泛函分析讀書筆記(下)

1、第一章預(yù)備知識(shí)第一節(jié)極限點(diǎn)和閉集一、極限點(diǎn)1、 定義：極限點(diǎn)：假設(shè)：R度量空間，AR 中的點(diǎn)集，x0R如果：對(duì)于x0 的任何一個(gè)環(huán)境O ( x0，)都有：(O (x0，) x0)A則稱：x0A 的極限點(diǎn)2、 性質(zhì)、性質(zhì)：內(nèi)點(diǎn)是極限點(diǎn)，孤立點(diǎn)不是極限點(diǎn)、證明： x0A 的內(nèi)點(diǎn)x0 的一個(gè)* 環(huán)境 O (x0， *)A對(duì)于 x0 的任何一個(gè)環(huán)境 O ( x0， )如果* ： (O ( x ， ) x )A(O( x ，*) x) A0000O( x0， *) x0如果* ： (O ( x0， ) x0 )AO ( x0， ) x0 、歸納：點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)邊緣點(diǎn)孤立點(diǎn)，極限點(diǎn)內(nèi)點(diǎn) 邊緣點(diǎn)3、 等價(jià)定理、定理

2、：假設(shè)：R度量空間，AR 中的點(diǎn)集， x0R、x0A 的極限點(diǎn)、xnA， xnx0， xnx0、各不相同的xnA， xnx0， xnx0、對(duì)于 x0 的任何一個(gè)環(huán)境O ( x0 ) ，含有 A 的無窮多個(gè)點(diǎn)、證明：x0A 的極限點(diǎn)對(duì)于 x0 的任何一個(gè)環(huán)境 O( x0，) ，都有 (O ( x0， ) x0)A對(duì)于 x0 的任何一個(gè)11)A環(huán)境 O( x0， ) ，都有 (O( x0， ) x01nnxn(O(x0，n ) x0 )A1xn(O(x0，n)，xnx0， xnA在度量空間中， xnx0lim（xn，x0） 0nxnA， xnx0， xnx0、證明：xnA， xnx0， xnx0反

3、證法：假設(shè) xn 含有有限多個(gè)不同的點(diǎn)xn x0x0 的一個(gè)環(huán)境 O ( x0，) ， xnO ( x0，) 【剔除有限個(gè)點(diǎn)】但是xnx0對(duì)于0，N 0，當(dāng) nN 時(shí)，xn(， )Ox0矛盾 xn 含有無窮多個(gè)不同的點(diǎn)各不相同的子點(diǎn)列 xn k 、證明：各不相同的xnA， xnx0， xnx0對(duì)于 x0 的任何一個(gè)環(huán)境O( x0 )x0O (x0 ) 的內(nèi)點(diǎn)x0 的一個(gè)環(huán)境 O ( x0， )O (x0 )xnx0對(duì)于0， N 0 ，當(dāng) n N 時(shí)，xnO(， )x0N ，當(dāng) n N 時(shí)， xnO(x0， ) O( x0 )O( x0 ) 含有無窮多個(gè)xnO( x0 ) 含有 A 的無窮多個(gè)點(diǎn)

4、【xn A 】、證明： 對(duì)于 x0 的任何一個(gè)環(huán)境O( x0 ) ，含有 A 的無窮多個(gè)點(diǎn)x0 的任何一個(gè)環(huán)境 O( x0， ) ，含有 A 的無窮多個(gè)點(diǎn)O( x0， ) x0 ，含有 A 的無窮多個(gè)點(diǎn)(O (x0， ) x0)A二、閉集1、 基本概念、定義：、定義：、定義：AA 的導(dǎo)集A 的所有極限點(diǎn)A A的閉包 A AA 閉集，如果 A A2、 分析、 A內(nèi)點(diǎn)邊緣點(diǎn) (A)孤立點(diǎn)、 A內(nèi)點(diǎn)邊緣點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)邊緣點(diǎn) (A)邊緣點(diǎn) (A)、 A內(nèi)點(diǎn)邊緣點(diǎn)孤立點(diǎn)3、 等價(jià)定理、定理：假設(shè)：R度量空間，AR 中的點(diǎn)集， x0R、 x0A、對(duì)于 x0 的任何一個(gè)環(huán)境O ( x0 ) ，含有 A 的點(diǎn)、xnA

