31微分中值定理

1、第一節(jié) 中值定理教學(xué)目的：理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教學(xué)重點(diǎn)：羅爾定理、拉格朗日定理的應(yīng)用。教學(xué)過(guò)程：一、羅爾定理定理1 :若函數(shù)f(x)滿足：(i)f(x)在a,b上連續(xù)；(ii)f(x)在(a,b)可導(dǎo)，(iii) f(a) =f(b),則在(a,b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f( )=0.證明：由(i)知f(x)在a,b上連續(xù)，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此時(shí), 又有二種情況：(1) M=m，即f(x)在a,b上得最大值和最小值相等，從而知，此時(shí)f(x)為常數(shù)：f(x) = M=m，f(x) = 0，因此，可知為(a,b )內(nèi)任一點(diǎn)，都有f()=0。(2

2、) Mm,此時(shí)M和m之中，必有一個(gè)不等于f(a)或f(b)，不妨設(shè)M = f(a)(對(duì)m =f(a)同理證明)，這時(shí)必然在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)，使得f( )=M,即 f(x)在 點(diǎn)得最大值。下面來(lái)證明：f( )=0(x) -Mx -首先由(ii)知f()是存在的，由定義知：(*)因?yàn)镸為最大值，=對(duì)x有f(x)乞M = f(x) M乞0,當(dāng)x時(shí)，有“匚亠二上止也汕X 一 -x -當(dāng)XV 時(shí),f (x) - M_0。x-又因?yàn)?*)的極限存在，知(*)極限的左、右極限都存在，且都等于f)，即f)= f_)二 f)，然而，又有f ()=f(x) - f()X-f(x) -f()X-= f ( )=

3、0。注1 :定理中的三個(gè)條件缺一不可，否則定理不一定成立，即指定理中的條件是充 分的，但非必要。2:羅爾定理中的點(diǎn)不一定唯一。事實(shí)上，從定理的證明過(guò)程中不難看出：若可 導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)處取得最大值或最小值，則有f)=0。3:定理的幾何意義：設(shè)有一段弧的兩端點(diǎn)的高度相等，且弧長(zhǎng)除兩端點(diǎn)外，處處 都有不垂直于x軸的一切線，到弧上至少有一點(diǎn)處的切線平行于 x軸?！纠?】設(shè)多項(xiàng)式p(x)的導(dǎo)函數(shù)p(x)沒(méi)有實(shí)根，證明p(x)最多只有一個(gè)實(shí)根二、拉格朗日中值定理在羅爾定理中，第三個(gè)條件為(iii) f (a)二f(b)，然而對(duì)一般的函數(shù)，此條不滿足,現(xiàn)將該條件去掉，但仍保留前兩個(gè)條件，這樣，結(jié)論相應(yīng)地

4、要改變，這就是拉格朗日 中值定理:定理2 :若函數(shù)滿足:(i)f(x)在a,b上連續(xù)；(ii) f (x)在(a,b)上可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f)二丄辺u引。b - a若此時(shí)，還有f(a)二f(b)，= f ( )=0?？梢?jiàn)羅爾中值定理是 拉格朗日中值定理的一個(gè)特殊情況，因而用羅爾中值定理來(lái)證明之。證明：上式又可寫(xiě)為f()一 f (b) - f(a) =o.b - a作一個(gè)輔助函數(shù)：F(x) = f(x)-地 血(x-a)(2)b -a顯然，F(xiàn)(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且F(a) = f(a)血(a - a) = f (a)b aF(b)二 f(b) -卑徑(

5、b-a)二 f(a)b a= F(a)=F(b)，所以由羅爾中值定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f(b) - f (a)F ( )=0 o 乂 F (x) = f (x)f(b) - f(a)b - ab - af()-f(b) f(a)=o 或 f()b a注1:拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣；2:定理中的結(jié)論，可以寫(xiě)成 f(b) - f(a) = f ( )(b-a) (a b)，此式也稱(chēng)為拉格朗日公式，其中可寫(xiě)成：=aT(b-a) (0 ”：八：1)=f (b) - f (a) = f (a r(b -a)(b - a)(3)若令b二a h,f (a h) - f(a) =

