波利亞的解題理論[教學(xué)校園]

1、1教資優(yōu)選 2教資優(yōu)選 3教資優(yōu)選 4教資優(yōu)選 5教資優(yōu)選 6教資優(yōu)選 n 1積累認(rèn)識(shí)的資源積累認(rèn)識(shí)的資源 n認(rèn)識(shí)的資源，主要是指與解題有關(guān)的數(shù)認(rèn)識(shí)的資源，主要是指與解題有關(guān)的數(shù) 學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能把認(rèn)識(shí)的資源學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能把認(rèn)識(shí)的資源 作為解題的要素，這是一個(gè)公認(rèn)的常作為解題的要素，這是一個(gè)公認(rèn)的常 識(shí)事實(shí)上，任何解題都是以一定的數(shù)識(shí)事實(shí)上，任何解題都是以一定的數(shù) 學(xué)知識(shí)，包括運(yùn)算技能、作圖和畫(huà)圖技學(xué)知識(shí)，包括運(yùn)算技能、作圖和畫(huà)圖技 能、算法和程序性知識(shí)等，作為必要條能、算法和程序性知識(shí)等，作為必要條 件的件的 7教資優(yōu)選 n關(guān)于知識(shí)的組織，波伊亞曾提出以下建議：關(guān)于知識(shí)的組織，波伊

2、亞曾提出以下建議： n (1) 對(duì)于任何主題都有一些對(duì)于任何主題都有一些“關(guān)鍵知關(guān)鍵知 識(shí)識(shí)(關(guān)鍵問(wèn)題，關(guān)鍵定理關(guān)鍵問(wèn)題，關(guān)鍵定理)，這些，這些“關(guān)鍵知關(guān)鍵知 識(shí)識(shí)”應(yīng)存放在你記憶的應(yīng)存放在你記憶的“最前方最前方” n (2) 應(yīng)當(dāng)把已經(jīng)解過(guò)的帶有同樣類(lèi)型未知量應(yīng)當(dāng)把已經(jīng)解過(guò)的帶有同樣類(lèi)型未知量 的那些問(wèn)題和已經(jīng)證明過(guò)的結(jié)論相同的那些定的那些問(wèn)題和已經(jīng)證明過(guò)的結(jié)論相同的那些定 理理“貯存在一起貯存在一起” n (3) 應(yīng)當(dāng)把兩個(gè)具體知識(shí)間切實(shí)可行的聯(lián)系找應(yīng)當(dāng)把兩個(gè)具體知識(shí)間切實(shí)可行的聯(lián)系找 出來(lái)對(duì)于彼此相關(guān)的問(wèn)題，它們之間的聯(lián)系出來(lái)對(duì)于彼此相關(guān)的問(wèn)題，它們之間的聯(lián)系 可能是共同的解法模式，可能

3、是共同的未知量，可能是共同的解法模式，可能是共同的未知量， 或有共同的已知數(shù)據(jù)，或存在著某種類(lèi)似特點(diǎn)或有共同的已知數(shù)據(jù)，或存在著某種類(lèi)似特點(diǎn) 以及諸如此類(lèi)的其他方面以及諸如此類(lèi)的其他方面 8教資優(yōu)選 n波利亞在他的波利亞在他的“怎樣解題表怎樣解題表”中，為了中，為了 激發(fā)學(xué)生找出已知條件與未知量之間的激發(fā)學(xué)生找出已知條件與未知量之間的 關(guān)系，列了一類(lèi)問(wèn)題：你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？關(guān)系，列了一類(lèi)問(wèn)題：你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？ 或者你見(jiàn)過(guò)同樣的題目以一種稍有不同或者你見(jiàn)過(guò)同樣的題目以一種稍有不同 的形式出現(xiàn)嗎？盡量想出一道你所熟悉的形式出現(xiàn)嗎？盡量想出一道你所熟悉 的具有相同或相似未知量的題目等等的具有相同或相似

