用二分法求方程的近似解教學案例分

1、用二分法求方程的近似解 ”教學案例分析與反思佛岡一中 蔣英賢一、教學目標（一）知識與技能1. 了解“二分法”是求方程近似解的常用方法；2. 能夠根據(jù)函數(shù)的圖像，借助計算器用二分法求方程的近似解；3. 理解并掌握用二分法求方近似解的步驟和思想方法（二）過程與方法1. 在掌握了函數(shù)的零點與方程的根之間的關(guān)系的基礎上，通過“二分法”的學 習，歸納總結(jié)“用二分法求函數(shù)零點的步驟”中滲透算法思想，為后續(xù)學習算法 內(nèi)容埋下伏筆；2. 學會用二分法求方程的近似解的方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，初 步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識（三）情感態(tài)度與價值觀1. 體會區(qū)間逼近的過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一；2

2、. 在教學的過程中，通過現(xiàn)代信息技術(shù)的合理利用，讓學生體會到現(xiàn)代信息技 術(shù)是認識世界的有效手段二、教學重點通過用“二分法” 求方程的近似解， 使學生體會函數(shù)的零點與方程的根之間的聯(lián) 系，初步形成用函數(shù)的觀點處理問題的意識三、教學難點1. 用二分法求方程的近似解的步驟及思想方法；2. “精確度”的理解與把握四、教學流程溫故知新，引入新課-創(chuàng)設情境，試驗體驗-啟發(fā)質(zhì)疑，探究規(guī)律-運用新知， 解決問題-總結(jié)歸納，提升思想五、教學手段多媒體教學六、教學過程（一）創(chuàng)設情境，引入新課1. 溫故知新，引入新課方程 lnx+2x-6=0 的求解2. 數(shù)學實驗：猜測隨機數(shù)字，體會“二分”的思想過程3. 提煉數(shù)學

3、關(guān)系：抽象數(shù)學模型-(0,100)+ ，x1=50-(0,50)+ ，x2=25-(0,25)+ ，x3=12-(12,25)+ ，x4=18-(12,18)+ ，x5=15-(15,18)+ ，x6=16 (17)（二）、新課學習1、模仿嘗試，體會思想方法例1:求庖的近似值。分析：即求解方程X2- 2=0設 f (x)=x - 2f (1)= -0,f (1)= -0,f (1.25)= -0.43750,f (1.375)= -0.1090,f (1.375)= -0.1090,1.375X40,f (1.5)=0. 250,f (1.5)= 0.250,f (1.5)= 0.250,1x

4、i21X21.51.25X31.51.375X40,X4=1.40625.例題講解、鞏固新知求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(精確度0.1)二分法(bisection ):對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且 f(a) f(b)0的函數(shù)y=f(x)， 通過不斷的把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近 零點，進而得到零點近似值的方法。(三)、 例2:分析：設f(x)=lgx + 2X-6,用計算器，得 f(2) 0=(2.5,3), f (2.5) v0, f (2.75) A 0=(2.5,2.75) f(2.5) c0, f (2.625) 0= x 迂(2.5,2.

5、625),f (2.5625) v0, f (2.625) 0=(2.5625,2.625),因為2.5625與2.625精確到0.1的近似值都為2.6，所以原方程的近似解為X 止2.6 0用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下：1、確定區(qū)間a,b，驗證f(a) f(b)0,給定精確度E ;2、 求區(qū)間(a,b 的中點X1(X1；23、計算f(x,):若f(Xi)=O，貝U Xi就是函數(shù)f(x)的零點，Xi就是f(x)=0的根, 計算終止;若f(a) f (xj 0，則選擇區(qū)間(xi,b );4、判斷是否達到精確度E :若a-b| E，則得到零點近似值a(或b)，否則重復24o(四) 、鞏

6、固練習1、用二分法求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)零點近似解的過程中得f(1)0, f(1.25)0，貝U零點落在的區(qū)間為()D無法確定A(1，1.25)B(1.25，1.5)C(1.5，2)2、下列方程有實數(shù)解的是（）x 2D.x+lnx=0A.2 x =log 2 x B.x-lnx=0C.x2 =lgx3、求方程 x3+3x- 1=0 在區(qū)間（0,1）的近似解（五）、課堂小結(jié)1. 二分法的定義；2. 用二分法求方程的近似解；3. “區(qū)間逼近”及“數(shù)形結(jié)合” 、“函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化”等思想方法（六）、作業(yè)教材P102:習題3.1: A組-5 一、 教學內(nèi)容分析“用二分法解方程的近似解”是

