機械振動基礎經典例題

1、例1：如圖所示是一個倒置的擺， 擺球質量 m，剛桿質量忽略不計， 每個彈簧的剛度是k/2， 求：倒擺作微幅振動時的 固有頻率 可以有幾種解法？ l m a k/2k/2 解法1： 廣義坐標，零平衡位置1 動能 勢能 222 1 11 2sin 22 kamgl 22222 11 () () 22 kamglkamgl maxmax tu maxmaxn 2 2 n kamgl ml l m a k/2k/2 零平衡位置零平衡位置1 1 21 1 21 cos 2 2 ukamgl 222 11 22 tjml 解法2： 廣義坐標，零平衡位置2 動能 勢能 222 1 1 2sin 22 kam

2、gl 222 11 22 kamglmgl 22 1 () 2 kamglmgl 0 d tu dt 22 22 ()0mlkamgl 22 22()0mlkamgl 2 2 n kamgl ml l m a k/2k/2 零平衡位置零平衡位置2 2 21 1 2cos 2 2 ukamgl 222 11 22 tjml 例題：如圖，兩彈簧的剛度分別是k1和k2，擺球的 質量為m。若桿的質量忽略不計，用能量法求系統(tǒng) 的固有頻率。 解：取擺球偏離平衡位置 的角位移為廣義坐標， 作簡諧振動，有 系統(tǒng)最大動能 b k1 k2 c a m sin() n atmax a 2222 max 11 ()

3、22 n tm cmac cos() nn at maxn a 最大彈性勢能 最大重力勢能 由 得 整理得 22 11max2max 11 ()() 22 ukakb 22 2maxmax 11 (1 cos) 22 umgcmgcmgca maxmax tu 22222222 12 1111 2222 n mack a ak a bmgca 22 12 2 n k ak bmgc mc b k1 k2 c a m 例：在圖示系統(tǒng)中，彈簧長l，其質量ms ，質量塊m， 求彈簧的等效質量及系統(tǒng)的固有頻率。 解：令 x 表示彈簧右端的位移， 也是質量 m 的位移。假設 彈簧各點在振動中任一瞬時 的

4、位移和一根直桿在一端固 定另一端受軸向載荷作用時各截面的靜變形一樣， 左端距離為 的截面的位移為 ， 則d 彈簧的動能為 2 s 1 dd 2 s m tx ll x l l d 例：阻尼緩沖器 靜載荷 p 去除后質量塊 越過平衡位置得最大位移 為初始位移的 10 求： 緩沖器的相對阻尼系數(shù) k c x 0 x0 p mm 平衡位置平衡位置 解：由題知 ，設 求導 設在時刻 t1質量越過平衡位置到達最大位移，這時 速度為： 即經過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅 x1 (0)0 x 0 (0)xx 00 0 ( )(cossin) nt n dd d xx x textt 2 0 ( )sin nt

5、n d d x x tet 1 2 0 11 ( )sin0 nt n d d x x tet d t 1 2 1 1 1100 ( ) nt xx tx ex e k c x 0 x0 p mm 平衡位置平衡位置 由題設質量塊最大位移為初始位移的 10，可知 解得： 2 1 1 1100 ( ) nt xx tx ex e 2 1 1 0 10% x e x 0.59 例： 小球質量 m ， 剛桿質量不計 求： （1）寫出運動微分方程 （2）阻尼固有頻率，臨界阻尼系數(shù) l a k cm b 解：廣義坐標，受力分析 力矩平衡： 無阻尼固有頻率： 0m l lc a ak b b 222 0ml

6、cakb 2 2 n kbbk mllm 2 2 2 n ca ml 22 2 22 n cacam mlmlbk l a k cm b m ac bk lm 2 20 nn xxx 阻尼固有頻率： 臨界阻尼系數(shù)： 22 224 2 1 14 2 dn kmb lc a ml 2 2 cr bl cmk a 2 1 2 cam mlbk 例題：一個質量為1.95kg的物體在粘性阻尼介質中 作強迫振動，激勵力為 n， (1)測得系統(tǒng)共振時的振幅為1.27cm，周期為0.20s， 求系統(tǒng)的阻尼比及阻尼系數(shù)；(2)如果 f = 4hz，無 阻尼時振幅是有阻尼時振幅的多少倍 解： (1)系統(tǒng)的固有頻率

