由一道練習(xí)題想到的拓展

1、由一道練習(xí)題想到的拓展在非課改現(xiàn)行教材高二數(shù)學(xué)(人教版)第 106 頁練習(xí)中有這 樣一試題：已知 ABO的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-6 ,0 ), (6,0),邊AB BC所在直線的斜率之積等-于，求頂點(diǎn)C的軌跡 方程。設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y)(y工0)頂點(diǎn)的軌跡方程為 +=1(y工0)，且頂點(diǎn)C的軌跡是以A、B為左右頂點(diǎn)的橢圓(左、 右頂點(diǎn)除外)。這是以橢圓為背景的簡單練習(xí)題， 若不留意和深入研究，此 題的引領(lǐng)作用以及它在橢圓、 雙曲線中的作用意義將被埋藏。 筆 者經(jīng)過研究后發(fā)現(xiàn)此題進(jìn)一步發(fā)揮有重要的引領(lǐng)作用。 發(fā)揮在課 堂教學(xué)中不僅能豐富教學(xué)內(nèi)容， 拓展學(xué)生視野。更重要的是綜合 培養(yǎng)

2、學(xué)生的的實(shí)踐創(chuàng)新能力。筆者首先提出下列問題：問題 1：由上述解題過程及背景深化，經(jīng)過觀察和思考你能 得出一般性結(jié)論嗎？請(qǐng)學(xué)習(xí)小組合作、 交流，探究并把結(jié)論用證 明過程寫出來。經(jīng)過合作、交流、探究后。多數(shù)學(xué)生得出如下結(jié)論：結(jié)論 1：已知已知 A(-a,0),B(a,0) 分別是橢圓C: +=1(ab0)的左、右頂點(diǎn)，P(x,y)(y工0)是橢圓C上任意點(diǎn)。貝U AP,BP的連線斜率之積等于-，即卩KAP- KBP二還有少數(shù)學(xué)生得出結(jié)論 1 的同時(shí)，還得出結(jié)論 2：結(jié)論2：已知已知(0,b )、(0,b )是橢圓C: +=1(ab0)的下、上頂點(diǎn)，P(x,y)(x工0)是橢圓C上任意點(diǎn)。則有KCP

3、 KDP二此時(shí)從簡單的的問題(低起點(diǎn))。引導(dǎo)學(xué)生觀察、假設(shè)、類 比、推理證明等綜合實(shí)踐而得出一般性的結(jié)論， 第一次的目的達(dá) 到。教師應(yīng)作出中肯的評(píng)價(jià)和有效的表揚(yáng)和激勵(lì)。 進(jìn)一步推動(dòng)學(xué) 生實(shí)踐認(rèn)知能力的拓展。圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題是常見的題。 因此筆者進(jìn) 一步引導(dǎo)學(xué)生思考下述問題。結(jié)論3:在結(jié)論1中的條件和結(jié)論中取 A P的中點(diǎn)M連結(jié)0M顯然 OM/PB二 KOM=KBP二 KOP KA P= KBP-A P= - 因?yàn)锳P是一個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)的動(dòng) 弦，若將定點(diǎn)A改為動(dòng)點(diǎn)，上述結(jié)論是否成立？即得出一般性的 問題？問題2：已知直線l:y=kx+m(km工0)與橢圓CH

4、+=1(ab0) 相交于不同的兩點(diǎn) A (x 1, y 1) ,B (x2, y2) , M (x0, y0) 為A B的中點(diǎn)。探索結(jié)論：KAB- KOM= 是否成立？并證明你的結(jié)論，經(jīng)過證明上述結(jié)論成立，不妨看成結(jié)論 4結(jié)論4:已知直線I:（斜平k存在且不為0）與橢圓C, +=1（ab0）相交于不同的兩點(diǎn) A B、M為A、B的中點(diǎn)，貝V 有KAB- K0M= - （ 0為生標(biāo)原點(diǎn)）。弦的中點(diǎn)的有關(guān)問題的核心思維難點(diǎn)， 得以突破， 現(xiàn)在回頭 看結(jié)論 1、結(jié)論 3、結(jié)論 4之間的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn) ，結(jié)論 1 是課 本練習(xí)的簡單變換，結(jié)論 3是結(jié)論1進(jìn)一步轉(zhuǎn)化（此時(shí) AP是動(dòng) 弦但有一個(gè)端點(diǎn)是定點(diǎn)）

