雙曲線與圓圓定位最優(yōu)岸臺分布算法研究與比較

1、 8 雙曲線與圓圓定位最優(yōu)岸臺分布算法研究與比較 郝燕玲，鄧志鑫，趙國清 （哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001 ） 摘要： 對于陸基無線電導航系統，為了得到最優(yōu)的岸臺分布算法，盡可能通過改善岸臺分布提高工作區(qū)的定位精度，通 過理論分析與仿真詳細研究與比較了雙曲線定位和圓圓定位兩種定位方式下，工作區(qū)某點GDOP值與岸臺布局之間的關 系，同時研究并對比了同一岸臺布局下兩種定位方式的定位精度分布，仿真結果表明雙曲線定位方式要優(yōu)于圓圓定位方 式，并得到兩者最佳的岸臺分布方案。 關鍵詞： 水路運輸；雙曲線定位 ; 圓圓定位 ; 岸臺分布算法 ; 精度幾何因子 Comparison

2、and Research of Optimal Station Distribution Algorithm on Hyperbolic and Range-Range Positioning Mode HAO Yan-ling, DENG Zhi-xin, ZHAO Guo-qing (School of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001 China) Abstract: To find the optimal station distribution algorithm and improve the posi

3、tioning accuracy of working area for wireless navigation system, the relationship between the GDOP value and the station distribution on hyperbolic positioning mode and range-range positioning mode was analyzed. Simultaneously, under fixed station distribution, the positioning accuracy distribution

4、on two different positioning modes was calculated and compared. Simulation results show that the hyperbolic positioning mode is better than range-range positioning mode, and the optimal station distribution of the two modes is got. Keywords： hyperbolic positioning ； range-range positioning； station

5、distribution algorithm ； GDOP value 2） 引言 陸基無線電導航系統主要采用雙曲線定位與 圓圓定位兩種定位方式，這兩種定位方式的定位 誤差主要取決于兩個因素：其一是雙曲線定位的 測距差誤差和圓圓定位的偽距測量誤差；其二是 這兩種定位系統的岸臺分布所引起的幾何精度衰 減因子（ Geometrical Dilution of Precision ）簡稱 GDOP 。其二者之間的關系為： R d GDOP（ 1） （1）式中 R為定位誤差， d 為距離（距 離差）測量誤差， GDOP 是一個無量綱的純幾何 量。其中 d 取決于岸臺時鐘 （時鐘差） 偏差以及 各種隨機

6、誤差，這些量因具體的系統而不同。而 GDOP 則取決于岸臺分布和接收點與岸臺之間 的位置關系，因此分別研究并比較這兩種定位方 式下岸臺分布與 GDOP 值分布之間的關系， 并 利用這種關系找到較優(yōu)的定位方式和最佳的岸臺 分布算法是陸基無線電導航系統需要迫切解決的 問題。 文獻 2中詳細 推導了 圓圓定位 系統中 的 GDOP 值與岸臺數量之間的關系，指出增加岸臺 數會降低系統工作區(qū)內的 GDOP 值。但增加岸臺 數量會極大增加系統的建設成本，也會增加用戶 接收機的成本，不適合實際運用，因此本文只討 論最少岸臺數量前提下的最優(yōu)岸臺分布。 1、兩種定位方式 GDOP值的計算 首先考慮雙曲線定位方式

7、的 GDOP 值計算。 雙曲線的幾何放大因子定義為： 1 2sin 2 其中 n 為由測距差誤差引起的雙曲線位置 線徑向誤差， M 為測距差誤差， 為工作點到 兩岸臺的張角 , 其證明過程見文獻 1 。下面首先 求取雙曲線定位徑向定位誤差的均方根值，圖 1 郝燕玲（ 1944- ），女，博士生導師，漢族，山東萊州人。研究方向：組合導航技術、無線電導航技術。 1 鄧志鑫（ 1982- ），男，博士生，漢族，哈爾濱人， Email ： ，通訊地址：哈爾濱工程大 學自動化學院 407 實驗室無線電組，聯系電話：研究方向：無線電導航。 趙國清（ 1982- ），男，博士生，湖

