小學簡單排列組合

1、一階乘 1. 階乘是基斯頓 卡曼于 發(fā)明的運算符號。階乘，也是數(shù)學里的一種 術語。 2. 階乘的計算方法 階乘指從1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的數(shù)。例如：求4的階 乘，就是式子：1X 2X 3X積24就是4的階乘。 例如：求6的階乘，就是式子： 1 x 2X 3X廠積620就是6的階乘。例如：求n的階乘，就是式子： 1 x 2x 3x積是x就是n的階乘。 3. 表示方法 任何大于1的n階乘表示方法：=1x2x3x x n=nx （n n的雙階乘： 當n為時表示不大于n的所有奇數(shù)的乘積。如：7!=1 x 3x 5x 7 當n為時表示不大于n的所有偶數(shù)的乘積（除0外） 女口： 8!=2 x4

2、x6x8 小于0的-n的階乘表示：（-n）! = 1 / （n+1）! 4. 20以內(nèi)的數(shù)的階乘 0! =1，注意（0的階乘是存在的） 1! =1, 2! =2, 3! =6, 4! =24, 5! =120, 6! =720, 7! =5,040, 8! =40,3209! =362,880 10! =3,628,80011! =39,916,80012! =479,001,600 13! =6,227,020,80014 =87,178,291,200 15! =1,307,674,368,00016 =20,922,789,888,000 17 ! =355,687,428,096,00

3、018 ! =6,402,373,705,728,000 19 ! =121,645,100,408,832,00020 ! =2,432,902,008,176,640,000 另外，家定義，0 ! =1,所以0 ! =1 ! 5. 定義范圍 通常我們所說的階乘是定義在自然數(shù)范圍里的，沒有階乘，像0.5 !, 0.65 !，0.777 !都是錯誤的。 二.排列組合 1. 排列組合是組合學最基本的概念。 排列就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序。組合就是 指從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素，不考慮排序。排列組合的中 心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。 排

4、列組合公式 公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。 公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。 N-元素的總個數(shù) R要選擇的元素個數(shù) 感嘆號!表示 ：9 ! = 9X8X7X6X5X4X3X2X 1 從N倒數(shù)r個，表達式應該為nx(n-1) x(n-2).(n-r+1因為從n到(n-葉1) 個數(shù)為n(n-葉1)+1 = r 2. 定義及公式 排列的定義及其計算公式：從 n個不同元素中，任取 m(mc n)個元素按照一 定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個 不同元素中取出m(mc n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從 n個不同元素中取出 m個元素的排列數(shù)，用

5、符號 P(n,m)表示。P(n,m)二n(n-1)(n2) 如+1)=。 組合的定義及其計算公式：從 n個不同元素中，任取m(mc n)個元素并成一 組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出 m(m n個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的組合 數(shù)。用符號 C(n,m)表示。C(n,m)=P(n,m)/m!二 。 3. 基本計數(shù)原理 A. 加法原理和分類計數(shù)法 1. 加法原理：做一件事，完成它可以有 n類辦法，在第一類辦法中有 m1 種不同的方法，在第二類辦法中有 m2種不同的方法，,在第n類辦法中有 mn種不同的方法，那么完成這件事共有 N=

6、m1+m2+m3+mn種不同方法。 2. 第一類辦法的方法屬于集合 A1,第二類辦法的方法屬于集合 A2, , 第n類辦法的方法屬于集合An,那么完成這件事的方法屬于集合 A1UA2UUAn 3. 分類的要求：每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類 不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重);完成此任務的任何一種方法， 都屬于某一類(即分類不漏)。 B. 乘法原理和分步計數(shù)法 1. 乘法原理 乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n個步驟，做第一步有 ml種不同的方法，做第二步有 m2種不同的方法，做第n步有mn種不同 的方法，那么完成這件事共有 N=mK m2x m3x n種不同的

