立體幾何題型的解題技巧適合總結(jié)提高用

1、 第六講立體幾何新題型的解題技巧 考點1點列平而的IE窩 例1 （2007年福建卷理）如圖，正三棱柱ABC-A.B G的所有棱長都為2，D為CC；中點. （【）求證：丄平面A、BD； （II）求二面角A-A.D-B的大小; （IH）求點C到平面人購的距離. 例2.（ 2006年湖南卷）如圖，已知兩個正四棱錐PJBCD與Q ABCD的高分別為1和2AB=4 （I ）證明PQ丄平面ABCDx （II）求異而直線AQ與PB所成的角： （【1【）求點P到平而0AD的距離. 1 / 12 (7X 考點2異面直戲的距寓 例3已知三棱錐S-ABC,底面是邊長為4、的正三角形，棱 SC的長為2,且垂直于底面.

2、E、分別為BC、的中點，求 CD與SE間的距離. 例4.如圖，在棱長為2的正方體AC】中，G是人出的中點，求BD到平而GBP的距離. 3/12 君點4井面直戲所成的角 例5 （2007年北京卷文） 如圖，在RtAAOB中，ZOAB = 斜邊AB = 4RtAAOC可以通過 6 RtZAOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二而角B-AO-C的直二而角.D是 A3的中點. （I）求證：平mCOD丄平而AOB, A （II）求異而直線AO與CD所成角的大小. 例6（2006年廣東卷）如圖所示，AF. DE分別是0O. OOi的直徑4D與兩圓所在的平 而均垂直，AD=8.BC 是0O 的直徑，AB=AC=6

3、, OE/AD. （I ）求二面角BADF的大小： （II）求直線BD與F所成的角. 考點5直錢和平蜀所成的角 例7. （2007年全國卷I理） 四棱錐S ABCD中，底面ABCD為平行四邊形， ZABC = 45S AB = 2t BC = 2近,SA = SB = y （I ）證明SA丄BC; （II）求直線SD與平面SAB所成角的大小. 考點6二面角 例& （2007年湖南卷文） 如圖，已知直二而角 a-PQ-卩、AePQ 9 Bea , Ce/7 , CA = CB , Z.BAP = 45 ,直線C4和平而a所成的角為30 （I）證明BC丄PQ； （II）求二面角B-AC-P的大小.

4、 例9. ( 2006年重慶卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，丹丄底而 ABCDZDAB 為直角，AB IICD. AD=CEh=2AB. E. F 分別為 PC、 CD的中點. (I )試證：CD丄平而BEF： (II)設PA=k且二面角E-BD-C的平而角大于30。,求R的取 值范園 考點7駙用住岡向受束交網(wǎng)IE窩和角 例10.(2007年江蘇卷) 如圖，已知ABCD-AC.D.是棱長為3的正方體， 點在4上，點F在CG上，且AE = FCi=. (1) 求證：E, B, F,卩四點共面： 2 (2) 若點G在BC上，BG = -,點M在Bd上， GM丄BF，垂足為求證：EW丄平面BCCB

5、: D (3) 用&表示截而EBFD和側(cè)而BCC且所成的銳二而角的大小，求tan& 4/ 12 例11.(2006年全國I卷) 如圖,n/2是互相垂直的兩條異而直線，MN是它們的公垂線段，點A、B在 厶上，C在丿2上，AM=MB=MN (I) 證明AC丄 (II) 若ZACB = 60求NB與平而ABC所成角的余弦值. 考點8簡羊多而體的有關撫含及應用，左要考上多荀體的枇念、性橫，主要以扶交、迪掙 題為主，通當?shù)谕谭济骟w的岌戈、性廣遺行劌餅. 例12 如圖(1),將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛 線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器，當這個正六棱柱容器的底而邊長為時

6、容積 最大. 例13 如圖左，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、/、J分別為 AF. AD. BE、DE的中點，將ZV1BC沿DE、EF、DF折成三棱錐后，GH與所成角的 5/12 A、90 B、60C、45 D、0 6 A hi 例 14長方體 ABCD-ABCD 中， 設對角線D0與自D出發(fā)的三條棱分別成、0、 求證：COS2 o +cos2 +cos2 / = 1 設與自D出發(fā)的三個而成、0、了角，求證: cos2 o 4-cos2 0 + cos2y=2 考點9簡單多面體的例面積又體積衣球的計算 例 15如圖，在三棱柱 ABC-ABC 中，AB=a. BC=CA=

7、AA=a, Ai在底而/ABC上的射影O在AC上 求AB與側(cè)而AC】所成角： 若0恰好是AC的中點，求此三棱柱的側(cè)而積. 例16.等邊三角形ABC的邊長為4, M. N分別為AB、AC 的中點，沿MN將ZVIMN折起.使得而AA/N與而MNCB所成 的二面角為30，則四棱錐A-MNCB的體積為（） 6/ 12 例17如圖，四棱錐P-ABCD中，底而是一個矩形，AB=3, AD=1,又刊丄AB, PA = 4, ZB4D=60 求四棱錐的體積； 求二而角P-BC-D的大小. 例18（2006年全國卷II）已知圓Oi是半徑為/?的球O的一 2 個小圓，且圓0的而積與球。的表而積的比值為一，則線段