4、未知量的題目等等. 9教資優(yōu)選 n 用現(xiàn)代認(rèn)知科學(xué)的理論來(lái)分析，數(shù)學(xué)知識(shí)用現(xiàn)代認(rèn)知科學(xué)的理論來(lái)分析，數(shù)學(xué)知識(shí) 的合理組織，實(shí)質(zhì)上就是按照解題的需要，改造的合理組織，實(shí)質(zhì)上就是按照解題的需要，改造 和組建適合個(gè)體特征的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)也就是說(shuō)，和組建適合個(gè)體特征的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)也就是說(shuō)， 實(shí)踐波伊亞的建議，關(guān)鍵是在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要實(shí)踐波伊亞的建議，關(guān)鍵是在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要 注意不斷改善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量，在同化和順應(yīng)注意不斷改善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量，在同化和順應(yīng) 上多下功夫?qū)τ谏隙嘞鹿Ψ驅(qū)τ凇瓣P(guān)鍵知識(shí)關(guān)鍵知識(shí)”，要弄清它的來(lái)，要弄清它的來(lái) 龍去脈，熟悉它的思維模式，抓住它的縱橫聯(lián)系，龍去脈，熟悉它的思維模式

5、，抓住它的縱橫聯(lián)系， 在解題實(shí)踐中有目的地整理自己的知識(shí)系統(tǒng)，不在解題實(shí)踐中有目的地整理自己的知識(shí)系統(tǒng)，不 斷地添加積累新例子，編織可以隨時(shí)提取的記憶斷地添加積累新例子，編織可以隨時(shí)提取的記憶 網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò) 10教資優(yōu)選 n解題，實(shí)質(zhì)上就是確立題中條件與問(wèn)題解題，實(shí)質(zhì)上就是確立題中條件與問(wèn)題 或條件與結(jié)論邏輯上的必然聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)或條件與結(jié)論邏輯上的必然聯(lián)系，實(shí)現(xiàn) 由未知向已知的轉(zhuǎn)化由未知向已知的轉(zhuǎn)化因此把一個(gè)數(shù)學(xué)因此把一個(gè)數(shù)學(xué) 題轉(zhuǎn)化為我們?cè)?jīng)解決過(guò)的與之相似的題轉(zhuǎn)化為我們?cè)?jīng)解決過(guò)的與之相似的 數(shù)學(xué)題就成為解題的關(guān)鍵。如何轉(zhuǎn)化？數(shù)學(xué)題就成為解題的關(guān)鍵。如何轉(zhuǎn)化？ 11教資優(yōu)選 n3. 及時(shí)調(diào)控的能

6、力及時(shí)調(diào)控的能力 n所謂調(diào)控，是指對(duì)所進(jìn)行的解題活動(dòng)（包所謂調(diào)控，是指對(duì)所進(jìn)行的解題活動(dòng)（包 括解題模式的識(shí)別，解題策略的選擇，解括解題模式的識(shí)別，解題策略的選擇，解 題途徑的探索，解題方案的構(gòu)思，解題前題途徑的探索，解題方案的構(gòu)思，解題前 景的評(píng)價(jià)等）的自我意識(shí)、自我評(píng)估和自景的評(píng)價(jià)等）的自我意識(shí)、自我評(píng)估和自 我調(diào)整我調(diào)整. n自我意識(shí)是以自身為意識(shí)對(duì)象的意識(shí)自我意識(shí)是以自身為意識(shí)對(duì)象的意識(shí). 只只 有對(duì)解題活動(dòng)的信息輸入、加工、儲(chǔ)存、有對(duì)解題活動(dòng)的信息輸入、加工、儲(chǔ)存、 輸出有著清醒的自我意識(shí)，才能克服思維輸出有著清醒的自我意識(shí)，才能克服思維 獲得的盲目性，增強(qiáng)主動(dòng)性和自覺(jué)性獲得的盲目性

