初中幾何三角形五心及定理性質(zhì)

1、初中幾何三角形五心定律及性質(zhì)三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱重心定理三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可 用燕尾定理證明，十分簡單。(重心原是一個物理概念，對于等厚度 的質(zhì)量均勻 的三角形薄 片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名 )重心的性質(zhì)：1、 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2: 1。2、重心和三角形任意兩個頂點(diǎn)組成的 3個三角形面積相等。即重心到三條邊 的距離 與三條邊的長成反比。3、重心到三角形3個頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、在

2、平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標(biāo)為(X1+X2+X3 ) /3 ,(Y1+Y2+Y3 )/3 )。5、以重心為起點(diǎn)，以三角形三頂點(diǎn)為終點(diǎn)的三條向量之和等于零向量外心定理第 2頁共 6 頁三用形外接圓的圓心，叫做三角形的外心口夕卜心的性質(zhì):1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形的外心 2、若0是厶ABC的外心，則/ B0C=2 / A （/A為銳角或直角）或/ BOC=360 -2 Z A （/A 為鈍角）。3、當(dāng)三角形為銳角三角形時，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重

3、合。5、外心到三頂點(diǎn)的距離相等垂心定理三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。垂心的性質(zhì)：1、三角形三個頂點(diǎn)，三個垂足，垂心這 7個點(diǎn)可以得到6個四點(diǎn)圓2、三角形外心0、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且0G : GH=1 : 2。（此直 線稱為 三角形的歐拉線（Euler line ）3、 垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離的2倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。推論：1. 若D、E、 F分別是 ABC三邊的高的垂足，則/ 1 = / 2。（圖1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的內(nèi)心。（圖1）3. 若D、E、 F分別是 ABC三邊的高的垂足，則/ 1 = /

4、 2。（圖2）定理證明已知： ABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE相交于點(diǎn)0 ,連接CO并延長交AB于點(diǎn)F，求證：CF丄AB證明:連接DEvZ ADB= / AEB=90 度二A、B、D、E四點(diǎn)共圓?ZADE= Z ABE又 T/ ODC= / OEC=90 度?0 D、C、E 四點(diǎn)共圓？?/ ACF= / ADE 二 / ABE 又？： / ABE+ /BAC=90 度? / ACF+ / BAC=90 度? CF 丄 AB因此，垂心定理成立內(nèi)心定理三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心的性質(zhì)：1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等

5、于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。3、 PABC所在空間中任意一點(diǎn)，點(diǎn)0是厶ABC內(nèi)心的充要條件是：向量P0=（a x 向量 PA+bx 向量 PB+cX 向量 PC）/（a+b+c）.4、 0為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個頂點(diǎn)，延長 A0交BC邊于 N，則有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=（AB+AC）:BC5、（歐拉定理）/ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，0和I分 別為其外心和內(nèi)心，貝 S OIA2=RA2-2Rr .6、（內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系） ABC中，0為內(nèi)心，/ A、/ B、/ C的內(nèi)角平分線分別交 BC、AC、AB于Q、P、R,貝卩 BQ/

6、QC 二 c/b, CP/PA 二 a/c, BR/RA 二 a/b.7、內(nèi)心到三角形三邊距離相等。旁心定理三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。旁心的性質(zhì)：1、 三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的 旁心。旁心一定在三角形外。2、任何三角形都存在三個旁切圓、三個旁心。3、旁心到三角形三邊的距離相等。如圖，點(diǎn)M就是 ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。第7頁共6頁四心合附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內(nèi)心，外心，垂心，巧記詩歌 三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁） 三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心， 重心三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧， 重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉； 心三角形有六元素，三個內(nèi)角有三邊內(nèi)心外心莫記混，內(nèi)切外接是關(guān)鍵 .高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對整， 四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清 .外三線相交定共點(diǎn)，叫做 內(nèi)心”有根源；此圓圓心稱 內(nèi)心”如此定義理當(dāng)然第 7頁共 6 頁此點(diǎn)定義為外心，用它可作外接圓 垂心 三角形上作三高，三高必于垂心交 . 直角 三角形有十二，構(gòu)成六對相似形 ,