2025屆山東省濟(jì)南市歷城二中高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆山東省濟(jì)南市歷城二中高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列數(shù)列中成等差數(shù)列的是（）A. B.C. D.2．若直線(xiàn)與互相平行，且過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.3．曲線(xiàn)為四葉玫瑰線(xiàn)，這種曲線(xiàn)在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來(lái)需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來(lái)實(shí)現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車(chē)輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①曲線(xiàn)C關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)C關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)；③曲線(xiàn)C的面積超過(guò)4π.A.0 B.1C.2 D.34．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)，則的值為A.2 B.1C. D.45．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)且滿(mǎn)足，則兩異面直線(xiàn)，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，，A為垂足．如果直線(xiàn)AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.88．某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校男教師的人數(shù)為（）A.167 B.137C.123 D.1139．已知雙曲線(xiàn)＝1的一條漸近線(xiàn)方程為x－4y＝0，其虛軸長(zhǎng)為（）A.16 B.8C.2 D.110．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A.32 B.C.1320 D.11．若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.12．設(shè)為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)總能作圓的切線(xiàn)，則的最大值為（）A. B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)_____14．已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離是，則其離心率的值是______；若點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，，則雙曲線(xiàn)C的方程為_(kāi)_____15．已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為_(kāi)_____16．如圖，某建筑物的高度，一架無(wú)人機(jī)上的儀器觀(guān)測(cè)到建筑物頂部的仰角為，地面某處的俯角為，且，則此無(wú)人機(jī)距離地面的高度為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，是與的等差中項(xiàng)，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)的和18．（12分）已知三條直線(xiàn)：，：，：（是常數(shù)），.（1）若，，相交于一點(diǎn)，求的值；（2）若，，不能?chē)梢粋€(gè)三角形，求的值：（3）若，，能?chē)梢粋€(gè)直角三角形，求的值.19．（12分）某企業(yè)計(jì)劃新購(gòu)買(mǎi)臺(tái)設(shè)備，并將購(gòu)買(mǎi)的設(shè)備分配給名年齡不同（視為技術(shù)水平不同）的技工加工一批模具，因技術(shù)水平不同而加工出的產(chǎn)品數(shù)量不同，故產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益也不同.若用變量表示不同技工的年齡，變量為相應(yīng)的效益值（元），根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，他們的工作效益滿(mǎn)足最小二乘法，且關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為（1）試預(yù)測(cè)一名年齡為歲的技工使用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益；（2）試根據(jù)的值判斷使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱（，則認(rèn)為與線(xiàn)性相關(guān)性很強(qiáng)；，則認(rèn)為與線(xiàn)性相關(guān)性不強(qiáng)）；（3）若這批設(shè)備有兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是，.若兩道工序都沒(méi)有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本不增加；若工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加萬(wàn)元；若工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加萬(wàn)元；若兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加萬(wàn)元.求這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望參考數(shù)據(jù)：，參考公式：回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，.20．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；（I）求異面直線(xiàn)A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直線(xiàn)AB1與平面C1AD所成角的正弦值21．（12分）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí)，（1）求橢圓E的方程；（2）求的范圍22．（10分）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，（1）求的值；（2）求展開(kāi)式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項(xiàng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用等差數(shù)列定義，逐一驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，，A不是等差數(shù)列；對(duì)于B，，B不是等差數(shù)列；對(duì)于C，，C是等差數(shù)列；對(duì)于D，，D不是等差數(shù)列.故選：C2、D【解析】由題意設(shè)直線(xiàn)的方程為，然后將點(diǎn)代入直線(xiàn)中，可求出的值，從而可得直線(xiàn)的方程【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與互相平行，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，得，所以直線(xiàn)的方程為，故選：D3、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對(duì)稱(chēng)性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(diǎn)(－x，－y)代入后依然為，故曲線(xiàn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②將點(diǎn)(y，x)代入后依然為，故曲線(xiàn)C關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)；③曲線(xiàn)C在四個(gè)象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線(xiàn)C上離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線(xiàn)C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內(nèi)曲線(xiàn)C的面積小于，則曲線(xiàn)C的總面積小于4π.故③錯(cuò)誤.故選：C.4、D【解析】本題首先可以通過(guò)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)確定直線(xiàn)的斜率存在，然后設(shè)出直線(xiàn)方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過(guò)拋物線(xiàn)的定義將化簡(jiǎn)，最后得出結(jié)果【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，由可得，，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線(xiàn)的定義、過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，是中檔題5、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)、、、和向量的、坐標(biāo)，運(yùn)用求異面直線(xiàn)余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則，，，，故,,，故兩異面直線(xiàn)，所成角的余弦值是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線(xiàn)所成角的余弦值，屬于中檔題.6、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根據(jù)向量夾角公式求出【詳解】如圖所示：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為1，，，所以＝＝，，，即，故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為故選：B注意事項(xiàng)：1.