7、，增強(qiáng)主動(dòng)性和自覺(jué)性. 12教資優(yōu)選 n信念是激勵(lì)主體堅(jiān)定不移地按照自己的信念是激勵(lì)主體堅(jiān)定不移地按照自己的 觀(guān)點(diǎn)、原則和世界觀(guān)去行動(dòng)的的個(gè)性?xún)A觀(guān)點(diǎn)、原則和世界觀(guān)去行動(dòng)的的個(gè)性?xún)A 向向.具備信念的人，經(jīng)常表現(xiàn)為堅(jiān)信某種具備信念的人，經(jīng)常表現(xiàn)為堅(jiān)信某種 觀(guān)點(diǎn)的正確性，并由此支配自己的行動(dòng)觀(guān)點(diǎn)的正確性，并由此支配自己的行動(dòng). 解題中的信念系統(tǒng)，泛指解題的非智力解題中的信念系統(tǒng)，泛指解題的非智力 因素，即解題者學(xué)習(xí)積極性方面的因素，因素，即解題者學(xué)習(xí)積極性方面的因素， 諸如觀(guān)念、情感等方面的個(gè)性品質(zhì)諸如觀(guān)念、情感等方面的個(gè)性品質(zhì). n解題中的觀(guān)念，主要是指解題者的數(shù)學(xué)觀(guān)，即怎樣看解題中的觀(guān)念，主要是

8、指解題者的數(shù)學(xué)觀(guān)，即怎樣看 待數(shù)學(xué)，怎樣看待解數(shù)學(xué)題待數(shù)學(xué)，怎樣看待解數(shù)學(xué)題. n解題中的情感主要是指從事解題活動(dòng)的愿望和決心解題中的情感主要是指從事解題活動(dòng)的愿望和決心. 13教資優(yōu)選 14教資優(yōu)選 15教資優(yōu)選 （1）未知數(shù)是什么）未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什 么么?滿(mǎn)足條件是否可能滿(mǎn)足條件是否可能?要確定未知數(shù)要確定未知數(shù),條件是否條件是否 充分充分?或者它是否不充分或者它是否不充分?或者是多余的或者是多余的?或者是或者是 矛盾的矛盾的? （2）畫(huà)張圖）畫(huà)張圖,并引入適當(dāng)?shù)姆?hào)并引入適當(dāng)?shù)姆?hào). （3）把條件的各部分分開(kāi)）把條件的各部分分開(kāi),并把它們寫(xiě)下

9、來(lái)并把它們寫(xiě)下來(lái). 16教資優(yōu)選 n考慮以前是否見(jiàn)過(guò)它考慮以前是否見(jiàn)過(guò)它? 是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不 同同? 你是否知道一個(gè)可能用得上的定理你是否知道一個(gè)可能用得上的定理? n考慮具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題考慮具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題. n能否利用它的結(jié)果或方法能否利用它的結(jié)果或方法?為了利用它為了利用它,是否引入某些輔助是否引入某些輔助 元素元素? n能否用不同的方法重新敘述它能否用不同的方法重新敘述它? n回到定義去回到定義去. n如果你不能解決所提出的問(wèn)題如果你不能解決所提出的問(wèn)題,可先解決一個(gè)與此有關(guān)的可先解決一個(gè)與此有關(guān)的

10、 問(wèn)題問(wèn)題. n是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?是否利用了所有條件？是否是否利用了所有條件？是否 考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念? 17教資優(yōu)選 n實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃,檢驗(yàn)每一步驟檢驗(yàn)每一步驟. n你能否清楚地看出這一步驟是正確的你能否清楚地看出這一步驟是正確的? 你能否證明這一步驟是正確的你能否證明這一步驟是正確的? 18教資優(yōu)選 19教資優(yōu)選 n (1) 未知數(shù)是什么未知數(shù)是什么? n (2) 已知數(shù)據(jù)是什么已知數(shù)據(jù)是什么? n (3) 條件是什么條件是什么? n (4) 滿(mǎn)足條件是否可能滿(mǎn)足條件是否可能? n (5)

