用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱幾何問題

1、用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱研究幾何問題學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)要解決的問題：分三個(gè)層次直接的旋轉(zhuǎn)作圖或者旋轉(zhuǎn)關(guān)系的敘述；增加干擾線段，隱含部分已知，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)關(guān)系，并證 明某些結(jié)論需要添加輔助線，完薦圖形創(chuàng)造情境，進(jìn)行證明。要重視的問題：共頂點(diǎn)的等腰三角形的出現(xiàn)是實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的情境；(輔助 線添加方向)一、平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱在幾何題中的應(yīng)用1. 已知：AABC與ZADE都是等腰直角三角形求證：BD丄EC.C2如圖已知 ABC竺厶ADE, ZB= 45 , Z0=2O ,Z45=306，則Zg若；W交于點(diǎn)E則ZEFC= D3. 如圖，磁 中，ZA46i=120o ,以 龐為邊向形外作等邊BCD把磁繞著點(diǎn) 按順時(shí)針方向旋

2、轉(zhuǎn)60。后到妙的位置若Q3, AO2.求Z她的度數(shù)和血的長(zhǎng).4. 已知：如圖，A. B. C在同一宜線上，且MBE與MCD都是等邊三角形，求證：AD = CE.拓展 如圖1,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM, ZkCBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點(diǎn)E, BM. CN交于點(diǎn)F(1) 求證：AN=BM；(2) 求證：ACEF為等邊三角形；(3) 將ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90,其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第(1)、(2) 兩小題的結(jié)論是否仍然成立(不要求證明)5. 如圖，已知正方形磁P和邊上一點(diǎn)Z將直角三角形 磁繞點(diǎn)萬逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,再沿比方向平移，平移距離是線段的長(zhǎng)度，

3、請(qǐng)畫出圖形并回答：旋轉(zhuǎn)后三角形的斜邊與M有什么關(guān)系為什么二、常見的利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱變換作的輔助線幾何問題中的輔助線是對(duì)同學(xué)們幾何思維能力的考驗(yàn)，通過分析找到輔助線的添加方法，能夠使幾何問題簡(jiǎn)化， 有助于問題的解決.同時(shí)，通過研究平面幾何的輔助線的添加方法，能夠鍛煉同學(xué)們分類研究問題的能力平面幾何的 輔助線有一定的規(guī)律，而這些規(guī)律大多與幾何圖形的三種變換有關(guān)，下面我們就來研究常見輔助線與幾何圖形變換的 關(guān)系.1.（三角形的倍長(zhǎng)中線）已知：在ZkABC中，AB=AC, CD是中線，延長(zhǎng)AB到E,使BE=AB,連結(jié)CE求證：CD=-CE.2拓展1如圖1,已知ZkABC中，AD是ZiABC的中線

4、，AB=8, AC=6,求AD的取值范圍.提示：延長(zhǎng)AD至A,使A D=AD,連結(jié)BA.根據(jù)“SAS”易證AA BDAACD,得AC=A B.這樣將AC轉(zhuǎn) 移到AA，BA中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理可解.拓展2如圖2,已知ZkABC中，AB=AC, D在AB, E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 BD=CE, DE與BC交于點(diǎn)F求證：DF=EF.提示：此題輔助線作法較多，如： 作DG/7AE交BC于G； 作EHBA交BC的延長(zhǎng)線于H；再通過證三角形全等得DF=EF.2. （三角形的翻折角平分線）已知：在AABC中，ZB = 2ZC, 是ABAC的平分線.求證：AB+BD = AC.拓展1如圖，已知：在A4

5、BC中，ABAC9 AD是ZB AC的平分線，P是AD上任意一點(diǎn).求證: AB-ACPB-PC.A2拓展2已知：AABC中，ZA=90, AD是BC邊上的高，BE是角平分線，且交AD于P求證：AE=AP.3.（梯形的線段倍長(zhǎng)）已知：梯形ABCD中，AD證：CD=CF.直 角 梯 形 ABCD 中拓 展 2 已 知ABCDAD/BCMBDAC拓展1如圖，已知：在正方形ABCD中,E.尸分別是上的點(diǎn)，若有BE+DF = EF. 求：ZEAF的度數(shù).拓展2如圖，已知：在正方形磁P中，E. F分別是3G切上的點(diǎn)，若有ZEAF=45. 求證：BE+DF = EF.拓展3如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1, A

