拋物線的幾何性質(zhì)

1、拋物線一、拋物線y2 2px（p 0）的簡單幾何性質(zhì)1、 范圍：因為p 0，由方程y2 2px可知，這條拋物線上任意一點M的坐標(biāo)x, y 滿足不等式x 0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時，y也增大， 這說明拋物線向上方和右下方無限延伸，它的開口向右 .2、 對稱性：以y代y，方程y2 2px（p 0）不變，因此這條拋物線是以x軸為對稱 軸的軸對稱圖形.拋物線的對稱軸叫作 拋物線的軸3、 頂點：拋物線和它的軸的焦點叫作 拋物線的頂點.在方程y2 2px（p 0）中，當(dāng) y 0時，x 0,因此這條拋物線的頂點就是坐標(biāo)原點.4、離心率：拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離的比，叫作拋物

2、線的離 心率，用e表示按照拋物線的定義，e 1知識剖析：拋物線的通徑： 過焦點且與焦點所在的軸垂直的直線與拋物線交于點，線段M1M2叫作拋物線的通徑，將x0 -代入y2 2px得y p，故拋物線y2 2px的通徑長2為2p例1、已知點M x, y在拋物線y2 8x上，則f x,y x2 y2 12x 9的取值范圍？分析：本題的實質(zhì)是將f x,y轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)，求二次函數(shù)在區(qū)間0,上的最值.f x, y x2 8x 12x 9 x 25，又x 0,，所以當(dāng)x 0時，f x, y取得最小值9，當(dāng)x 0, 時，f x, y x 2 2 5，無最大值.故f x,y x2 y2 12x 9的取值

3、范圍為答案：9,、拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程相應(yīng)的幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程y2 2px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)x22py(p 0)圖 像ly -Nix丄T i xy0i/f/10F x范圍X軸x軸y軸y軸對稱軸x 0, y Rx 0, y Ry 0, x Ry 0,x R焦點坐標(biāo)(p，0)2，0)(0眉（0，衛(wèi)）2準(zhǔn)線方程xE2x fy舟y舟頂點坐標(biāo)0 0,0離心率e 1通徑長2p知識剖析：（1）通過上表可知，四種形式的拋物線的頂點相同， 均為0 0,0，離心率均為1，它們都是軸對稱圖形，但是對稱軸不同（2）拋物線和橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)的差異： 它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙

4、曲線又是中心對稱圖形，拋物線不是中心對稱圖形； 頂點個數(shù)不同：橢圓有4個頂點、雙曲線有2個頂點、拋物線只有1個頂點； 焦點個數(shù)不同：橢圓和雙曲線各有 2個焦點，拋物線只有1個焦點； 離心率的取值范圍不同：橢圓的離心率的取值范圍是0 e 1，雙曲線離心率的取值范圍是 e 1，拋物線的離心率是e 1 ； 橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線； 橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線，由于拋物線沒有漸近線，因此在 畫拋物線時切忌將其畫成雙曲線例2、某拋物線的頂點是橢圓16x2 9y2144的中心，而焦點為橢圓的左頂點，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：因為該橢圓的中心在坐標(biāo)原點，左頂點

5、為3,0，所以可直接設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求得p后可得方程.答案：解：由16x29y2144 得:2 2y x169所以橢圓的左頂點為3,0 .由題意設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2px p3，得p 6，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y12x.三、焦點弦問題及其應(yīng)用1、焦點弦如圖，AB是拋物線y2 2px點A X1,y1 ,B X2, y2 ，線段AB的中點為M Xo, yo，過 A, B, M分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為物線的定義有|af |bf| |aa br .又MM1是梯形ABjB的中位線,BB| 2 MM1 .過焦點F的一條弦.設(shè)ABM，則根據(jù)拋綜上可得以下結(jié)論:AFX1f,BFABX1

6、X2x1X2p，其常被稱作拋物線的焦點弦長公式. AB 2 x0 -（焦點弦長與中點的關(guān)系）2 若直線AB的傾斜角為，貝H AB 電sin推導(dǎo)：|AB |AF |BF X1 X2 p由的推導(dǎo)知，當(dāng)AB不垂直于x軸時， y2 紅k 0 kx1x2yiyiy2kAB1tan2g2p2p .2 sin當(dāng)k不存在時，即90 時,AB字亦成立sinA、B兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即X|X22P，yy4分析：利用點斜式寫出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立后進行證明.要注意直線斜率不存在的情況.推導(dǎo)：Q焦點F的坐標(biāo)為刖，當(dāng)AB不垂直于x軸時,可設(shè)直線AB的方程為:0，由y得:ky22 pykp20

7、2p ,XiX2當(dāng)AB垂直于x軸時，直線則yip, y2pyiy2iAFiBF2為定值-P推導(dǎo)：由焦半徑公式知,i iAF BF又 xix2p24，X1AF1BF2px4P4p2AB的方程為:x2p X22p4AFXiX2PPXiX2XX2 P24XiX2iiPPXiX222X2 AB p，代入上式得：亦i|ab|BF2P P42AB2p :2-為常數(shù)P2為定值-.P2、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)（1 ）拋物線以過焦點的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切（2）拋物線y2 2px p 0中，設(shè)AB為焦點弦，M為準(zhǔn)線與x軸的交點，貝U AMF BMF（3）設(shè)AB為拋物線的焦點弦. 點A B在準(zhǔn)線

8、上的射影分別為點A、B，若P為A的中 點，則PA PB :0為拋物線的頂點，若AO的延長線交準(zhǔn)線于點C,連接BC，則BC平 行于x軸，反之，若過點B作平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于點C,則代0,C三點共線.（4）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；的直線，被拋物線所例3、已知拋物線的頂點在原點，x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為截得的弦長為6,求拋物線方程.解：當(dāng)拋物線的焦點在x軸正半軸上時,可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px p0，則焦點F的坐標(biāo)為衛(wèi),0 ，直線1的方程為y x2尹直線1與拋物線的交點為A x1,y1,B X2,y2，過點代B分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點A、Bi，則有:ABAFBF AA1 + BB1 =x2P 6，p由y x 2，消去y，得2y 2px2x 舟 2px，即 X23px為X2 3p，代入式得:33p p 6, p 3所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 3xy23x當(dāng)拋物線的焦點在x軸負(fù)半軸上時，用同樣的方法可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是: 2例4、已知拋物線y 2px p 0的焦點為F，點R為$、F2 X2,y?、F3怡川 在拋物線上,且2x2洛X3，則有（）A. FR1FF2FR32B. FR12FR22FR3C.2 FF2FRFR3DFP22|FRgFP3解析：Q R、F2、F3在拋物線上，且2