8、南岳陽人。研究方向：無線電導航。 為求取徑向誤差 d 的平行四邊形： L1 L1 y/sin P x d x/ L2 L2 y P dr12Gh21 22Gh22 si2nK 1 2Gh1Gh2cos sin 2K 1 2 cos 12 sin sin 22 2sin 圖 1 確定徑向誤差 d 的平行四邊形 Fig.1 The parallelogram of radial error d 設導航接收機所在的真實位置為P ，通過真 實點 P 的兩條位置線分別記為 L1和 L 2 ，它們在 P 點的夾角為 ；實測得到的位置線是 L1 和 L 2 ，它們的交點為 P點，即定位指示點； PP 的 長

9、度就是徑向誤差 d 。 由 式 ( 2 ) 易 知 ： x M1Gh1 ， y M 2Gh2 ，利用平面三角的余弦定理可得： 6) 這里 1和 2 分別是 P點對兩條基線的張角， 對于雙曲線系統， L1和 L 2可分別看作是 1與 2 的角分線，于是，兩條雙曲線在 P 點的夾角 是 P 點對兩個基線張角 1 與 2 之和的一半，即 ( 1 2)/2。當 1等于或近似等于2 時， 由( 6)式抽象出一個純幾何量，即雙曲線定位的 GDOP 值： GDOhP sin2 1 2 12 1 2Kcos(1 2) 2 2 2 1 2 sin2 2 sin 1 sin 2 2 2 2 2sin(1 2 2)

10、 7) 由于 3 個岸臺的時鐘偏差互不相關，故 d22 (x2 y2 2 xy cos ) (3) sin2 d2 為隨機變量，其數學期望為： E(d2) sin12 E(x2) E(y2) 2cos E(xy)(4) 由 x和 y的均值為零， 故 E(x2)和E(y2)就 22 是 x和 y的方差 x2和 y2 ，而E(xy)就是 x與 y 的相關矩， 并可表示為 E(xy) K x y，其中 K 是 x 與 y 的相關系數，即測量誤差M1和 M 2 的相關系數。 所以由式( 4)知，徑向定位誤差的均方根值 為： 2x2y22K x y cos drE(d 2)xy x y(5) sin 由

11、于 x2 Gh21 12， y2 Gh22 22，式中 12 和 22 是測距差誤差的方差，則： K 0 。 下面考慮圓圓定位的 GDOP 值計算。文獻 1 已經對圓圓定位與雙曲線定位進行了比較，但文 獻1在計算圓圓定位的 GDOP 值時，是采用兩位 置線相交定位的方案計算的，但是圓圓定位與雙 曲線定位不同，雙曲線定位中決定位置線位置的 測距差不包含接收機時鐘偏差的影響，因為該時 鐘偏差已在相減的過程中抵消掉。而圓圓定位的 距離測量值包含有接收機時鐘偏差tu 的影響， 稱為偽距，因此必須引入第 3 個岸臺才能精確定 位，圓圓定位的原理示意圖如下： 圖 2 圓圓定位原理示意圖 Fig.2 The

12、 sketch map of Range-range positioning principle 其定位的基本方程為： R1R1C tu(x1x)2 (y1y)2C tu R2R2C tu(x2x) (y2y)C tu (8) R3R3C tu(x3x)2 (y3y)2C tu 式中， Ri為接收機到岸臺的真實距離， Ri 為 偽距， C 為光速， (x,y) 為工作點位置坐標， (xi, yi) 為岸臺位置坐標。式中接收機時鐘偏差 tu 作為單獨的一個變量出現在定位解算方程 中，此時圓圓定位的位置線有 3 條，因此不能簡 單地通過兩位置線相交來計算 GDOP 值。 對( 8)式在接收點處進行