5、，結(jié)論 4 是結(jié)論 3 的進(jìn)一步一般化（ AB 是動(dòng)弦且兩個(gè)端點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)） ，因此從課本一道簡單練習(xí)通過逐步 引導(dǎo)學(xué)生觀察，類此、聯(lián)想、歸納、推理運(yùn)算等綜合實(shí)踐認(rèn)知后 得出一般性重要性的結(jié)論，我想學(xué)生喜悅心情和成功感情于言 表。“乘勝追擊”提出下列問題問題 3:在課本第 106 頁練習(xí) 4中，其它條件不變，將“邊 AC BC所在直線的斜度之和只等于-中的-改為,求頂點(diǎn)C 的軌跡方程？通過上述問題的研究， 類此前面的研究， 學(xué)生容易探索出如 下的結(jié)論？結(jié)論 5:已知 A（-a,0）,B（a,0） 是雙曲線 C: - =1（a0,b0） 的頂點(diǎn)P（x,y）（y工0）是雙曲線C上任意點(diǎn)，則KAP- K

6、BP=。推論1:若M為AP的中點(diǎn)，貝U KOM KA P=2 （ 0為生標(biāo) 原點(diǎn)）結(jié)論6、已知直線l:y=kx+m（km工0）與雙曲線 C: - =1（a0, b0)交兩個(gè)不同的點(diǎn) A B,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)則有KAE KOM = 2 ( O為坐標(biāo)原點(diǎn))。由上述引導(dǎo)推理過程， 不難發(fā)現(xiàn)首先從課本一道簡單的練習(xí) 逐步猜想，論證、推導(dǎo)、歸納出一般性結(jié)論；同時(shí)通過聯(lián)想，類 此、演繹，把重要結(jié)論遷移到雙曲線中去。若從結(jié)論4 開始，縱向、橫向演繹，類此也是“思維能力”訓(xùn)練的一道風(fēng)景線。“紙上得來終覺淺， 絕知此事要躬行”通過一個(gè)簡單的練習(xí) 題出發(fā)，設(shè)計(jì)課程目標(biāo)和教學(xué)過程中維妙的導(dǎo)演， 通過學(xué)生合作， 探究

7、活動(dòng)(實(shí)踐活動(dòng))學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，認(rèn)知能力、范疇得到提 升，提高和拓展，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐性與創(chuàng)造性勞動(dòng)。當(dāng)然探究的作用是要用實(shí)際操作中， 此時(shí)，不妨設(shè)計(jì)以下問 題讓學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)體驗(yàn)。問題4、已知平面上有兩定點(diǎn) A B同一平面上一動(dòng)點(diǎn)P與 兩定點(diǎn)的連線的斜平乘積等于常數(shù) m(ME R),則動(dòng)點(diǎn)P的軌通可 能是下列哪幾種)？( 1)直線 ( 2)圓 ( 3)拋物成( 4)雙曲線( 5)橢圓(此題意義深化課本練習(xí)，拓展思維)隨著新課改的普及， 其課程目標(biāo)體現(xiàn)教師對(duì)課程的精心設(shè)計(jì) 和完美追求，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)與能力，過程與方法，情感態(tài)度、價(jià) 值觀三維目標(biāo)的達(dá)成；課程結(jié)構(gòu)突出教與學(xué)的實(shí)踐性、自主性、 綜合性和開放