將答案寫(xiě)在答題卡上2.本卷共10小題，共80分.7、D【解析】由題可得方程，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線(xiàn)定義即求【詳解】∵拋物線(xiàn)方程為，∴焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線(xiàn)l方程為x=?2，∵直線(xiàn)AF的斜率為,直線(xiàn)AF的方程為，由，可得，∵PA⊥l，A為垂足，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，∴.故選：D.8、C【解析】根據(jù)圖形分別求出初中部和高中部男教師的人數(shù)，最后相加即可.【詳解】初中部男教師的人數(shù)為110×(170%)=33；高中部男教師的人數(shù)為150×60%=90，∴該校男教師的人數(shù)為33+90=123.故選：C.9、C【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程的特點(diǎn)，結(jié)合虛軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)＝1的一條漸近線(xiàn)方程為x－4y＝0，所以，因此該雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為，故選：C10、A【解析】先令，求出，再當(dāng)時(shí)，由，可得，然后兩式相比，求出，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相除可得，所以，所以，故選：A11、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式來(lái)判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，則等號(hào)不成立，所以，C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質(zhì)和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】根據(jù)題意，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，即可求得的最大值.【詳解】因?yàn)檫^(guò)過(guò)總能作圓的切線(xiàn)，故點(diǎn)在圓外或圓上，也即直線(xiàn)與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】當(dāng)圓心與點(diǎn)的距離最小時(shí)，切線(xiàn)長(zhǎng)，最小，則四邊形的面積最小，此時(shí)是點(diǎn)到已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)段.然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式和面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意可知：當(dāng)圓心與點(diǎn)的距離最小時(shí)，切線(xiàn)長(zhǎng)，最小，則四邊形的面積最小，此時(shí)是點(diǎn)到已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)段.圓心到直線(xiàn)的距離為四邊形面積的最小值為故答案為：14、①.##1.5②.【解析】求得焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離可得，計(jì)算即可求得離心率，由雙曲線(xiàn)的定義可求得，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，又，，，，.雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為，即，，即，解得：，由，解得：,.雙曲線(xiàn)C的方程為.故答案為：；.15、【解析】求橢圓上平行于的直線(xiàn)方程，利用平行線(xiàn)的距離公式求橢圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的最小值.【詳解】設(shè)與橢圓相切，且平行于的直線(xiàn)為，聯(lián)立橢圓整理可得：，則，∴，又兩平行線(xiàn)的距離，∴到直線(xiàn)距離的最小值為.故答案為：.16、200【解析】在Rt△ABC中求得AC的值，△ACQ中由正弦定理求得AQ的值，在Rt△APQ中求得PQ的值【詳解】根據(jù)題意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC200；△ACQ中，∠AQC＝45°+15°＝60°，∠QAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠QCA＝180°﹣∠AQC﹣∠QAC＝45°，由正弦定理，得，解得AQ200，在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200200m故答案為200【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，考查正弦定理，三角形內(nèi)角和問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化化歸能力，是基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）求得，利用等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出，可計(jì)算得出，利用并項(xiàng)求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)的和.小問(wèn)1詳解】解：由題意知是與的等差中項(xiàng)，可得，可得，則，可得，所以，，又由，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得：，，對(duì)任意的，，因此，.18、（1）（2）或或（3）或【解析】(1)由二條已知直線(xiàn)求交點(diǎn)，代入第三條直線(xiàn)即可；(2)不能?chē)梢粋€(gè)三角形，過(guò)二條已知直線(xiàn)的交點(diǎn)，或者與它們平行；(3)由直線(xiàn)互相垂直得，斜率之積為-1.【小問(wèn)1詳解】顯然，相交，由得交點(diǎn)，由點(diǎn)代入得所以當(dāng)，，相交時(shí)，.【小問(wèn)2詳解】過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，，不能?chē)扇切?，所以，或與平行，或與平行，所以，或，或.【小問(wèn)3詳解】顯然與不垂直，所以，且或所以的值為或19、（1）元；（2）使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng)；（3）0.13萬(wàn)元.【解析】（1）直接把代入線(xiàn)性回歸方程即得解；（2）先求出，再代公式求出相關(guān)系數(shù)比較即得解；（3）設(shè)增加的生產(chǎn)成本為ξ（萬(wàn)元），則ξ的可能取值為0，2，3，5，求出對(duì)應(yīng)的概率即得解.小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，.所以預(yù)測(cè)一名年齡為歲的技工使用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益為元.【小問(wèn)2詳解】解：由題得，所以，所以.因?yàn)?，所以與線(xiàn)性相關(guān)性很強(qiáng).所以使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng).【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)增加的生產(chǎn)成本為ξ（萬(wàn)元），則ξ的可能取值為0，2，3，5P（ξ＝0）＝（1﹣0.02）×（1﹣0.03）＝0.9506，P（ξ＝2）＝0.02×（1﹣0.03）＝0.0194，P（ξ＝3）＝（1﹣0.02）×0.03＝0.0294，P（ξ＝5）＝0.02×0.03＝0.0006所以Eξ＝0×0.9506+2×0.0194+3×0.0294+5×0.0006＝0.13（萬(wàn)元），所以這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望為0.13萬(wàn)元.20、（I）（II）【解析】（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，可得和的坐標(biāo)，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），設(shè)直線(xiàn)AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=，進(jìn)而可得答案解：（I）以，，x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴異面直線(xiàn)A1B，AC1所成角的余弦值為：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為=（x，y，z），則可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），設(shè)直線(xiàn)AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=∴直線(xiàn)AB1與平面C1AD所成角的正弦值為：考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其