6、f (a ，h)h(4)3 :若a b，定理中的條件相應(yīng)地改為：f(x)在b,a上連續(xù)，在(b, a)內(nèi)可導(dǎo),則結(jié)論為：f(a) - f (b)二 f ( )(a -b)也可寫(xiě)成f(b) - f(a)二 f ( )(b -a)可見(jiàn)，不論a,b哪個(gè)大，其拉格朗日公式總是一樣的。這時(shí)， 為介于a,b之間的一 個(gè)數(shù)，(4)中的h不論正負(fù)，只要f (x)滿足條件，(4)就成立。4:設(shè)在點(diǎn)x處有一個(gè)增量 x，得到點(diǎn)x 上，在以x和x 厶x為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有 f(x *：x) - f(x) = f (x rx)(0 ： v : 1)即 勺=f (x 八x)這準(zhǔn)確地表達(dá)了 勺和h這兩個(gè)增

7、量間的關(guān)系，故該 定理又稱(chēng)為微分中值定理。5:幾何意義：如果曲線y二f(x)在除端點(diǎn)外的每一點(diǎn)都有不平行于 y軸的切線, 則曲線上至少存在一點(diǎn)，該點(diǎn)的切線平行于兩端點(diǎn)的聯(lián)線。由定理還可得到下列結(jié)論：推論1：如果y =f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為0，則f (x)在I上是一個(gè)常數(shù)。證明：在I中任取一點(diǎn)Xo，然后再取一個(gè)異于Xo的任一點(diǎn)X，在以Xo， x為端點(diǎn)的 區(qū)間J上，f(x)滿足：(i)連續(xù)；(ii)可導(dǎo)；從而在J內(nèi)部存在一點(diǎn)，使得f(X) - f (Xo) = f ( J(x - Xo)又在 I 上，f (x) = 0，從而在 J 上，f (x) =0，=f ( ) = o， 所以 f (x

8、) - f (Xo) = o = f (x)二 f(Xo)，可見(jiàn)，f(x)在I上的每一點(diǎn)都有：f(x)二f(Xo)(常數(shù))柯西中值定理定理3:若f(x), F(x)滿足:(i) f(x), F(x)在a,b上連續(xù)；(ii) f(x), F(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(iii) F (x)在(a,b)內(nèi)恒不為 0;f ( ) f(b) - f(a) F (廠 F(b)-F(a) F(a) = F(b)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證明：令(x)= 些 型 F(x)-f(x)，顯然，(x)在a,b上連續(xù)，且(x)在(a,b) F(b) F(a)內(nèi)可導(dǎo)，更進(jìn)一步還有(a)二(b)，事實(shí)上,(b)

9、 - ：(a)f(b)- f(a)F(b)-F(a)F(b)-f(b)-f (b)- f(a) f(b)-F(a)F(a廠 f(a)鵲開(kāi)(F(bF(a)(f(b) f (a)H0所以(x)滿足羅爾定理的條件,故在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得()=0,又：(x)f(b) -f(a)F(b) -F(a)(x)- f (x)旳F()-f()=0因?yàn)镕 ( ) = 0，f ( ) _ f(b)- f(a)F ( ) F(b)-F(a)注1 :柯西中值定理 是拉格朗日中值定理的推廣，事實(shí)上，令 F(x)二x，就得到拉格朗日中值定理；X = f (x)2 :幾何意義：若用丿(axb )表示曲線c，則其幾

10、何意義同前Y = F (x)一個(gè)?！纠?】 若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f (治)=f (X2) = f (X3)，其中a :Xi：X2:X3： b，證明在(Xi,X2)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得 f ( ) = 0。X【例2 】若 x 0，證明:ln(1 - x) ： x。1 +x證明：對(duì)-Xo 0，取a,b =1,1 Xo， f(x) = In X，不難驗(yàn)證：f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，故在(1,1 * Xo)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使 f ()二丄滿足 ln(1 X。)-In1 =丄(1 Xo -1)，即 I n1( x。)=汙(1 ： 1 X。)=丄丄11 XoXo1 Xo

11、:總:XoXo1 Xo：I n 1 Xo) ： Xo由Xo的任意性，知本題成立。注：條件“ x0”可改為“ xT”，結(jié)論仍成立?！纠?】證明：sinasinb蘭ab?！纠?】 證明：若f (x)在(a,二)上可導(dǎo)，且lim.f (x) = k,lim f (x)存在，則lim f (x) =0。x -.：【例5】 證明 arcsinx arccosx ( -lxl )。21 1 證：令 f (x)二 arcsin x arccosx , f (x)0 ,Jl_x2Ji x2HJI由推論知f(x)=常數(shù)！再由f (0) ，故arcsi nx - arccosx =22【例6】 若方程axn 玄必心亠 亠anx=0有一個(gè)正根x = x,證明方程a0