可逆矩陣（基礎(chǔ)課堂）

1、 , . . , . , . 2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 11 111212111 21212222222 1122 nn nn nnnnnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 回憶回憶 1112111 2122222 12 n n nnnnnn aaaxb aaaxb aaaxb 11121 21222 12 A, n n nnnn aaa aaa aaa 1 2 X, n x x x 1 2 B. n b b b AXB. 1 AXBA B 若是，則有唯一解X

2、問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 的線性方程組是否可以象一元一次代 axb n nAXB 一樣求解?數(shù)方程 即: 1, AA對(duì)方陣 是否存在矩陣使 1 A AI 可逆矩陣可逆矩陣 .定義：定義： ABBAE AP設(shè) 是數(shù)域 上n階矩陣,若存在n階矩陣B,使 可逆矩陣也叫做非奇異矩陣非奇異矩陣或非退化矩陣非退化矩陣 注：可逆矩陣一定是方陣，并且它的逆矩陣是與它同階 的方陣。 可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的。 那么稱(chēng)A -1 為可逆矩陣,而B(niǎo)叫做A逆矩陣,記為A 一一.可逆矩陣的定義：可逆矩陣的定義： 1010 A, B, 1111 101010 AB, 111101 I 例如例如 101010 BA. 1

3、11101 I 矩陣A,B互為可逆矩陣 現(xiàn)在的問(wèn)題是：在什么條件下矩陣現(xiàn)在的問(wèn)題是：在什么條件下矩陣 A 是可逆是可逆 的？的？ 如果如果 A 可逆，怎樣求可逆，怎樣求 A-1 ？ 為此先引入伴隨為此先引入伴隨 矩陣的概念矩陣的概念. | 0 ,AAA方陣 可逆的充要條件是且可逆矩陣 的逆矩陣為 1* 1 AA A 定理定理 * A 11 AAA AE 證明: 若A可逆,有 兩邊取行列式,得 11 | |1AAA AE 從而| | 0A : 求逆矩陣方法一：伴隨矩陣法求逆矩陣方法一：伴隨矩陣法 注:1)此定理適用于低階(2或3階)矩陣的求逆. 2)此定理在理論推導(dǎo)中非常有用. 3)階數(shù)較高的矩

4、陣求逆,我們要尋求新的方法. : | 0,A 又 * | AA AAI AA 所以,A可逆,且 1* 1 | AA A * AA*|A | .A AI nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 nnnn n n AAA AAA AAA A 21 22212 12111 * 123 12 (1);(2)456 34 333 AB (1)20.AA 故 可逆， 21 42 1 31 312 22 1* 1 AA A (2)0.BB故 不可逆 例1:判斷下列矩陣是否可逆,若可逆,求其逆矩陣 解: 1 11 21 3 111213 122221 A( 1)3,A( 1

5、)4,A( 1)5, 331313 3 13 23 3 313233 231312 A( 1)1 ,A( 1)4,A( 1)3. 122221 2 12 22 3 212223 231312 A( 1)3,A( 1)0,A( 1)1, 331313 例例2 求矩陣A的逆矩陣，其中 123 A212 . 133 123 | A |21240, 133 解解 A.可逆 112131 122232 132333 AAA331 A*AAA404 . AAA513 1 331 331 444 11 AA*404101 . |A|4 513513 444 逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的性質(zhì) 定理定理2.4.2若矩陣

6、可逆，則若矩陣可逆，則A的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的. 證明若證明若B、C都是都是A的逆矩陣，則的逆矩陣，則 ,.AB BA IAC CA I 于是于是 () ().B BIB ACBAC IC C 性質(zhì)性質(zhì)2若若A可逆，則可逆，則 可逆，且可逆，且 1 A 11 ().AA 事實(shí)上，這由等式事實(shí)上，這由等式 ，可以直接推出，可以直接推出. 11 AAA AI 矩陣求逆運(yùn)算規(guī)律矩陣求逆運(yùn)算規(guī)律 性質(zhì)性質(zhì)1若若A可逆，則可逆，則 可逆，且可逆，且 1 A 11 ().AA 性質(zhì)性質(zhì)2兩個(gè)兩個(gè)n階可逆矩陣階可逆矩陣A、B的乘積的乘積AB可逆且可逆且 111 ().ABBA 證明由于證明由于 故