13、泰勒展開， 然后對 等式兩端取協方差，即可得到 3 岸臺圓圓定位的 GDOP 值為： GDOPr x2y2(C tu)2 R12R22R32 9) 1trace( AT A) 1 式中 x2、 y2與 2(C tu) 分別為接收點 處的 x方向、y 方向定位誤差的方差和 C tu誤差 的方差， R12、 R22 和 R32 分別為接收機到 3 個 臺站的偽距誤差的方差。其中： e11 e12 1 A e21 e22 1 e31 e32 1 (10) ei 2 ei1、 ei 2代表從用戶接收機到岸臺的方向余 ei1 xi x (xi x)2 (yi y)2 yi y (xi x) 2 (yiy

14、)2 trace ( ) 代表矩 陣的求跡運算。 面給出了雙曲線定位與圓圓定位 GDOP 值 的計算公式，通過上面的分析可以看到， 3 個岸 臺的雙曲線定位與圓圓定位系統 GDOP 值的計算 方法不同，而且不能簡單地通過二者 GDOP 值的 解析表達式來判斷二者的大小及其與岸臺布局之 間的關系，因此本文將通過詳細的仿真來探求岸 臺布局及其與接收點的位置關系對 GDOP 值的影 響，進而得到最優(yōu)岸臺分布算法。 2、不同岸臺分布的 GDOP值仿真計算 為了便于描述岸臺與工作點之間的位置關 系，現將兩種定位方式下的系統仿真模型規(guī)定如 下，如圖 3所示， A1、A2和 A3分別代表 3個岸 臺的位置坐

15、標， B 代表接收點位置坐標，其與臺 站 A2 的距離為 D ， R12 和 R23 分別代表岸臺 A1 、 A2 和 A2 、 A3 之間的基線長度。 a 、 b 分別 為 A2 、 B 連線與兩基線之間的夾角。 圖 3 系統仿真模型 Fig.3 The simulation model of the system 兩種定位方式采用相同的位置關系模型，這 樣有利于相互的對比與分析，下面將給出各種情 況下不同的岸臺分布的 GDOP 值仿真結果。 (1) 設 R12=R23=400km ， D 為固 定 值， a b，則 GDOP 值隨 a、b 的變化曲線圖 4 所 示。 hyGDOP rrGD

16、OP 100 80 P 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 角 度 (deg) 圖 4 仿真圖： R12=R23=400km ， D=600km ， a b Fig.4 The simulation figure when R12=R23=400km ， D=600km ， a b 圖中“ hyGDOP ”表示雙曲線定位方式的 GDOP 值，“rrGDOP ”表示圓圓定位方式的 GDOP 值。從該圖可以看到兩種定位方式的 GDOP 值變 化規(guī)律相似，但雙曲線定位的 GDOP 值始終小于 圓圓定位的 GDOP 值，當 a、b接近 180 或小

17、于 10 時 GDOP 值將急劇增大， 10 120 之間時 GDOP 值較小。 （2）設 R12=R23=600km ，D 固定，a b 120 ， 則 GDOP 值與角度 a 之間的變化關系如圖 5 所示： 圖 5 仿真圖：R12=R23=600km ，D=700km ，a b 120 Fig.5 The simulation figure when R12=R23=600km ， D=700km ， a b 120 同樣，兩種定位方式的 GDOP 值變化規(guī)律相 似，但雙曲線定位的 GDOP 值始終小于圓圓定位 的 GDOP 值。 A2 、 B 連線與兩基線之間的夾角 越接近 GDOP 值

18、越小，反之越大， 但只要 A2、B 連線與其中一條基線的夾角不小于 10 ， GDOP 值就在可接受的范圍內。 （3）設 R12=R23， D=400km ， a b 60 ，則 兩種定位方式下 GDOP 值與基線長度之間的關系 如圖 6 所示： hyGDOP rrGDOP PODG 00 64 100 200 300 400 500 600 700 800 基線長度(km) 圖 6 仿真圖： R12=R23 ，D=400km ， a b 60 Fig.6 The simulation figure when R12=R23 ， D=400km ， a b 60 由圖 6 可知，雙曲線定位的