5、， xnx0、證明：x0Ax0AAx0A 或者 x0A如果： x0A對(duì)于 x0 的任何一個(gè)環(huán)境O( x0 ) ，含有 A 的點(diǎn)如果： x0Ax0A的極限點(diǎn)對(duì)于 x0 的任何一個(gè)環(huán)境O ( x0 ) ，含有 A 的無窮多個(gè)點(diǎn)、證明：對(duì)于 x0 的任何一個(gè)環(huán)境O( x0 ) ，含有 A 的點(diǎn)對(duì)于 x0 的任何一個(gè)環(huán)境 O( x0， ) ，含有 A 的點(diǎn)對(duì)于 x0 的任何一個(gè)1環(huán)境 O(x0， ) ，含有 A 的點(diǎn)1nxn，)，A xnO( x0nxnA， xnx0、證明：xnA， xnx0如果： x0Ax0A如果： x0AxnA， xnx0， xnx0的極限點(diǎn)xAx Ax0A004、 核心定理、定

6、理：A閉集xnA， xnx0x0A、證明：必要性：反證法：假設(shè)x0Ax0AxnA， xnx0， xnx0x0A的極限點(diǎn)x0AA閉集AAx0A矛盾充分性：反證法：假設(shè)A閉集A閉集AAxA， xAxAxA 的極限點(diǎn)xnA， xnx， xnxxA矛盾5、 性質(zhì)、性質(zhì)：A， A閉集、證明：A閉集x0( A)x0A 的極限點(diǎn)對(duì)于x0 的任何一個(gè)環(huán)境O( x0，)，都有(O (x0，) x0)Ay(O (x0，) x0)AyO (x0，)，yx0， yAy AyA的極限點(diǎn)對(duì)于 y 的任何一個(gè)環(huán)境 O( y， ) ， (O( y， ) y)A構(gòu)造min( x0， y)，( x0， y)y 的環(huán)境 O( y，

7、 ) 滿足： O ( y，)O (x0，)： x0O ( y， )： (O ( y， ) y)Ax(O( y， ) y)AxO ( y， )， xy， x AxO( x0， )， xx0， xA(O(x0， ) x0)Ax0A 的極限點(diǎn)x0AA( A)A閉集、證明：A閉集：證明同上6、 性質(zhì)、性質(zhì)：A閉集FAF、證明：首先證明：A閉集FAF xAxA 的極限點(diǎn)對(duì)于x 的任何一個(gè)環(huán)境O( x，) ，都有(O( x，) x)A對(duì)于x 的任何一個(gè)環(huán)境O( x，) ，都有(O( x，) x)FxF的極限點(diǎn)xF AF ：F閉集F FAFAAFAAF、推論：A包含 A 的最小閉集、證明：假設(shè)：A*包含 A

8、 的最小閉集A閉集，AAA包含A 的閉集A*A 【最小】A*包含A 的閉集A*閉集，AA*AA *【定理】A*A7、 性質(zhì)、性質(zhì)：A閉集AA、證明：必要性：A閉集AAAAAAAAAAAAAAA充分性：AAAAAAAA閉集8、 基本概念、定義：如果：R賦范線性空間，AR 中的點(diǎn)集則稱：L( A)span( A)由 A 張成的線性子空間A 中向量的所有可能的線性組合、定義：L( A)span( A)由 A 張成的閉線性子空間第二節(jié)Holder 不等式和Minkowski不等式1、 定義：共軛指標(biāo)：如果：p， q1并且：111pq則稱： p， q一對(duì)共軛指標(biāo)2、 引理、公式： ab1 a p1 bq

9、pq其中： p，q一對(duì)共軛指標(biāo)，a，b1、證明： 111pqpq( p1)(q1) 1pq1假設(shè)： yx p 1xy p 1yq 1abax p 1dxbyq 1dy1 a p1 bq00pq3、 Holder 不等式nn1n1、公式：| xk yk | (| xk |p ) p (| yk |q ) qk1k 1k 1其中： p，q一對(duì)共軛指標(biāo)，xk， ykR( k 1，2， ， n) 【實(shí)數(shù)點(diǎn)列】、證明：n| xk |pn| yk |q：如果：0 或者0 xk 0 或者 yk 0結(jié)論成立k 1k1：否則：令 ak| xk |1， bk| yk |1nn| xk |p ) p| yk |q

10、) q(k 1k1akbk| xk yk |，1p1q1 | xk |p1 | yk |q| xk11akqbkpn| xk |pqn| yk |q(|p ) p (n| yk |q ) qpnk 1k 1k1k1| xk yk |1 | xk |p1 | yk |qn1n1pnqn| xk |p ) p (| yk |q ) q| xk |p| yk |q(kkk1k111nn| xk |pn|q| xk yk |1 k1 k| yk11k1111n1n1pn| xk |pqn| yk|qpq| xk |p ) p (| yk |q ) q(kk1k1k11nn1n1| xk yk | (|