7、方法。 2. 合理分步的要求 任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完 成此任務；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應的完 成此事的方法也不同。 4. 例題分析 例：有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數(shù)？ 分析：123和213是兩個不同的。即對排列順序有要求的，既屬于 排列P 計算。 上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn)988,997之類的組合， 我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應該有9-1種可能，個位數(shù)則應 該只有種可能，最終共有9X 8X個三位數(shù)。計算公式=P (3, 9)= 9X 8X 從 9倒 數(shù)3個的乘積

8、) 例：有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表“x聯(lián)盟”可 以組合成多少個“ x聯(lián)盟” 分析：213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即 可。即不要求順序的，屬于 組合C計算xx。 上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復的個數(shù)即為最終 C(3,9)= (9X 8X7/ (3X 2X1 例. 1、2 3. 、20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成，這樣的不同等差數(shù)列有 多少個？ 分析：首先要把復雜的生活背景或其它數(shù)學背景轉(zhuǎn)化為一個明確的排列組 合問題。 設a,b,c成等差，二2b=a+c,可知b由a,c決定， 又T 2b是偶數(shù)，二a,cxx或同偶，即：分

9、別從1, 3, 5, ,19或2, 4, 6, 8, ,20這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進行排列，由此就可確定等差數(shù)列， A（ 10,2） *2=90*2，因而本題 180。 例.某xx有4條xx街道和6條xx的街道，街道之間的間距相同，若規(guī)定只 能xx或向xx兩個方向沿圖中路線前進，則從 M到N有多少種不同的走法？ 分析：對實際背景的分析可以逐層深入： （一）從M到N必須向上走三步，xx五步，共走八步； （二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法； （三）事實上，當把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右； 從而，任務可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走 法數(shù)。本題答案為：C（8,

10、3） 56。 例.在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植 A, B兩種作物，每種種 植一壟，為有利于作物生長，要求 A, B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選 法共有多少種？ 分析：條件中 要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一 個包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。 第一類：A在第一壟，B有3種選擇； 第二類：A在第二壟，B有2種選擇； 第三類：A在第三壟，B有1種選擇, 同理A、B位置互換，共12種。 例.從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少 種？(A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：顯然本題應分步解決。 (

11、一) 從6雙中選出一雙同色的手套，有 6種方法； (二) 從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法。 (三) 從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法； (四) 由于選取與順序無關，因(二)(三)中的選法重復一次，因而共240 種?；蚍植?(1) 從6雙中選出一雙同色的手套，有 C(1,6)=6種方法 (2) 從剩下的5雙手套中任選兩雙，有 C(2,5)=10種方法 (3) 從兩雙中手套中分別拿兩只手套，有C(1,2) X C(1,2)=4方法。 同樣得出共(1) X (2) X (3)=140 例.身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他 同列的身后的

12、人個子矮，則所有不同的排法種數(shù)為 。 分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一 縱列的排隊方法只與人的選法有關系，共有三縱列，從而有 C(6,2) X C(4,2) X C(2種)=90 例.在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，另外2人能當鉗 工也能當車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當鉗工，4人當車工，問共有多少種不同的 選法？ 分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的 標準必須前后 。 以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類 標準。 第一類：這兩個人都去當鉗工，C(2,2) X C(5,2) X C(4,4種1

13、0 第二類：這兩人有一個去當鉗工，C(2,1) X C(5,3) X C(5,4)種00 第三類：這兩人都不去當鉗工，C(5,4) X C(6,4)=75。 因而共有185種。 例.現(xiàn)有印著0, 1, 3, 5, 7, 9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那 么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數(shù)？ 分析：有同學認為只要把0, 1, 3, 5,乙9的排法數(shù)乘以2即為所求，但 實際上抽出的三個數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。 抽出的三數(shù)含0,含9,有32種方法； 抽出的三數(shù)含0不含9,有24種方法； 抽出的三數(shù)含9不含0,有72種方法； 抽出的三數(shù)不含9也不含0,有24種方法。