7、 共振時 有 25sin(2)fft 1 210 0.20 n 2 25 62.66 1.27 1010 f c x 1 2/ x f k 62.66 0.51 22 1.95 10 n c m (2)振動頻率為 f = 4hz ， 頻率比 無阻尼時系統(tǒng)振幅 有阻尼時系統(tǒng)振幅 無阻尼與有阻尼系統(tǒng)振幅比為 4 0.8 1/20 nn f r f 222 1 (1)(2) f x k rr 2 1 1 f x kr 22 22 22 0.51 0.8 1 ()1 ()2.48 11 0.8 xr xr 例題：偏心質量系統(tǒng)，共振時 測得最大振幅為0.1m，由自由 衰減振動測得阻尼系數(shù)為 ，假定 求：

8、 （1）偏心距 e， （2）若要使系統(tǒng)共振時振幅為 0.01m，系統(tǒng)的總質量需要增加多少？ 0.0510% m m m x c 2 k 2 k t e mm k c tmesin 2 x 解：（1）共振時最大振幅 （2）若要使系統(tǒng)共振時振幅為0.01 m 1 0.1 ( ) 2 me m m 0.1 ( )em 1 0.01 ( ) 2 me m mm 10.1 0.01 ( ) 2 0.05 m m mm 9 m m 9mm 0.1 m m 例題1： 汽車的拖車在波形道路 上行駛，已知拖車的質 量滿載時為 m1 =1000kg， 空載時為 m2 =250kg， 懸掛彈簧的剛度為 k =350

9、kn/m，阻尼比在 滿載時為 ， 車速為 v = 100 km/h， 路面呈正弦波形，可表示為 求： 拖車在滿載和空載時的振幅比 1 0.5 2 sin f z xa l l =5 ml =5 m mm k/2 c x 0 k/2 x f a l x f z 解：汽車行駛的路程可表示為： 因此： 路面的激勵頻率： 有 c、k 為常數(shù)，因此 與 成反比 因此得到空載時的阻尼比為： 滿載和空載時的頻率比： l =5 ml =5 m mm k/2 c x 0 k/2 x f a l x f z zvt 2 sin f v xat l 2 34.9/ v rad s l 1 21 2 1.0 m m

10、1 1 1 2 2 2 1.87 0.93 n n m r k m r k m2ckm 滿載時阻尼比 空載時阻尼比 滿載時頻率比 空載時頻率比 記：滿載時振幅 x1，空載時振幅 x2 有： 因此滿載和空載時的振幅比： 1 0.5 2 1.0 1 1.87r 2 0.93r 2 11 1 222 11 1 1 (2) 0.68 (1)(2) xr arr 2 22 2 222 22 2 1 (2) 1.13 (1)(2) xr arr 1 2 0.6 x x l =5 ml =5 m mm k/2 c x 0 k/2 x f a l x f z 例題2：已知梁截面慣性矩i， 彈性模量e，梁質量不

11、計， 支座a產生微小豎直振動 ，支座b不動 求：質量m的穩(wěn)態(tài)振動振幅 解：在質量m作用下，由材料力學可求出靜撓度 固有頻率： xf 是因 ya 的運動而產生的質量m處的運動 動力學方程 振幅： / n g ( / )(/ )sin fa xb a ybd at ()0 f mxk xx(/ )sinmxkxkbd at 22 /11 11 kbd abd x krar a mm b ab a y sin a ydt 例題：機器安裝在彈性支承上 ，已測得固有頻率 fn=12.5hz ，阻尼比 =0.15 ，參與振動的質量是 880kg ，機器轉速 n=2400r/min ，不平衡力的幅值 147