6、B AD上各有一點(diǎn)P、Q,若AAEQ的周長(zhǎng)為2.求ZPCQ的大小.拓展4如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC DC上的點(diǎn)且ZEAF=45, AH丄EF求證：AH=AB.拓展5如圖，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成4個(gè)小矩形，P是EF與GH的交點(diǎn)，若矩形PFCH 的面積恰是矩形AGPE面積的2倍試確定ZHAF的大小，寫出推導(dǎo)的過程.5.（三角形的輔助線旋轉(zhuǎn)）已知，如圖在AABC中，AB=AC, ZBAC=90 , ZDAE=45 , BD=2, CE=3 求證：DE 的長(zhǎng).拓展1如圖，在等腰三角形ABC中，P是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且ZAPB=ZAPC.求證PB=PC拓展2 A

7、ABC中，AB=AC, D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，若ZADBZADC求證ZDBOZDCB.分析將ZkABC以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一角度ZBAC,到zXACE的位置.連DE,由ZADBZADC, 得 ZAEOZADC.又 ZADE=ZAEDr 相減，得 ZDEOZEDC CDCE.即 CDBD,從而ZDBOZDCB拓展3若P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA ： PB ： PC=1 ： 2 ： 3.試證ZAPB=135 .分析利用正方形的特點(diǎn)設(shè)法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)使AP、PB. PC相對(duì)集中，為簡(jiǎn)單起見不妨設(shè)PA=1, PB=2, PC=3繞B 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90,使ZkCBP 到 AABE 的位置，這時(shí) BE=2, A

8、E=3, ZPBE=90 -PE= 22 , ZBPE=45。又AP2 +PE2 = + 8 = 9 = AE2 ZAPE=90 于是ZAPB=135拓展4在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)P.連接P與各頂點(diǎn)的三條線段的長(zhǎng)為3. 4 5求正三角形的邊長(zhǎng).（答案：J25+13篙）分析 將ACPB旋轉(zhuǎn)到AAPB,連接PP、，延長(zhǎng)BP,過A作AD丄BD易知ZUPP、是直角三角形，因?yàn)閆BPP、=60。, 所以ZAPD=30,則 AD=2, DP=2j5.6.（軸對(duì)稱變換（翻折問題）（1）如圖，將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C、處，BC、交AD于E, AD=8, AB=4求ZkBED的面積.（2）如圖.

9、將邊長(zhǎng)為12厘米的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CD上的E點(diǎn)，然后壓平得折痕FG若FG的 長(zhǎng)為13厘米求線段CE的長(zhǎng).（3）如圖，點(diǎn)樂N為矩形ABCD組對(duì)邊的中點(diǎn)，將矩形的一角向內(nèi)折疊，使點(diǎn)B落在直線MN上，得到落點(diǎn)B、 并說明理由.（4）把一張正方形紙片ABCD從中間對(duì)折后仍然攤平，得折痕為EF,如圖（1）所示.接著，使點(diǎn) C不動(dòng)，把B點(diǎn)處的紙向右上方折起來使B點(diǎn)落在EF上，得落點(diǎn)為B,折痕為GC,如圖（2）所示.連 AB問圖中ZGAB、是多少度求ZGAB相當(dāng)于求ZAB1 E顯然三角形CGB和三角形CGB是全等的，因?yàn)槭菍?duì)折得到的, 所以 CB =CB=1/2CF又因?yàn)镋F垂直于BC,所

10、以ZFBC=30假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,算出BF=(根號(hào)3) /2所以BE=1-(根號(hào)3) /2所以 tanZAB1 E=AE/B, E=(l/2) -r (1-(根號(hào) 3) /2) =2+根號(hào) 3 所以 ZABE=75 =ZGAB,D A D7.(梯形的平移輔助線)(1) 已知：如圖 2,在梯形 ABCD 中，AB/CD. ZA = 60, AD=BC = DC.求證：AB = 2CD.圖2(2) 己知：如圖3,在梯形ABCD中，AB/CD,AC=BD.求證：梯形ABCD是等腰梯形.圖3(3) 已知：如圖7,在梯形ABCD中，ABCD,ZA + ZB = 90、M . N分別是DC . AB的中

