+e)m(1+e+e2+en-1)u0（7）由式（6）可知，只有當(dāng)碰撞次數(shù)n時(shí)，碰地后豎直方向的分速度un才趨向于零，但物塊對(duì)地面的正壓力的最小值不小于mg。地面作用于物塊的摩擦力的最小值不小于mmg，因次，n+1=0，由式（7）0物塊沿水平方向的分速度一定經(jīng)歷有限次數(shù)碰撞后即變?yōu)榱?，且不?huì)反向。設(shè)經(jīng)過n=n次碰撞，物塊沿水平方向的分速度已經(jīng)足夠小，再經(jīng)過一次碰撞，即在0n=n+1次碰撞結(jié)束后，水平方向的分速度恰好變?yōu)榱?。因v0v-(1+e)m(1+e+e2+0+en0)u=00v-0(1+e)m(1-en0+1)u1-e0=0en0+1=1-)(1-ev0)(1+emu0兩邊取對(duì)數(shù)lg1-0（8）(1+e)mun+1=0lge1(1-e)v0令lg1-0（9）(1+e)mub=lge1(1-e)v0n0+1處作上下跳躍，直到enu0，即n，最后停止在an0+1處。物塊運(yùn)動(dòng)n0+1。下面分別計(jì)算每次跳躍的距離。若b恰為整數(shù)，這表示這次碰撞中，經(jīng)過整個(gè)碰撞時(shí)間dt，水平速度變?yōu)榱?，則碰撞次數(shù)n+1=b0有n=b-1（10）0若b不是整數(shù)，此種情況對(duì)應(yīng)于在n=n+1次碰撞結(jié)束前，即在小于碰撞時(shí)間內(nèi)，水平0速度變?yōu)榱?。則碰撞次數(shù)n+1=b+