7、新課程教材新增內(nèi)容。 “二分法”是求方程 近似解的常用方法之一， 體現(xiàn)了函數(shù)與方程的聯(lián)系， 體現(xiàn)了數(shù)學的工具性、 應用 性，同時也滲透了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、算法思想和逼近思想等數(shù)學思想。在本節(jié)之前， 關(guān)于方程根的求解的學習， 都是在等式狀態(tài)下研究方程的變化 關(guān)系，通過公式化的方式諸如求根公式、 因式分解來求解方程的根， 并以精確形 式表示求解結(jié)果。而以“數(shù)形結(jié)合”為導引，以“零點存在定理”為理論基礎， 用“區(qū)間逼近”的方式求出方程的近似解即“二分法”，是一次“思想方法”上 的突破，在思想方法上將學習視野投向一個全新的領域， 開啟了一扇學習方法的 新門。從本章結(jié)構(gòu)安排上來看， 教材分三個層面展

8、現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系： 第一，從 學生熟悉的一元二次方程和二次函數(shù)入手，建立起方程的根和函數(shù)的零點的聯(lián) 系；第二，通過二分法求方程近似解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系；第三，通過建立 函數(shù)模型以及運用模型解決問題， 進一步體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系。 本課正處于第 二個層面，要求學生依據(jù)函數(shù)圖像， 能借助計算器用二分法求相應方程的近似解， 在內(nèi)容上，它銜接了上節(jié)函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系， 并為必修 3 中算法內(nèi)容 的學習做了鋪墊，而且通過“精確度”的要求，初步體現(xiàn)極限思想。 二、學情分析前面提到， 學生在學習本節(jié)內(nèi)容之前， 對方程根的求解一直是以代數(shù)運算的 方式手段來學習的，而隨著學習內(nèi)容的加深與擴展，不可

9、避免的遇到類似于ln x=x 這樣的方程。顯然，以前學習的方程的求解方法，無法解決這類問題，而且 方程根的精確表示也較難。 因此， 本節(jié)用二分法解方程的近似解對學生來說， 是 一次思想方法上的突破和學習觀念的提升。學生在學習了上一節(jié) “方程的根與函數(shù)的零點” 的內(nèi)容后，對方程的根的存 在性有了一定的了解， 在使用計算器上也存在問題。 主要的困難在于對這種方法 的接受和理解（觀念上的更新），以及用二分法求方程近似解一般步驟和精確度 的理解。因此在教學上宜遵循循序漸進的原則， 創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境，來幫助引導學 生理解二分法的實質(zhì)，并進一步掌握。在教學過程中，遵循教師為主導，學生為主體的教學原則，體

10、現(xiàn)知識為載體， 思維為主線，能力為目標的教學思想，讓學生親身實踐、主動參與，從不同步長 的區(qū)間中選擇所需的數(shù)據(jù)，利用多媒體輔助教學輔助完善學生認知，深刻體驗二 分法思想的本質(zhì)，為學生總結(jié)歸納二分法的定義和步驟奠定基礎。課堂練習是例題的變式，目的是讓學生對求一個函數(shù)零點（方程根的近似解） 的探究有更完整的認識。課堂小結(jié)使學生明確本節(jié)課的知識體系，提升數(shù)學思想。三、教學反思本節(jié)課是在采用信息技術(shù)和數(shù)學知識整合的基礎上從生活實際中提煉教學素材，使學生在熟悉的背景下，在認知沖突中展開學習，學生在試驗、探究活動 中獲取原始數(shù)據(jù)，進而運用抽象建模，數(shù)形類比，在老師的引導、啟發(fā)下領悟二 分法的思想方法，通過二分法的運用，實現(xiàn)學生在學習過程中對知識的探究、 發(fā) 現(xiàn)的完整經(jīng)歷，調(diào)動了學生學習的主動性和積極性， 學生在親身經(jīng)歷知識的探究 中獲得對數(shù)學價值的新認識。教學方法上，突出問題情境的創(chuàng)設，層層深入，逐步探究，并借助幾何畫板， 直觀展現(xiàn)區(qū)間逼近的過程，加強課堂練習的效果與反饋?！岸址ā边@一內(nèi)容新穎，課本上的設計看起來抽象和繁復， 不少學生看到 內(nèi)容就害怕，教師引入時要引導學生抓二分法的解題思想而不是對繁復數(shù)據(jù)的具 體分析。由于整節(jié)課是多媒體輔助教學，板書較少，可以加快授課速度，但數(shù)據(jù)比較 多，學生不免出現(xiàn)有點象看“電影”的感覺。教師在