12、0n ； 求：1）機器振幅 2）主動隔振系數(shù) 3）傳到地基 上的力幅 解：1）頻率比： 彈性支承的剛度： 機器振動的振幅 ： 21 3.2 602 nn n r f 226 880 (212.5)5.43 10 n kmn 222 1 0.0291() (1)(2) f xmm k rr 2）主動隔振系數(shù) ： 3）傳到地基上的力幅 ： 2 222 1 (2) 0.149 (1)(2) f r t rr 0.149 1470219 tf ft fn 例：彈簧質量系統(tǒng)受到周期為t 的方波激勵， 系統(tǒng)固有頻率為n 求系統(tǒng)響應 tt t f t tf tf 2 , 2 0, )( 0 0 )(tf 0

13、 f 0 f 0 t2/tt 解： a0在一個周期內總面積為0 ； 區(qū)間0,t內，f(t)關于t/2為反 對稱，而cosnt關于t/2對稱。 )(tf 0 f 0 f 0 t2/tt =0=0 =0=0 0 1 ( )(cossin) 2 nn n a f tan tbn t 1 sin n n bn t 0 0 0 0 2 ( ) 2 ( )cos 2 ( )sin t t n t n af t dt t af tn tdt t bf tn tdt t 區(qū)間 內，f(t)關于 對稱， 而 n 取偶數(shù)時， 關于 反對稱； 區(qū)間 內，f(t) 關于 對稱， 而 n 取偶數(shù)時， 關于 反對稱； 因

14、此 bn=0, n=2,4,6 1 ( )sin n n f tbn t 0, 2 t 0 2 ( )sin t n bf tn tdt t sinn t , 2 t t 3 4 t sinn t 4 t 3 4 t )(tf 0 f 0 f 0 t2/tt 4 t 當 n 取奇數(shù)時 于是，周期性激勵f(t)可寫為： 系統(tǒng)運動方程 則有 5 , 3 , 1n 0 11,3,5 41 ( )sinsin n nn f f tbn tn t n 0 411 (sinsin3sin5) 35 f ttt ( )mxcxkxf t 0 1,3,5 4 ( )sin() nn n f x tn t k

15、0 2 ( )sin t n bf tn tdt t 4 0 0 8 sin t fn tdt t 0 4f n 其中： 當不計阻尼時： 2222 1 (1)(2) n nn rnr 1 22 2 1 n n r tg n r n r 0 22 1,3,5 41 ( )sin (1) n f x tn t knn r 例：無阻尼彈簧質量系統(tǒng) 在（0，t0）時間間隔內受到突加的矩形脈沖力作用 求： 系統(tǒng)響應 00 0 ,0 ( ) 0, qtt f t tt )(tf 0 q 0 0 t t 解法一： （1）當 時 00 0 ,0 ( ) 0, qtt f t tt )(tf 0 q 0 0 t

16、 t 0 0tt 0 1 ( )( )sin() t n n x tftd m 0 0 sin() t n n q td m 0 2 (1 cos) n n q t m 0 (1 cos) n q t k t n n n n n dtf m t x txtx 0 0 0 )(sin)( 1 )sincos()( （2）當 時， 0 tt 0 1 ( )( )sin() t n n x tftd m 00 0 ,0 ( ) 0, qtt f t tt )(tf 0 q 0 0 t t 0 0 0 0 1 sin()0 sin() tt nn t n qtdtd m 0 0 1 cos()cos

17、nn nn q ttt m 0 cos()cos nnn q ttt k （1）當 時， （2）當 時， 因此，系統(tǒng)響應： 0 0tt 0 tt 00 0 ,0 ( ) 0, qtt f t tt )(tf 0 q 0 0 t t 0 ( )(1 cos) n q x tt k 0 0 ( )cos()cos nn q x tttt k 0 0 0 00 (1 cos), 0 ( ) cos()cos, n nn q ttt k x t q ttttt k 解法二： 當t t0 時激振力已經去除，此時系統(tǒng)將以時刻 t =t0 時的位移和速度為初始條件做自由振動， 稱為殘余振動。 t t0 時的

18、響應可以求解如下 先求得t =t0 時刻的位移和速度： 0 00 ( )(1 cos) n q x tt k 0 00 ( )sin n n q x tt k )(tf 0 q 0 0 t t t t0 時的響應： 于是系統(tǒng)響應為 0 000 ( ) ( )( )cos()sin() nn n x t x tx ttttt 00 0000 (1 cos) cos()sin sin() nnnn qq tttttt kk 0 0 cos()cos nn q ttt k 0 0 0 00 (1 cos), 0 ( ) cos()cos, n nn q ttt k x t q ttttt k 例題：