11、點(diǎn).求證:MN = (AB-CD).A EF B幾何綜合1. 如圖1,在UABCD中,AELBC于E E恰為必的中點(diǎn)，taiiB = 2.(1) 求證：ADAEx(2) 如圖2,點(diǎn)P在BE上,作EFVDP于點(diǎn)尸，連結(jié)M求證：DF-EF = JiAF ；(3) 請(qǐng)你在圖3中畫圖探究：當(dāng)P為射線圧上任意一點(diǎn)(P不與點(diǎn)E重合)時(shí)，作EFA.DP于點(diǎn)尸，連結(jié)朋 線 段加 費(fèi)與M之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系直接寫出你的結(jié)論.A aDA A DA A7 D2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系妙中，一次函數(shù)y = JIv + 3石的圖象與*軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,0),連結(jié)比(1) 求證：磁是等邊三角形

12、；(2) 點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上，連結(jié)佔(zhàn) 作的垂直平分線y軸交于點(diǎn)D分別連結(jié)因、EP./若 e6,直接寫出z侶的度數(shù)；/若點(diǎn)尸在線段血的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)(P不與點(diǎn)Q重合)，的度數(shù)是否變化若變 化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出z理滬的度數(shù)；(3) 在(2)的條件下，若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)在的延長(zhǎng)線上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.EC與AP于 點(diǎn)F,設(shè)的面積為$, 丹的面積為,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0)秒時(shí)，求y關(guān)于亡的函數(shù)關(guān)系式.F3. 已知：如圖1,點(diǎn)P在線段AB上(APPB), C、D. E分別是AP. PB AB的中點(diǎn)，正方形CPFG和正方形PDHK在直線AB同側(cè).（1）求證：AERG是等腰宜角三角形；（2）

13、若將圖1中的射線PB連同正方形PDHK繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，其它已知 條件不變，如圖2,判斷EHG還是等腰直角三角形嗎請(qǐng)說明理由4. 如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)M,正方形MNPQ與正方形ABCD全等，射線MN與MQ不過A. B. C、D四點(diǎn)且分別交ABCD的邊于E、F兩點(diǎn).（1）求證：ME二MF；（2）若將原題中的正方形改為矩形，且=其他條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系.5. 如圖10-1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C. D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD 外作正方形CEFG,連結(jié)BG, DE.我們探究下列圖中線段BG、線段

14、DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：如圖10-3情 形.請(qǐng)你通過觀察.測(cè)量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖KH2證明你的判斷.（2）將原題中正方形改為矩形（如圖10410-6）.且AB = gBC = b.CE = k*CG = kb,試判斷（1）中得到的結(jié)論哪個(gè)成立，哪個(gè)不成立并寫出你的判斷，不必證明.（圖 10-4）（3）在圖105中，連結(jié)QG.施，且宀八2,q,則沁切1. 如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，E是BC邊上任意一點(diǎn)，把正方形沿著GH折疊，使A與E重合，D與L 匝合，ED，與邊CD交于點(diǎn)F。（1）當(dāng)點(diǎn)E為BC邊中點(diǎn)時(shí)，求/ECF的周長(zhǎng)連結(jié)AE, AF,求ZEAF的

15、度數(shù)（2）當(dāng)點(diǎn)誑BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）中的結(jié)論變化嗎試說明理由。2. 已知正方形紙片肋切的邊長(zhǎng)為2.操作：如圖1,將正方形紙片折疊，使頂點(diǎn)S落在邊切上的點(diǎn)P處（點(diǎn)P與C、Q不重合），折痕為亟 折 疊后肋邊落在丹的位置，PQ與BC交于點(diǎn)G.探究：（1）觀察操作結(jié)果，找到一個(gè)與QP相似的三角形，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)P位于切中點(diǎn)時(shí)，你找到的三角形與周長(zhǎng)的比是多少（圖2為備用圖）3. 幾何模型：條件如下左圖，A、是直線/同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在宜線/上確定一點(diǎn)P,使PA + PB的值最小. 方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A,連結(jié)AB交/于點(diǎn)P,則PA + PB = A,B的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1) 如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2, E為的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連結(jié)BD,由正方形對(duì)稱性可知，與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連結(jié)ED交AC于P,則PB + PE的最小值是；(2) 如圖2, 0O的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在OO, OA丄OB, ZAOC = 60t P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PA + PC的最小值是；(3) 如圖 3, ZAOB = 45, P 是