8、9 00與R的比值為 【專題訓練與高考預測】 一、選擇題 D 1. 如圖，在正三棱柱ABC-A/G中，已知AB=. D任BB】匕 且BD=,若AD與側(cè)而/VhCCi所成的角為a,則a的值為 （） C. arctan 2 2. 直線“與平面a成&角，是平面Q的斜線，b是平而a 內(nèi)與“異而的任意直線，則與b所成的角（） A.最小值久 最大值71-0 B.最小值最大值仝 2 C.最小值無最大值D.無最小值，最大值冬 4 3. 在一個45。的二而角的一平而內(nèi)有一條直線與二而角的棱成45。角，則此宜線與二面角 的另一平而所成的角為（） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 4. 如圖，直平行六

9、面體ABCD-AGDi的棱長均為2, ZBAD=60,則對角線川C與側(cè)而DCGD,所成 的角的正弦值為（） B. C. V2 2 V3 4 5. 已知在MBC中，AC=5, ZBAC=120p,它所在平而外一點P到AABC三 頂點的距離都是14,那么點P到平面MBC的距離為（） A. 13 B. 11 C. 9D. 7 6. 如圖，在棱長為3的正方體ABCD-AxBxCxDx中，M、N分別 是棱旳冏、AQ的中點，則點B到平而AMN的距離是（） 9廠 A. - B. J3 C. 65 5 D. 2 2 7. 將ZQMN = 60。,邊長MNn的菱形MNPQ沿對角線NQ 折成60。的二而角，則MP

10、與N0間的距離等于（） A.糾 B. C.普D中 8. 二而角ct l 0的平而角為120,在a內(nèi)，AB 11于乩AB=2,在“內(nèi)，CDU于 D, CD=3.BD=,M是棱/上的一個動點，貝ij AM+CM的最小值為（） A. 2、斥B. 2y/2 C. x/26 D. 2品 9. 空間四點A、B、C、D中，每兩點所連線段的長都等于“，動點P在線段AB上，動點0在 線段CD上，則P與0的最短距離為（） 1 y/2V3 A. aB.a C.a D.a 2 22 10. 在一個正四棱錐，它的底而邊長與側(cè)棱長均為“，現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包 住（不能裁剪紙，但可以折疊）,那么包裝紙的最小邊長應

11、為（） 13/12 C. (l + Qa D. 2 11已知長方體ABCD-AibCQ中, A/二AB=2,若棱AB上存在點P,使QP丄PC,則 棱AD的長的取值范國是（） A.（0,1 B.（05V2 C. (0,2 D. (1 屈 12.將正方形ABCD沿對角線AC折起，使點D任平而ABC外，則DB與平面ABC所成的 角一定不等于（） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 二、填空題 1.如圖,正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為1, E是Ai 的中點，則下列四個命題： E到平而ABCD的距離是丄: 2 直線BC與平面ABC.D,所成角等于45。: 空間四邊形ABCD在正方體

12、六個而內(nèi)的射影國成 面積最小值為丄: 2 旋與5所成的角為arcsin豁 2.如圖,在四棱柱ABCD-AxBiCiDi中，P是AQ 上的動點，E為CD上的動點，四邊形ABCD滿 時，體積JEB恒為宦值（寫上 你認為正確的一個答案即可） 3. 邊長為1的等邊三角形ABC中，沿BC邊髙線AD 折起，使得折后二而角B-AD-C為60，則點A到 BC的距離為，點D到平而ABC的距離 為. 4. 在水平橫梁上A、B兩點處各掛長為50cm的細繩， AM. BN、AB的長度為60cm,在MN處掛長為60cm 的木條，MN平行于橫梁，木條的中點為O,若木條 繞過O的鉛垂線旋轉(zhuǎn)60 ,則木條比原來升髙了 Ci

13、5.多而體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的如圖 正方體的一個頂點A在Q平而內(nèi)其余頂點在&的同 側(cè)，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到a的距離分 別是1、2和4. P是正方體其余四個頂點中的一個，則P到平面a的距離可能是: 3； 4：5：6；7. 以上結(jié)論正確的為 (寫出所有正確結(jié)論的編號) 6.如圖，棱長為lm的正方體密封容器的三個而上有三個銹蝕的小孔 (不計小孔直徑)0|、。2、03它們分別是所在而的中心如果恰當放置 容器，容器存水的最大容積是ml 三、解答題 1. 在正三棱柱ABC-AiBiC中，底而邊長為a.D為BC為中點，M在BBi上，且 又 CM丄AC； 3 (1) 求證：CM丄C

14、iD: (2) 求AAi的長. 2. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是矩形且AD=2, AB=PA= 42 , PA丄底而ABCD, E是AD的中點，F(xiàn)在PC上. (1) 求F在何處時,EF丄平面PBC： (2) 在(1)的條件下，EF是不是PC與AD的公垂線段.若是，求 出公垂線段的長度：若不是，說明理由； (3) 在(1)的條件下，求直線BD與平而BEF所成的角. 3如圖，四棱錐S-ABCD的底而是邊長為1的正方形，SD垂直于底而ABCD, SB=V3 (1)求證 BC1SC： （2）求而ASD與而BSC所成二而角的大小： （3）設棱SA的中點為求異而直線DM與SB所成角的 大小. 4.在直角梯形 ABCD 中，ZD=ZBAD=90.AD=DC=lAB=at（如圖一）將厶ADC 沿 AC 折 2