7、故ABAB可逆，且可逆，且 111111 ()()()(),AB B AA BBAAI AAAI 111111 ()()()(),B AABBA A B BIBB B I 111 ().A BBA 一般地， 11111 12121 () sss A AAA AA A 性質(zhì)性質(zhì)3 3可逆矩陣可逆矩陣A A的轉(zhuǎn)置矩陣可逆，且的轉(zhuǎn)置矩陣可逆，且 11 ()()AA 證證 11 A (A )(AA ),II 11 (A ) A(A A),II 11 (A )(A ) . ;A k kA 11 1 )( 性質(zhì)性質(zhì)4 性質(zhì)性質(zhì)5; |A| |A 1 1 由初等矩陣的定義可以看出，初等矩陣由初等矩陣的定義可

8、以看出，初等矩陣 都是可逆的，且：都是可逆的，且： )()( k EkE ii 1 1 jiji EE , 1 , )()( , kEkE jiji 1 可逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系可逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系 定理定理2.4.5 n階方陣階方陣A是可逆矩陣的充要條件是是可逆矩陣的充要條件是A可可 寫(xiě)成初等矩陣的乘積寫(xiě)成初等矩陣的乘積 定理定理2.4.4 n階方陣階方陣A是可逆矩陣的充要條件是是可逆矩陣的充要條件是A可以可以 經(jīng)過(guò)初等變換化為單位矩陣經(jīng)過(guò)初等變換化為單位矩陣 ，有，有時(shí)，由時(shí)，由當(dāng)當(dāng) l PPPAA 21 0 , 1 1 1 1 1 IAPPP ll , 11 1 1 1 1 AIPP

9、P ll 及及 IPPPAPPP llll 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 AI IAPPP ll 1 1 1 1 1 . )(2 1 AIIA IAnn 就就變變成成時(shí)時(shí)，原原來(lái)來(lái)的的變變成成當(dāng)當(dāng)把把 施施行行初初等等行行變變換換，矩矩陣陣即即對(duì)對(duì) 求逆矩陣方法二：初等變換法求逆矩陣方法二：初等變換法 100011 010012 001111 IA解解 123300 012210 011101 2 23 21 )1( 2 r rr rr 101120 012210 001111 13 12 2 rr rr 011 012 111 A設(shè)設(shè)例例 1 A求求 3 1 3 2 1 3 2

10、3 1 0 3 1 3 1 0 1 A 所以所以 A 可逆，且可逆，且 3 1 3 2 1100 3 2 3 1 0010 3 1 3 1 0001 3 32 31 ) 3 1 ( 3 2 3 1 r rr rr 011 411 210 A設(shè)例例 試判斷試判斷A是否可逆，若可逆求是否可逆，若可逆求 1 A 010420 001210 010411 100011 010411 001210 21 23 rr rr IA解解 112000 001210 011201 23 21 2rr rr 從而知，從而知，A不可逆。不可逆。 IA（1）判斷矩陣）判斷矩陣A是否可逆，可直接對(duì)是否可逆，可直接對(duì) 作

11、初等作初等行行變換，若變換過(guò)程中，與變換，若變換過(guò)程中，與A等價(jià)的矩陣中有等價(jià)的矩陣中有 一行為一行為0，就能判斷，就能判斷A不與不與I 等價(jià)，從而知等價(jià)，從而知A不可逆。不可逆。 注意注意： （2）若作）若作nn2 階分塊矩陣階分塊矩陣 I A 只對(duì)分塊矩陣只對(duì)分塊矩陣 I A 單位矩陣時(shí)，單位矩陣時(shí)， 作初等作初等列列變換，當(dāng)可逆矩陣變換，當(dāng)可逆矩陣A化為化為 子塊子塊 I 就化成了就化成了 1 A 解解 . 1B AXA 可逆，則可逆，則若若 34343 13122 52321 )(BA 122620 91520 52321 12 2rr 13 3rr 例如例如 . 34 13 52 ,