11、要確定未知數(shù)，條件是否充分要確定未知數(shù)，條件是否充分? n (6) 或者它是否不充分？或者它是多余的？或者它是否不充分？或者它是多余的？ 或者是矛盾的？或者是矛盾的？ n n (8) 把條件的各個(gè)部分分開(kāi)，你能否把它們把條件的各個(gè)部分分開(kāi)，你能否把它們 寫(xiě)下來(lái)寫(xiě)下來(lái)? 20教資優(yōu)選 n (1) 你以前見(jiàn)過(guò)它嗎你以前見(jiàn)過(guò)它嗎?你是否見(jiàn)過(guò)相同的你是否見(jiàn)過(guò)相同的 問(wèn)題而形式稍有不同問(wèn)題而形式稍有不同? n (2) 你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題?你是否你是否 知道一個(gè)可能用得上的定理知道一個(gè)可能用得上的定理? n (3) 看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相

12、同未 知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉問(wèn)題知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉問(wèn)題 21教資優(yōu)選 22教資優(yōu)選 n(7) 你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分?僅僅保持僅僅保持 條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于 未知數(shù)能確定到什么程度未知數(shù)能確定到什么程度?它會(huì)怎樣變化它會(huì)怎樣變化? n(8) 你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東 西西?你能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù)你能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù) 據(jù)據(jù)?如果需要的話(huà)，你能不能改變未知數(shù)或如果需要的話(huà)，你能不能改變未知數(shù)或 數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者

13、都改變，以使新未知數(shù)和 新數(shù)據(jù)彼此更接近新數(shù)據(jù)彼此更接近?你是否利用了所有的已你是否利用了所有的已 知數(shù)據(jù)知數(shù)據(jù)? n(9) 你是否利用了整個(gè)條件你是否利用了整個(gè)條件? n(10) 你是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要你是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要 的概念的概念? 23教資優(yōu)選 24教資優(yōu)選 25教資優(yōu)選 n 26教資優(yōu)選 27教資優(yōu)選 28教資優(yōu)選 n（2）在數(shù)學(xué)思想上，本題是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)）在數(shù)學(xué)思想上，本題是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué) 思想的一個(gè)成功應(yīng)用思想的一個(gè)成功應(yīng)用. 29教資優(yōu)選 認(rèn)識(shí)、并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征的過(guò)程認(rèn)識(shí)、并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征的過(guò)程 ， 是成功解決問(wèn)題的一個(gè)必要前提是成功解決問(wèn)題的一個(gè)必要

14、前提 是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是關(guān)是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是關(guān) 鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容。鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容。 是思路打通之后具體實(shí)施信息資源是思路打通之后具體實(shí)施信息資源 的邏輯配置，的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心我們所需要的只是耐心” 是最容易被忽視的階段，波利亞對(duì)其作。是最容易被忽視的階段，波利亞對(duì)其作。 為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來(lái)，是一個(gè)有遠(yuǎn)見(jiàn)的做為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來(lái)，是一個(gè)有遠(yuǎn)見(jiàn)的做法法 . 30教資優(yōu)選 31教資優(yōu)選 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的框架數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的框架 問(wèn)題識(shí)別 與定義 問(wèn)題表征 策略選擇 與應(yīng)用 資源分配 監(jiān)控與 評(píng)估 32教資優(yōu)選 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程必須經(jīng)過(guò)下列四個(gè)步驟, 即理解問(wèn)題,明確任務(wù);擬定求解計(jì)劃;實(shí)現(xiàn)求解 計(jì)劃;檢驗(yàn)和回顧. 問(wèn)題情境 轉(zhuǎn)換尋求解決途徑 求得答案檢驗(yàn)與評(píng)價(jià) 33教資優(yōu)選 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的策略 1.分析給出的數(shù)據(jù)信息和條件; 2.表征信息-從外部和大腦內(nèi)部; 3.建立假設(shè)和計(jì)劃過(guò)程; 4.應(yīng)用公式算法定理,監(jiān)控這類(lèi)應(yīng)用; 5.決定和檢驗(yàn)假設(shè),反思. 34教資優(yōu)選 變更題目的常用方法題目 分解與組合窮舉法,中途點(diǎn) n等價(jià)的題目 回到定義 等價(jià)變換 映射到別的領(lǐng)域 簡(jiǎn)化 n特殊的題目 約化 極端情形 一般化 n更一般的題目 強(qiáng)化 充分題 必要題 基本題