19、GDOP 小于圓圓 定位的 GDOP ，且兩種定位方式下的 GDOP 值隨 基線長度的增加而減小。 （4） 設 R12+R23=800km ，D=400km ，a b 60 ， 即兩基線長度之和為定值時， GDOP 值與其中一 條基線長度的變化關系如圖 7 所示，由圖可知， 兩基線長度越接近兩種定位方式下的 GDOP 值越 小，當兩基線長度之比大于 7 時 GDOP 值將迅速 增大。 100 hyGDOP rrGDOP 80 60 P DO G 40 20 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 基線長度R12（km） 圖 7 仿真圖： R12+R23=800k

20、m ，D=400km ，a b 60 Fig.7 The simulation figure when R12+R23=800km ， D=400km ， a b 60 （5）以上已經從不同的側面反映了 3 岸臺情況下 工作區(qū)內某點 GDOP 值與岸臺分布之間的關系， 下面將討論岸臺分布固定時，其周圍一定區(qū)域內 的 GDOP 值分布情況。 圖 8 岸臺分布固定時其周圍 900km 以內的 GDOP 分布 Fig.8 The GDOP distribution in 900km when the station distribution is fixed 圖 8 描 述 了 兩 種 定 位 方

21、式 下 R12=R23=400km ， a b 60 時，以中間臺站為 原點，延 x、 y 軸的正負方向上分別擴展 900km 的正方形范圍內的 GDOP 值分布情況，反映了 GDOP 值小于 30 時的部分三維曲面， 圖 9 是圖 8 的俯視圖，反映了 GDOP 值小于 30 的平面區(qū)域。 圖 9 岸臺分布固定時 GDOP 值小于 30 的定位區(qū)域 Fig.9 The positioning area whose GDOP value is less than 30 when the station distribution is fixed 由圖 8 可以看到，圓圓定位的 GDOP 值曲面

22、 始終在雙曲線定位的 GDOP 值曲面的上方，這表 明在所有區(qū)域內，圓圓定位 GDOP 值均大于雙曲 線定位的 GDOP 值。由圖 9可知，當 GDOP 值小 于 30 時，雙曲線定位的工作區(qū)域大于圓圓定位的 工作區(qū)域，圖 9 中標記出了 3 個岸臺的位置及兩 種定位方式下的基線。分析圖 8 與圖 9 可知，在 雙曲線定位方式下，兩條基線延長線B1、 B3 的 周圍 GDOP 值將顯著增大， 而在圓圓定位方式下， 三條基延線 B1、 B2 和 B3 周圍的 GDOP 值將很 大，由此可以得出，兩種定位方式下在基延線周 圍定位精度將很低。 3、結論 根據上面各個層面上的仿真結果，可以得到 如下結

23、論： （ 1） 雙曲線定位與圓圓定位兩種方式其岸臺 分布與 GDOP 值分布之間的關系相似，但雙曲線 定位由于不存在接收機時鐘偏差的誤差，其定位 精度要優(yōu)于圓圓定位方式。 （ 2） 岸臺布局時不要使兩基線夾角過小或過 大，應在 40 240 之間選擇。 （ 3） 應使工作區(qū)域內的所有點與中間臺站之 連線和某一基線的夾角不要過小 （應大于 20 ），并 盡量使之與兩基線夾角接近。 （ 4） 應盡量增加基線長度，并盡量使兩基線 長度接近，以提高工作區(qū)域內的定位精度。 （ 5） 在岸臺分布難以調整的情況下，也要保 證工作區(qū)域不要分布在任何一條基線延長線的周 圍，那里的定位精度將很低。 參考文獻 1

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