12、 343 122 321 BA ，其中使求矩陣BAXX, 求利用逆矩陣求解線性方程組求利用逆矩陣求解線性方程組( (解矩陣方程解矩陣方程) ) | 31100 91520 41201 31100 64020 23001 21 rr 23 rr 31 2rr 32 5rr ， 31100 32010 23001 ）（2 2 r ）（1 3 r . 31 32 23 X 如果矩陣A和C分別是m階和n階可逆矩陣， 矩陣B是mn 階矩陣，則 1）矩陣方程 AX=B的解為 2）矩陣方程 XA=B的解為 3）矩陣方程 AXC=B的解為 11. XA BC 1 ;XA B 1; XBA 一般地一般地 四、逆

13、矩陣的性質(zhì)四、逆矩陣的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1若若A可逆，則可逆，則 可逆，且可逆，且 1 A 11 ().AA 性質(zhì)性質(zhì)2兩個(gè)兩個(gè)n階可逆矩陣階可逆矩陣A、B的乘積的乘積AB可逆且可逆且 111 ().ABBA 性質(zhì)性質(zhì)3 3可逆矩陣可逆矩陣A A的轉(zhuǎn)置矩陣可逆，且的轉(zhuǎn)置矩陣可逆，且 11 ()()AA ;A k kA 11 1 )( 性質(zhì)性質(zhì)4 性質(zhì)性質(zhì)5; |A| |A 1 1 1、利用可逆的充要條件，設(shè)法證明、利用可逆的充要條件，設(shè)法證明|0A 2、利用矩陣可逆的定義，若能驗(yàn)證AB=BA I 則A可逆， 且 1 A B 3、利用可逆矩陣的性質(zhì)證明. 證明矩陣A可逆的方法 例若方陣A滿足A3=0

14、，證明： 可逆，且I-A 12 ()I-A I A+A 2 ()()I-A I A+A 證： 223 I+A+A A A A =I 12 ()I-A I A+A 例例6 若A是非奇異矩陣，且AB=AC,則B=C. 證證因?yàn)锳為非奇異矩陣，所以A可逆. 11 A (AB)A (AC). BC. 設(shè)設(shè) A 為為 n 階矩陣階矩陣( n 2 ) ,證明證明 |A*| = |A|n-1. 由于由于 AA* = A*A = |A|I , 所以所以 |A| |A*| = |A|n (4) 下面分三種情形討論下面分三種情形討論: (1) |A| 0, 即即 A 可逆可逆, (4) 式兩端除以式兩端除以 |A

15、| 即即 得得 |A*| = |A|n-1. (2) |A| = 0, 且且 A = O, 則則 A* = O, 結(jié)論顯然成結(jié)論顯然成 立立. (3) |A| = 0, 但但 A O, 反設(shè)反設(shè) |A*| 0, 則則 A* 可逆可逆, 因而因而 A = (AA*)(A*)-1 =(|A|I)(A*)-1 = |A|(A*)-1 = O, 故故 A = O, 與與 A O 矛盾矛盾, 所以所以, |A*|=0=|A|n-1. 設(shè)設(shè) n 階階矩陣矩陣 A, B, A + B 均可逆均可逆, 證明證明 (A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A. 將將 A-1

16、 + B-1 表示成已知的可逆矩陣的乘積表示成已知的可逆矩陣的乘積: A-1 + B-1 = A-1(I + AB-1) = A-1(BB-1 + AB-1) = A-1(B + A)B-1 . 由可逆矩陣的性質(zhì)可知由可逆矩陣的性質(zhì)可知 (A-1 + B-1)-1 = A-1(A + B)B-1-1 = B(B + A)-1A. 同理可證另一個(gè)等式也成立同理可證另一個(gè)等式也成立. 利用矩陣的逆，可以給出克拉默法則的另一種利用矩陣的逆，可以給出克拉默法則的另一種 推導(dǎo)法推導(dǎo)法.線性方程組線性方程組 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 , , 可以寫(xiě)成可以寫(xiě)成 AX = B . (6) 如果如果 | A | 0，那么，那么 A 可逆可逆. 用用 X = A-1B 代入代入 (6)，得恒等式，得恒等式 A( A-1B ) = B，這就是說(shuō)，這就是說(shuō) A-1B 是一解是一解. 如果如果X = C 是是 (6) 的一個(gè)解，那么由的一個(gè)解，那么由AC = B得得 A-1( AC ) = A-1B ， 即即 C = A-1B . 這就是說(shuō)，解這就是說(shuō)，解 X = A-1B 是唯一的是唯一的. 用用 A-1 的公式的公式 (4)