11、 xk |p ) p (| yk |q ) qk 1k1k14、 Minkowski不等式n1n1n1yk |p ) p| xk |p ) p| yk |p ) p、公式： (| xk(k1k 1k1其中： p1 ， xk， ykR( k 1，2， ， n)、證明：令qp 的共軛指標(biāo)nyk |pnyk |p 1nyk |p 1nyk |p 1| xk| xkyk | xk| xk | xk| yk | xkk1k1k1k 1nn1n1| xk yk | (| xk |p ) p (| yk |q ) qk1k1k 1nn1n1n1n1yk |p 1| xk |p ) p (yk |q( p 1

12、) ) q| xk |p ) p (yk |p )q| xk | xk(| xk(| xkk1k1k1k1k 1nn1n1n1n1| yk | xkyk |p 1(| yk |p ) p (| xkyk |q( p 1) ) q(| yk |p ) p (| xkyk |p ) qk1k1k1k1k1nn1n1n1n1| xkyk |p(| xk |p ) p (| xkyk |p ) q(| yk |p ) p (| xk yk |p ) qk1k1k1k 1k1nyk |p| xkn1n1k11(| xk |p)p(| yk |p)pnyk |p ) qk1k1(| xkk1n1n1n1(

13、| xkyk |p ) p(| xk |p ) p(| yk |p ) pk1k1k15、 積分形式的Holder 不等式和Minkowski 不等式、 Holder 不等式b11bba| f ( x) g (x) | dx ( | f ( x) |p dx ) p( | g( x) |q dx )qaa、 Minkowski不等式b111g( x) |p dx ) pbb( | f (x)( | f ( x) |p dx) p( | g( x) |p dx) paaa第三節(jié)Lp a， b 和 l p一、定義1、 定義： Lp a， b f ( x) |b| f ( x) |p dxa2、 定

14、義： l p xn | xn |pn 1二、線性空間1、 性質(zhì)： Lp a， b線性空間、思路：定義加法：函數(shù)相加，定義數(shù)乘：函數(shù)數(shù)乘：兩種運(yùn)算保持封閉：滿足8 條規(guī)則、證明：加法封閉：f (x)， g ( x)Lp a， bf ( x) g( x)Lp a， bbg( x) |pb 2max(| f ( x)，| g( x) |) p dx| f (x)dxaa22bb| g( x) |p dxpmax(| f ( x)，|g(x) |) p dx 2p| f ( x) |paab| f ( x) |p dx 2pbpa| g( x) |p dxa2、 性質(zhì)： l p線性空間、思路：定義加法

15、：數(shù)列相加，定義數(shù)乘：數(shù)列數(shù)乘、證明：同上三、賦范線性空間1、 性質(zhì)： Lp a， b賦范線性空間b1dx) p、定義： | f |p (| f ( x) |pa、證明：滿足范數(shù)的3 條性質(zhì)b1b1f |p| |* | f |p：齊次性： |(| f ( x) |p dx)p| (| f ( x) |p dx ) paa：三角不等式：|fg |p|f |p| g |p 【 Minkowski不等式】b1：正定性： | f |pf ( x) |pdx) p0|ab1dx) p| f |p0(| f (x) |p0f ( x)0a2、 性質(zhì)：lp賦范線性空間1、定義： | xn |(| xn |p

16、 ) pn 1、證明：同上四、 Banach 空間1、性質(zhì)：Lp a，b、 l pBanach空間2、證明：詳見夏道行P61五、 Hilbert 空間1、 性質(zhì)： L2 a， bHilbert 線性空間f ( x)， g( x)b、定義：f ( x) g (x)dxa、證明：滿足內(nèi)積的3 條性質(zhì)：共軛對(duì)稱性：，bb，f (x)g ( x)f ( x)g ( x)dxg( x) f ( x)dxg(x) f ( x)aa：第一變?cè)木€性：f ( x)g (x)， z( x)bf (x)g( x) z(x)dxabbg( x)z( x)dxf (x) z( x)dxaaf ( x)， z( x)g

17、 ( x)， z(x)f ( x)， f ( x)bf ( x) f ( x)dxbf (x) |2 dx0：正定性：a|af ( x)， f (x)0b0f ( x) 0| f ( x) |2 dxa2、 性質(zhì)： l 2Hilbert 線性空間、定義：xn， ynxn ynn 1、證明：同上3、 性質(zhì)： Lp a， b、 l p ( p2) 不是 Hilbert 空間第二章Hilbert 空間第一節(jié)極限和連續(xù)性1、 度量空間、定義： xnx0lim ( xn，x0 )0n、性質(zhì)：距離( x， y) 的連續(xù)性： xnx0，yny0lim ( xn，yn )(x0，y0 )n2、 賦范線性空間、

