數(shù)列的上極限和下極限

1、數(shù)列的上極限和下極限 在數(shù)學(xué)分析課程中， 數(shù)列的斂散性判別非常重要， 而證明數(shù) 列收斂的方法也有很多方法1,比如 -N定義、柯西收斂準(zhǔn)則、 兩個(gè)重要準(zhǔn)則、 歸結(jié)原理和子列原理等。 但是有時(shí)也可以用上極 限和下極限來判斷。本文主要介紹數(shù)列上極限和下極限的定義， 性質(zhì)以及其應(yīng)用。 數(shù)列聚點(diǎn)的定義2:如果在aR的任何鄰域內(nèi)都有數(shù)列x 的無限項(xiàng)，稱 a 為數(shù)列 x 的一個(gè)聚點(diǎn)。 例 1:數(shù)列（-1 ）的聚點(diǎn)是 1； 例 2:數(shù)列 sin 的聚點(diǎn)是 1，和 0； 例 3:數(shù)列有聚點(diǎn) 0； 例4:數(shù)列，的聚點(diǎn)是整個(gè)閉區(qū)間0 , 1； 例5:數(shù)列1, 1, 2, 3,，n，的聚點(diǎn)是0。 注: （ 1 ）收斂

2、數(shù)列的聚點(diǎn)必唯一，為數(shù)列的極限（證明見 定理 2）,如例 3。反之不真,如例 5。一般情況下,數(shù)列的聚 點(diǎn)是不唯一的,如例 1、例 2、例 4。（2）數(shù)列的聚點(diǎn)和數(shù)集的 聚點(diǎn)是有區(qū)別的。數(shù)sin|n N的聚點(diǎn)是空集；數(shù)集 （-1 ） |n N的聚點(diǎn)為土 1。 容易證明: 聚點(diǎn)的等價(jià)定義：若數(shù)列x的子列x有極限a,則稱a 為數(shù)列 x 的一個(gè)聚點(diǎn) 聚點(diǎn)的存在性定理 2 ：有界數(shù)列 x 至少有一個(gè)聚點(diǎn)，且存 在最大聚點(diǎn)和最小聚點(diǎn)。 下面是數(shù)列上、下極限的定義： 上極限和下極限的定義 2 ：有界數(shù)列 x 的最大聚點(diǎn) a 與最 小聚點(diǎn) a 稱為數(shù)列 x 的上極限和下極限，記作 a=xa=x. 上極限和下

3、極限的等價(jià)定義 12 ： 若 x 為有界數(shù)列，則？ 坌 0,( 1)若存在N N，使得nN時(shí)，有 xa- , k=1, 2, 3，則稱a為數(shù)列x的上極限。 若x為有界數(shù)列，貝U?坌 0，( 1)若存在N N，使得 當(dāng)nN時(shí)，有xa- ; (2)存在子列x, x 上極限和下極限 的等價(jià)定義 22 ，4 ：若 x 為有界數(shù)列，則 x=x ，x=x. 定理12:對(duì)任何有界數(shù)列x，有xwx, x=- (-x ). 注：容易證明xwxwxwx,其中x為有界數(shù)列x的一個(gè)子 列。 定理22:若x為有界數(shù)列，則數(shù)列x=a的充要條件是 x=x=a. 證明：(必要性)？坌 0,?堝NG N，當(dāng)nN時(shí)， |x-a|0，存在N N，當(dāng)nN時(shí)，x只有數(shù)列的有限項(xiàng)，這 與b是數(shù)列x的聚點(diǎn)矛盾。從而數(shù)列x只有唯一的聚點(diǎn)，(充分 性)由等價(jià)定義1,由a是數(shù)列x的上極限，？坌 0, ?堝NG N, 當(dāng)nN時(shí)， 時(shí)，|x-a|N 時(shí)，a b,貝U a b, a0,存在N N , 當(dāng)nN時(shí)，aa- e ;對(duì)于上述 e，存在子列b，對(duì)于k N , bK 時(shí), a-e 定理 42, 3 ：上、下極限的四貝運(yùn)算。 a+bw( a+b)w a+b, a+bw( a+b)w a+b.