19、圖示系統(tǒng)，有 試確定系統(tǒng)的固有頻率和主振型 m1m2 k3k1k2 x1x2 f1(t) f2(t) 1212 ,2 ,mm mm kkk 3 2kk 由已知條件得 特征方程為 特征值為 固有頻率為 1112 2kkkk 2223 3kkkk 1221 kkk 2422 2750 nn mmkk 1n k m 2 5 2 n k m 2 2 1,2 323 22 222 n kkkk kk mmmm mm 把 n1 、 n2 分別代入得 系統(tǒng)的振型向量為 2(1) 11112 1 (1) 112 1 n kmu r uk 2 212 2 22 2222 1 0.5 n uk r kmu 1 2

20、 1 1 1 0.5 u u 1 1n k m 1u 0 1 節(jié)點 0.5 0 1 2u 2 5 2 n k m mm k3 k1 k2 f1(t) f2(t) y y( (t t) ) x x( (t t) )1 2 3 在某時刻，質量m移動到一新位 置，用矢量表示為： j yi xr 第n個彈簧的方向矢量為： jil nnn sincos 0 第n個彈簧的變形量為： nnnn yxlrlsincos),( 0 第n個彈簧所受的力為： 微分方程為： 3 1 1 )(cos n nn tffxm 3 1 2 )(sin n nn tffym r ( cossin) nnnnnn fl kkxy

21、 現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。 x11xx 23 0 kkk 112131 、 0 312212111 kkkkkk， 畫出各物塊的受力圖根據(jù)平衡條件，有 首先令 在此條件下系統(tǒng)保持平衡，按定義需加于三物塊的力 畫出受力圖，則有 xxx 123 010， kkkkkkk 1222223323 ， 同理，令 畫出受力圖，有 xxx 123 01， kkkkk 13233333 0 ， 最后令 因此剛度矩陣為 k kkk kkkk kk 122 2133 33 0 0 剛度矩陣一般是對稱的。 實際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個性質。 即 kk ijji kk t 現(xiàn)分析求出圖所示的

22、三自由度系統(tǒng)的柔度影響系數(shù)。 當受到f1作用后，第一個彈簧的變形為 ，第二 和第三個彈簧的變形為零。 1 1 k 1 31 1 21 1 11 1 , 1 , 1 k d k d k d 01 321 fff，首先施加單位力 這時三物塊所產生的靜位移分別是d11, d21, d31 所以三物塊的位移相同，有 f f1 第三個彈簧不受力，故其變形為零。因此有 11 12 kk , 21 32 21 22 1 12 11 , 11 , 1 kk d kk d k d 01 312 fff，令 f f2 第一和第二彈簧均受單位拉力，其變形分別為 f f3 再令1, 0 321 fff 321 33

23、21 23 1 13 111 , 11 , 1 kkk d kk d k d 可得到 321211 21211 111 333231 232221 131211 111111 11111 111 kkkkkk kkkkk kkk ddd ddd ddd d 系統(tǒng)的柔度矩陣為 柔度矩陣一般也是對稱的。 實際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個性質。即 321211 21211 111 333231 232221 131211 111111 11111 111 kkkkkk kkkkk kkk ddd ddd ddd d i jj i dd t dd 系統(tǒng)的柔度矩陣為 例 試求圖示懸臂梁的柔度影響 系數(shù)，并建立其位移方程。(梁 的彎曲剛度為ei，其質量不計) 解：取y1、y2為廣義坐標，根據(jù)柔度影響系數(shù)的定義， d11表示在m1處施加單位力(沿y1方向)并在m1處產生的 位移。 ei l ei l d 243 ) 2 (3 3 11 d22表示在m2處施加單位力(沿y2方向)并在m2處產生的 位移。有 ei l d 3 3 22 按材料力學的撓度公式，則有 1 m 1 y 1 f 2 m 2 y 2 f