18、定義： xn x0lim | xn x0 |0n、性質(zhì)：范數(shù) | x |的連續(xù)性： xnx0lim | xn |lim | x0 |nn3、 內(nèi)積空間、定義： xn x0lim | xn x0 |0 【利用內(nèi)積定義范數(shù)，再利用范數(shù)定義極限】n、性質(zhì)：內(nèi)積 ( x， y) 的連續(xù)性： xnx0， yny0lim ( xn，yn )( x0，y0 )n第二節(jié)投影定理一、正交和投影1、 基本概念、定義： xy( x， y)0、定義： xM對(duì)于yM ， ( x， y) 0、定義： MN對(duì)于xM ， yN， ( x， y) 0、定義： M所有與 M 正交的向量2、 基本性質(zhì)：xMxM3、 性質(zhì)、性質(zhì)：、

19、證明：、性質(zhì)：、證明：xyyxxy( x， y)0( y， x)0yxxHx0xH ， xH( x， x)0x0、性質(zhì)：MNNM、證明：xNxN對(duì)于yN， (x， y)0M N 對(duì)于 y M ， (x， y) 0 x Mx M、性質(zhì)： MM0、證明：xMMxM ， xM( x， x)0x0、性質(zhì)：勾股定理：x y | xy |2 | x |2| y |2、證明： | xy |2( xy， xy) (x， x)( x， y)( y， x)( y， y)xy( x， y)0， ( y， x) 0| x y |2 ( x， x)( y， y) | x |2| y |24、 正交補(bǔ)定理、定理： M內(nèi)積

20、空間 HMH 的閉線性子空間、證明：M線性子空間兩種運(yùn)算封閉：x， yMxyMzM ， xM( x， z)0yM( y， z)0( xy， z)0xyzxyMxyM：M閉集假設(shè)：xnM ， xnx0xnMxnM對(duì)于yM ， ( xn， y)0根據(jù)內(nèi)積的連續(xù)性lim ( xn，y)n( x0，y)0x0yx0Mx0MM閉集、推論： M內(nèi)積空間 Hspan( M )M、證明：Mspan(M )span( M )M：xM xMM xspan(M ) x【 x線性子空間，線性運(yùn)算封閉】span(M ) x【 x閉集，最小閉集】 xspan(M )xspan( M )Mspan(M )5、 投影、定義：

21、投影：假設(shè)：M內(nèi)積空間 H 的線性子空間如果：對(duì)于xH，存在：x0M ， x1M使得：xx0x1 ，則稱：x0x 在M上的投影、關(guān)鍵： 投影投在線性子空間、性質(zhì)：x0x 在 M上的投影x0M ，xx0M、性質(zhì)：投影不一定存在，如果存在必定唯一、證明：假設(shè)：x0x 在 M上的投影x0M ， xx0Mx0 x 在 M上的投影x0 M ， xx0 MM線性子空間x0x0 MM閉線性子空間( xx0 )( xx0 )Mx0x0 M( x0x0 ， x0x0 )0x0x0 6、 最佳逼近、定理：假設(shè)：M如果： x內(nèi)積空間H ， x0H 的線性子空間x 在 M 上的投影那么： inf |xyMy | |

22、xx0|并且：x0M上使等式成立的唯一向量、思想：利用M 上的變?cè)?y ，來逼近 H 中的 x：如果存在投影，則最佳逼近等于投影、證明： x0 x 在 M上的投影x0 M ， x x0My M ， x0Mx0y Mx x0x0y| xx0x0y |2 | x x0 |2| x0y |2 【勾股定理】| xy |2| xx0|2| x0y |2| xy |2| xx0|2| x y | | xx0| inf | x y | | x x0 |y M唯一性：假設(shè)： y0M 上使等式成立的向量| xy0 | xx0| xy0 |2 | xx0 |2| x0y0 |2 0y0x0二、投影定理1、 變分引

23、理【極值可達(dá)】、定義：x 到 M 的距離dd (x，M )inf | xy |yM、性質(zhì)：完備閉集，線性子空間凸集、定理：假設(shè)：如果：M 內(nèi)積空間 H 的完備凸集xH那么：存在唯一的x0M ，使得 | xx0 |d、關(guān)鍵：x 到 M 的距離：完備凸集則極值可達(dá)、證明：點(diǎn)列dinf | xy |存在點(diǎn)列 xnM ， lim | xxn |dyMn：基本點(diǎn)列平行四邊形公式：| xy |2| xy |22 | x |22 | y |2| xmx |2| xnx |2 2 | xmxxn x |2 2 | xmx xnx |222| xmx |2| xnx |2 2 | xmxnx |2 2 | xmxn |2222 | x