14、因此共有32+24+72+24=152種方法。 例.停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在 一起，不同的停車方法有多少種？ 分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有 A(9,8)=362880種停車方法。 例.六人站成一排，求 (1 )甲、乙即不再排頭也不在排尾的排法數(shù) (2) 甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù) 分析：(1)按照先排出首位和末尾再排中間四位分步計數(shù) 第一類：排出首尾和末尾、因為甲乙不再首尾和末尾，那么首尾和末尾實 在其它四位數(shù)選出兩位進行排列、一共有 A(4,2)=12種； 第二類：由于六個元素中已經(jīng)有兩位排在首尾和末尾，

15、因此中間四位是把 剩下的四位元素進行排列， 共 A(4,4)=24種； 根據(jù)乘法原理得即不再排頭也不在排尾數(shù)共12X 24=28種。 (2)第一類：甲在排尾，乙在排頭，有 A(4,4)種方法。 第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有3X A(4,4種方法。 第三類：乙在排頭，甲不在排尾，有3X A(4,4種方法。 第四類：甲不在排尾也不再排頭，乙不在排頭也不再排尾，有6X A(4,4種方 法(排除相鄰)。 共 A(4,4)+3 X A(4,4)+3 X A(4,4)+6 X A(4,種=312 例.對某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進行一一測試，至區(qū)分出所 有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試

16、時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法 有多少種可能？ 分析：本題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個次品，因 而第五次測試應算是特殊位置了，分步完成。 第一步：第五次測試的有 C(4,1種可能； 第二步：前四次有一件正品有 C(6,1中可能。 第三步：前四次有A(4,4)種可能。 二共有576種可能。 例.8人排成一隊 (1) 甲乙必須相鄰 (2) 甲乙不相鄰 (3) 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4) 甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰 (5) 甲乙不相鄰，丙丁不相鄰 分析：(1)甲乙必須相鄰，就是把甲乙捆綁(甲乙可交換)和7人排列 A(7,7) X 2 (2) 甲乙不相鄰，A(8,8)-A(7,

17、7) 2。 (3) 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰A(6,6) X2X2 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 A(7,7) X2-A(6,6) X2X2 (4) 甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰A(6,6) X2X2 (5) 甲乙不相鄰，丙丁不相鄰，A(8,8)-A(7,7) X 2X 2+A(6,6) X 2X 2 例.某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況？ 分析：丁連續(xù)命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空 問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個 空中選出2個的排列，即A(5,2)。 例.馬路上有編號為I, 2,

18、 3, ,10十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面， 可以把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也 不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法共有多少種？ 分析：即關掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區(qū)別， 因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的 6個空中選出3個空放置熄滅的 燈。 二共C(6,3)=20種方法。 例.三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形？ 分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。 所求問題的方法數(shù)二任意三個點的組合數(shù)-共線三點的方法數(shù)， 二共76種。 例.8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體？ 分析：所求問題的方法數(shù)

19、二任意選四點的組合數(shù)-共面四點的方法數(shù)， 共 C(8,4)-12=70-12=58個。 例.1, 2, 3, ；9xx取出兩個分別作為的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個不 同數(shù)值的對數(shù)？ 分析：由于底數(shù)不能 1。 (1) 當1選上時，1必為真數(shù)， 有一種情況。 (2) 當不選1時，從2-9中任取兩個分別作為底數(shù)，真數(shù)，共 A(8,2)=56, 其中Iog2為底4=log3為底9, log4為底2=log9為底3, Iog2為底3=log4為底9, log3 為底2=log9為底4.因而一共有56-4+1=53個。 例.六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的 方法？如果要求甲乙

20、丙按從左到右依次排列呢 ？ 分析：(一)實際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相 同的排法數(shù)。因而有=360種。 (二)先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位， 因而前面的排法數(shù)重復了種，二共= 120種。 例.5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同 的方法？ 分析：首先不考慮男生的站位要求，共 A(9,9)種；男生從左至右按從高到矮 的順序，只有一種站法，因而上述站法重復了次。因而有=9X 8X 7X 6=3C種4 若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種，綜 上，有6048種。 例.三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法 ？ 分析：先認為三個紅球互不相同，共 A(5,5)=120種方法。而由于三個紅球所 占位置相同的情況下，共 A(3,3)=6變化，因而共A(5,5)/A(3,3)=20種。 例.10個名額分配到八個班，每班