完整版用點(diǎn)差法解圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題

1、用“點(diǎn)差法”解圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題與圓錐曲線(xiàn)的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，我們稱(chēng)之為圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題。解圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題的一般方法是：聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、 根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，但運(yùn)算量較大。若設(shè)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)(弦的端 點(diǎn))坐標(biāo)為A(xi，yi)、B(X2,y2)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線(xiàn)的方程并對(duì)所得兩式作差，得到 一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱(chēng)這種代點(diǎn)作差的方法 為“點(diǎn)差法”。下面就如何用點(diǎn)差法計(jì)算舉幾個(gè)例子供大家參考。一、求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的方程2例i、過(guò)橢圓162L i內(nèi)一點(diǎn)M (2,i)引一條

2、弦，使弦被 M點(diǎn)平分，求這條弦所在直線(xiàn)4的方程。解：設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為 A(x1, y1)、B(X2,y2)M (2,1)為AB的中點(diǎn)XiX24 yi y22又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則2Xi4yi2 16，X22 4y22162兩式相減得(為X22)4(yiy22)于是(Xi X2)(xi X2)4(yiy2)(yi第i頁(yè)共5頁(yè)yiy2XiX2Xi X24( yiy2)1即kAB,故所求直線(xiàn)的方程為2i(X 2)，即 X 2y 40。例2、已知雙曲線(xiàn)X22 i，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (i,i)能否作一條直線(xiàn)I，使I與雙曲線(xiàn)交于 A、B，2且點(diǎn)M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)。若存在這樣的直線(xiàn) 由。l，求出它的方程，若不

3、存在，說(shuō)明理解：設(shè)存在被點(diǎn)M平分的弦AB，且 A(Xi,yi)、B(X2,y2)則 XiX22yiy222Xi2yi22X2兩式相減，得(XiX2)(XiX2)i2(yi y2)(yiy2)kAByiy22XiX2故直線(xiàn)AB : yi 2(X i)1)2(x2y_T1 消去 y，得 2x24x304)2這說(shuō)明直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)不相交，故被點(diǎn) M平分的弦不存在，即不存在這樣的直線(xiàn)策略：本題如果忽視對(duì)判別式的考察，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn) 弦問(wèn)題中判斷點(diǎn)的 M位置非常重要。（1）若中點(diǎn)M在圓錐曲線(xiàn)內(nèi)，則被點(diǎn) M平分的弦一 般存在；（2）若中點(diǎn)M在圓錐曲線(xiàn)外，則被點(diǎn) M平分的弦可

4、能不存在。二、 求弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡方程y2 x21例3、已知橢圓 L 一 1的一條弦的斜率為 3,它與直線(xiàn)x -的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)75 252M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。解：設(shè)弦端點(diǎn)Q(X2, y2)，弦 PQ 的中點(diǎn) M (xo, yo)，則1X0 2X1X22Xo1，y1y2 2y02222又y1X1 1y2X2 175257525兩式相減得25(y1y2）（y1y2)75(x1X2)(X1X2)即 2yo (y1y2)3(x1X2) 0吐y23X1X22 y0ky1y2333，即y。1X1X22y02P(Xi,yi)、點(diǎn)M的坐標(biāo)為2)。2例4、已知橢圓L 75251,求它的斜率為3的弦中

5、點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)弦端點(diǎn)P（x1,y1）、Q(X2, y2)，弦PQ的中點(diǎn)M （x, y），則X1 X22x，y1y22y2222又y1X11y2X2175257525兩式相減得25(y1y2)(y1y2)75(x1X2)(X1X2) 0第3頁(yè)共5頁(yè)即 y(yiy2) 3x(xi3xyiy23x3，即 x yXiX2x由y275125，得P(573573)在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為x y 0( b353)求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線(xiàn)的方程5、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F(0, J50)的橢圓被直線(xiàn)l : y3x 2截得的弦的中點(diǎn)的1橫坐標(biāo)為丄，求橢圓的方程。22解：設(shè)橢圓的方程為篤a

6、2話(huà)則a2 b2 50 4第4頁(yè)共5頁(yè)125所求橢圓的方程是75x2例6、已知橢圓一設(shè)弦端點(diǎn)P(X1，y1)、Q(X2, y2),弦PQ的中點(diǎn)M (Xo,yo)，貝y1Xd2，*3Xo21-X1 X22xo 1, y1 y2 2yo2 222又 y1X11 ,y2X21a2 b22 ab2兩式相減得b2(y1y2 )( y1y2)a2(X1X2)(X1X2)0即b2( y1y2) a2(X1X2)022y1 y2aa3 X1X2b2b2聯(lián)立解得2 a75 , b2 252 x2四、求圓錐曲線(xiàn)上兩點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題2J 1，試確定的m取值范圍，使得對(duì)于直線(xiàn) y 4x m，橢圓上總3有不同的兩

7、點(diǎn)關(guān)于該直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。解：設(shè)R(xi，yi), P2(X2,y2)為橢圓上關(guān)于直線(xiàn) y 4xm的對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)，P(x, y)為弦PP2的中點(diǎn)，貝y 3x12 4y12 12 , 3X22 4y2212兩式相減得，3(x12 x22) 4(y12 y22) o即 3(xi X2)(Xi X2)4(yi y2)(yiX1X22x, y1 y2 2y,X1X2y 3x這就是弦PF2中點(diǎn)P軌跡方程。它與直線(xiàn)4xm的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)聯(lián)立3x4x m，得Xm3m則必須滿(mǎn)足y23 2-X，4即(3m)23 3m4，解得2713132寸1313例7、已知拋物線(xiàn)C： y(x和直線(xiàn)y kx(k0)為使拋物線(xiàn)上存在關(guān)于I對(duì)

8、稱(chēng)的兩點(diǎn)，求k的取值范圍。解：設(shè)拋物線(xiàn) C上存在不同的兩點(diǎn)F1(x1, y1), P2(x2, y2)關(guān)于直線(xiàn)I對(duì)稱(chēng)，線(xiàn)段RP?的中點(diǎn)為 M (xoyo)，則 X1X22xo，y1y22yo3 2w (X1 4)，v2(X2-)24可得：迫一y2X1X2X1X2I，即KP1P2由于PE I，所以KPP22xo又因?yàn)镸 (xo, yo)在直線(xiàn)Ikx(k o)上，所以yo3線(xiàn)y (X -)2開(kāi)口內(nèi)，所以4yo(xo3)2，故 yo41k3k43k42Xo 3，即 Xo 3 丄。o 2o 4 2k1-，因?yàn)镸 (xo, yo)在拋物1-o，所以k 1。即卩k的2取值范圍是1,。策略：本題需要根據(jù)弦中點(diǎn) M(xo,yo)位置求k的取值范圍，如果不考慮 M(xo,yo)位置,第6頁(yè)共5頁(yè)可能得出錯(cuò)誤的結(jié)果。請(qǐng)務(wù)必小心。五、